小學(xué)奧數(shù)系列訓(xùn)練題-幾何計(jì)數(shù)通用版

小學(xué)奧數(shù)系列訓(xùn)練題-幾何計(jì)數(shù)

通用版

2015年小學(xué)奧數(shù)計(jì)數(shù)專題—幾何計(jì)數(shù)

1.用3根等長的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角

形.如圖,用這樣的等邊三角形拼合成一個(gè)更

大的等邊三角形.如果這個(gè)大等邊三角形的每

邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火

柴？

A

2.如圖，用長短相同的火柴棍擺成3X1996

的方格網(wǎng)，其中每個(gè)小方格的邊都由一根火柴

棍組成，那么一共需用多少根火柴棍？

3.圖是一個(gè)跳棋棋盤，請你計(jì)算出棋盤上共

有多少個(gè)棋孔？

4.如圖，在桌面上，用6個(gè)邊長為1的正三

試卷第2頁，總7頁

角形可以拼成一個(gè)邊長為1的正六邊形.如果

在桌面上要拼出一個(gè)邊長為6的正六邊形，那

么，需要邊長為1的正三角形多少個(gè)？

5.如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直

的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7

厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘

米、1厘米.求圖中長方形的個(gè)數(shù)，以及所有

長方形面積的和.

6.如圖，18個(gè)邊長相等的正方形組成了一

個(gè)3X6的方格表，其中包含的長方形及

正方形共有多少個(gè)？

■

7.圖是由若干個(gè)相同的小正方形組成的.那

么，其中共有各種大小的正方形多少個(gè)？

8.圖中共有多少個(gè)三角形?

試卷第3頁，總7頁

9.圖是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成

的四邊形，其中某些相鄰的小正三角形可以拼

成較大的正三角形.那么，圖中包含的

各種大小的正三角形一共有多少個(gè)？

10.如圖，AB,CD,EF,MN互相平行，則圖

中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少？

11.在圖中，共有多少個(gè)不同的三角形?

12.如圖，一塊木板上有13枚釘子.用橡皮

筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成三角形、正

方形、梯形等等，如圖.那么，一共可以構(gòu)成

多少個(gè)不同的正方形？

試卷第4頁，總7頁

等

13.如圖，用9枚釘子釘成水平和豎直間隔

都為1厘米的正方陣.用一根橡皮筋將3枚不

共線的釘子連結(jié)起來就形成一個(gè)三角形.在這

樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三

角形共有多少個(gè)？

14.如圖，木板上釘著12枚釘子，排成三行

四列的長方陣.那么用橡皮筋共可套出多少個(gè)

不同的三角形？

15.如圖，正方形ACEG的邊界上有A,B,C,

D,E,F,G這7個(gè)點(diǎn)，其中B,D,F分別在

邊AC,CE,EG±.以這7個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為

頂點(diǎn)組成的不同四邊形的個(gè)數(shù)等于多少？

試卷第5頁，總7頁

16.數(shù)一數(shù)下列圖形中各有多少條線段.

ABCABCDABCDE

（1）（2）（3）

17.數(shù)出下圖中總共有多少個(gè)角.

18.數(shù)一數(shù)下圖中總共有多少個(gè)角？

19.如下圖中，各個(gè)圖形內(nèi)各有多少個(gè)三角

形？

（1）（2）

20.如下圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有

多少個(gè)三角形？

試卷第6頁，總7頁

21.如右圖中，共有多少個(gè)角？

22.在圖中（單位：厘米）：

①一共有幾個(gè)長方形？

②所有這些長方形面積的和是多少?

23.由20個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)4x5長

方形中有一格有圖中含有的所有

長方形（含正方形）共有一個(gè)，它們的面積總

24.圖中共有多少個(gè)三角形?

25.一個(gè)圓上有12個(gè)點(diǎn)A1,A2,A3,An,

A12.以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是

一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相

試卷第7頁，總7頁

交.問共有多少種不同的連法?

試卷第8頁，總7頁

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參考答案

1.630

【解析】把大的等邊三角形分為20“層”分別

計(jì)算火柴的根數(shù)：

最上一“層”只用了3根火柴；

從上向下數(shù)第二層用了3義2=6根火柴；

從上向下數(shù)第三層用了3義3=9根火柴；

從上向下數(shù)第20層用了3X20=60根火柴.

所以，總共要用火柴3X(1+2+3+…+20)=630

根.

2.13975

【解析】橫放需1996X4根，豎放需1997X3根,

共需1996X4+1997X3=13975根.

3.121

［解析1把棋盤分割成一個(gè)平行四邊形和四個(gè)小

三角形，如下圖.平行四邊形中棋孔數(shù)為9X9

=81,每個(gè)小三角形中有10個(gè)棋孔，所以棋孔

共有81+10X4=121個(gè).

答案第1頁，總17頁

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△

V

或直接數(shù)出有121個(gè).

4.216

【解析】如圖AB=6,組成AAOB需要邊長為1

的正三角形共：

1+3+5+7+9+11=36個(gè)，而拼成邊長為6的正六

邊形需要6個(gè)AAOB,因此總共需要邊長為1的

正三角形36X6=216個(gè).

