專題07導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（解密講義）（原卷版）

專題07導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（解密講義）【知識梳理】【考點1】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題1．分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題的思路用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，只要研究變量表達(dá)式的最值就可以解決問題．2．等價轉(zhuǎn)化法求解不等式恒成立問題的思路遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)或“右減左”的函數(shù)u(x)＝g(x)－f(x)，進(jìn)而只需滿足h(x)min≥0或u(x)max≤0，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問題，適用范圍較廣，但是往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．3．含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法a≥f(x)在x∈D上能成立，則a≥f(x)min；a≤f(x)在x∈D上能成立，則a≤f(x)max.4．含全稱、存在量詞不等式能成立問題(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)min≥g(x)min.方法技巧：求解含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵是過好“雙關(guān)”轉(zhuǎn)化關(guān)通過分離參數(shù)法，先轉(zhuǎn)化為f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))對?x∈D恒成立，再轉(zhuǎn)化為f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)求最值關(guān)求函數(shù)g(x)在區(qū)間D上的最大值(或最小值)問題【考點2】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點和方程的根1.利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義域區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點的個數(shù)．(2)利用零點存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．2.根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)取值范圍的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”，即通過函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，或者兩個相關(guān)函數(shù)圖象的交點個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍，解決問題的步驟是“先形后數(shù)”．考點考題利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題2023全國甲卷（文）T20，2023全國甲卷（理）T212023天津卷T20，2023全國新課標(biāo)I卷T192023全國新課標(biāo)II卷T22，2022年新高考II卷T22利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點和方程的根2023全國乙卷（文）T8，2022全國乙卷（文）T202022全國甲卷（理）T21，2022全國乙卷（理）T212022新高考I卷T10考點一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，討論fx(2)若fx+sin典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=ax-(1)當(dāng)a=8時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)<sin2x恒成立，求典例03（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在x=2(2)當(dāng)x>0時，證明：fx(3)證明：56典例04（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)證明：當(dāng)a>0時，fx典例05（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)0<x<1時，x-x（2）已知函數(shù)fx=cosax-ln1-x1．已知函數(shù)f(x)=12a2e2x+A．-∞,-2e B．2e,+2．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，求3．已知函數(shù)f(x)=1(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的極值；(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點和方程的根典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=x3+ax+2存在3A．-∞,-2 B．-∞,-3 C．典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=ax-1(1)當(dāng)a=0時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一個零點，求a的取值范圍．典例03（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,典例04（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點0,f(2)若fx在區(qū)間-1,0,0,+典例05（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=(x-1)e（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：f(x)只有一個零點①12②0<a<11．已知函數(shù)fx=aex-32A．8e4,16e4 B．0,2．已知函數(shù)fx(1)若曲線y=fx在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b(2)若函數(shù)hx=fx+lna-x3．已知函數(shù)gx=ln(1)若fx與gx在定義域上有相同的單調(diào)性，求(2)當(dāng)a>1時，記fx，gx的零點分別為x0,xAA·新題速遞1．（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知a∈R，設(shè)函數(shù)fx=x2-3x+2a,x≤1x-alnx,x>1，若關(guān)于x的不等式fA．0,1 B．1,2 C．1,e D．2．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┎坏仁絰ex+alnxx3．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)fx=e(1)求方程fx(2)若不等式x+b≤fx對于一切x∈R都成立，求實數(shù)b的取值范圍4．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=-x(1)當(dāng)0<a≤1時，求fx(2)若不等式fx+x2≤1對任意x∈5．（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx(1)若fx≤0在0,+∞上恒成立(2)設(shè)gx=fx+x2-16．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)k=0時，求函數(shù)fx在-2,2(2)若函數(shù)fx在0,+∞上僅有兩個零點，求實數(shù)k7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=2x+a(1)當(dāng)a=1時，求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程．(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ln(1)曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x+2，求實數(shù)a的值．(2)在（1）的條件下，若g(x)=f(x)-11+x，試探究g(x)在9．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若fx在區(qū)間1e2,eBB·易錯提升1．已知函數(shù)fx=ex+x.若fx-lna2．已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)當(dāng)a>0時，若實數(shù)x1,x2滿足3．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求fx的圖象在點(1,f(1))處的切線方程(2)當(dāng)a≥1時，證明：fx4．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2時，試判斷函數(shù)fx(2)若x1,x2是函數(shù)5．已知函數(shù)f(x)=aex+e-x(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a>0時，若f(x)-1≥x2在R上恒成立，求實數(shù)6．已知函數(shù)fx=2x+lnx(1)求lx(