5.100,10664

【解析】確定好長方形的長和寬，長方形就唯一

確定，而圖中只需確定好橫向線段，豎向線段，

即可.

于是橫向線段有(1+2+3+4)=10種選法，豎向線

段也有(1+2+3+4)=10種選法,則共有10X10

答案第2頁，總17頁

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=100個(gè)長方形.

這些長方形的面積和為：

(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)X

(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)=124X86=

10664(平方厘米).

6.36

【解析】我們把所求的長、正方形按占有的行數(shù)

分為三類，每類的長、正方形的個(gè)數(shù)相等.

其中只占有下面一行的有如下12種情況：

卜4TT*卜HI-HT叼IIIIII1fII

III1*1□III1*日I口H*4-lII□HHI

□IMlIII口㈣III□I□陽口

于是共有12X3=36個(gè)正、長方形包含.

7.130

【解析】每個(gè)4X4正方形中有：

邊長為1的正方形4X4個(gè)；邊長為2的正方形

3X3個(gè)；邊長為3的正方形2義2個(gè)，邊長為4

的正方形1X1個(gè).

總共有4X4+3X3+2X2+1X1=30個(gè)正方形.

現(xiàn)在5個(gè)4X4的正方形，它們重疊部分是4個(gè)

2X2的正方形.因此，圖中正方形的個(gè)數(shù)是30

X5-5X4=130.

答案第3頁，總17頁

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8.22

【解析】邊長為1的正三角形，有16個(gè).邊長

為2的正三角形，尖向上的有3個(gè)，尖向下的也

有3個(gè).因此共有16+3+3=22個(gè).

9.6

【解析】設(shè)小正三角形的邊長為L分三類計(jì)算

計(jì)數(shù)包含*的三角形中，

邊長為1的正三角形有1個(gè)；邊長為2的正三角

形有4個(gè)，邊長為3的正三角形有1個(gè)；

因此，圖中包含的所有大、小正三角形一

共有1+4+1=6個(gè).

10.20

【解析】圖中共有三角形(l+2+3+4)X4=40個(gè),

梯形Q+2+3+4)X(1+2+4)=60個(gè)，梯形比三角

形多60—40=20個(gè).

11.85

【解析】下圖中共有35個(gè)三角形，兩個(gè)疊加成

題中圖形時(shí)，又多出5+5X2=15個(gè)三角形，共

計(jì)35X2+15=85個(gè)三角形.

答案第4頁，總17頁

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12.11

【解析】按正方形的面積分類，設(shè)最小的正方形

面積為1,

面積為1的正方形有5個(gè)，如圖a所示；

面積為2的正方形有4個(gè)，如圖b所示；

面積為4的正方形有1個(gè)，如圖c所示；

還有1個(gè)面積比4大的正方形，如圖d所示；

?曲螃?府??曲

曳aSbScgd

于是，一共可以構(gòu)成5+4+1+1=11個(gè)不同的正方

形.

13.32

【解析】我們分三種情況來找面積為1平方厘米

的三角形，這些三角形的底與高分別為1厘米或

2厘米，利用正方形的對稱性：

(1)等腰直角三角形，如下圖a所示有△AOC,△

COE,AEOG,AGOA,ABOH,ADFB,AFHD,△

HBF,共計(jì)8個(gè)，其中以AC,CF,FG,GA為底的

各一個(gè)，以BF,DH為底的各兩個(gè).

答案第5頁，總17頁

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GFEGFEG

ABCABCABC

困a?bSc

(2)直角三角形，如圖b所示有△ACH,ACHD,

△ACD,ADHA,ABEF,ABCE,ACEF,ACFB,

△DEG,ADGH,AEGH,AEHD,AGAB,AGBF,

△FAB,AFGA,共計(jì)16個(gè)，其中以AD、CH、BE、

CF、DG、EH、FA、GB為斜邊的各兩個(gè).

(3)鈍角三角形，如圖c所示有AABE,AAHE,

△ADE,AAFE,ACBG,ACFG,ACDG,ACHG

共計(jì)8個(gè)，其中以AE、CG為邊的各四個(gè).

于是，綜上所述，共有面積為1平方厘米的三角

形32個(gè).

14.200

【解析】我們先任意選取三個(gè)點(diǎn)，那么第1個(gè)點(diǎn)

有12個(gè)位置可以選擇，第2個(gè)點(diǎn)有11個(gè)位置可

以選擇，第3個(gè)點(diǎn)有10個(gè)位置可以選擇，但是

每6種選法對應(yīng)的都是同一個(gè)圖形，如下圖，

ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA均是同一個(gè)圖

形.

答案第6頁，總17頁

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所以有12X11X10+6=220種選法，但是如果

這3點(diǎn)在同一條直線上就無法構(gòu)成三角形，其中

每行有4種情況，共3X4；每列有1種情況，

共1X4；2個(gè)邊長為2的正方形的4條對角線，

共4種情況.

所以，可以套出220-3X4-1X4-4=200個(gè)不

同的三角形.

15.12

【解析】如果暫時(shí)不考慮點(diǎn)之間的排列位置關(guān)

系，從7個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，則第一個(gè)點(diǎn)有7個(gè)

位置可選，第二個(gè)點(diǎn)有6個(gè)位置可選，第三個(gè)點(diǎn)

有5個(gè)位置可選，第四個(gè)點(diǎn)有4個(gè)位置可選，而

不考慮先后，那么有4X3X2X1=24種選法的

實(shí)質(zhì)是一樣的，所有可能的組合數(shù)目應(yīng)該是(7

X6X5X4)4-24=35.我們只要從中減去不能構(gòu)

成四邊形的情形.

對圖19T6而言，任取4個(gè)點(diǎn)而又不構(gòu)成四邊形

的情形只能發(fā)生在所取的4個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)來自正

方形ACEG的一條邊，而另一個(gè)則任意選取的時(shí)

答案第7頁，總17頁

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候，例如選定A、B、C3點(diǎn)，第4個(gè)點(diǎn)無論如何

選取都不能構(gòu)成四邊形.

正方形的4條邊中有3條都存在這樣的情況.而

每次這種情況發(fā)生時(shí)，第4個(gè)頂點(diǎn)的選取有4種

可能.

所取的頂點(diǎn)只有4個(gè)，因此不可能出現(xiàn)同時(shí)選擇

了2條有3點(diǎn)共線的邊的情況.

那么需要排除的情況有4X3=12種.

所以，滿足題意的四邊形個(gè)數(shù)有35-12=23個(gè).

16.15

【解析】要想使數(shù)出的每一個(gè)圖形中線段的總條

數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就需要按照一定的順序、

按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜

亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩

種規(guī)律去數(shù).

第一種：按照線段的端點(diǎn)順序去數(shù)，如上圖（1）

中，線段最左邊的端點(diǎn)是A,即以A為左端點(diǎn)的

線段有AB、AC兩條以B為左端點(diǎn)的線段有BC一

條，所以上圖（1）中共有線段2+1=3條.同樣

按照從左至右的順序觀察圖（2）中，以A為左

端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點(diǎn)

的線段有BC、BD兩條，以C為左端點(diǎn)的線段有

答案第8頁，總17頁

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CD一條.所以上頁圖（2）中共有線段為3+2+1

=6條.

第二種：按照基本線段多少的順序去數(shù),所謂基

本線段是指一條大線段中若有n個(gè)分點(diǎn)，則這條

大線段就被這n個(gè)分點(diǎn)分成n+1條小線段，這

每條小線段稱為基本線段.如上頁圖（2）中，線

段AD上有兩個(gè)分點(diǎn)B、C,這時(shí)分點(diǎn)B、C把AD

分成AB、BC、CD三條基本線段，那么線段AD總

共有多少條線段？首先有三條基本線段，其次是

包含有二條基本線段的是：AC、BD二條，然后

是包含有三條基本線段的是AD這樣一條.所以

線段AD上總共有線段3+2+1=6條，又如上頁

圖（3）中線段AE上有三個(gè)分點(diǎn)B、C、D,這樣

分點(diǎn)B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四

條基本線段，那么線段AE上總共有多少條線

段？按照基本線段多少的順序是：首先有4條基

本線段，其次是包含有二條基本線段的有3條，

然后是包含有三條基本線段的有2條，最后是包

含有4條基本線段的有一條，所以線段AE上總

共有線段是4+3+2+1=10條.

解：①2+1=3（條）,

②3+2+1=6（條）.

答案第9頁，總17頁

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③4+3+2+1=10（條）.

17.10

【解析】在NA0B內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3,

ZA0B被這三條角分線分成4個(gè)基本角,那么Z

A0B內(nèi)總共有多少個(gè)角呢？首先有這4個(gè)基本

角,其次是包含有2個(gè)基本角組成的角有3個(gè)（即

NA0C2、NC10C3、ZC20B）,然后是包含有3個(gè)

基本角組成的角有2個(gè)（即NA0C3、ZC10B）,

最后是包含有4個(gè)基本角組成的角有1個(gè)（即N

A0B）,所以NA0B內(nèi)總共有角：

4+3+2+1=10（個(gè)）.

解：4+3+2+1=10（個(gè)）.

小結(jié)：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方法來

數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開始的幾個(gè)連續(xù)自然

數(shù)的和，這個(gè)和里面的最大的加數(shù)是角分線的條

數(shù)加L也就是基本角的個(gè)數(shù).

18.55

【解析】因?yàn)镹A0B內(nèi)角分線0C1、0C2…0C9共

有9條，即9+1=10個(gè)基本角.

所以總共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（個(gè)）.

19.（1）6（2）10

答案第10頁，總17頁

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【解析】可以采用類似

例1數(shù)線段的兩種方法來數(shù)，如圖（2）：

第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有:

△ABD、△ABE、AABF.△ABC四個(gè)三角形.

再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有：

△ADE、△ADF、aADC三個(gè)三角形.

以AE為一條邊的三角形共有：

△AEF、△AEC二個(gè)三角形.

最后以AF為一條邊的三角形共有AAFC一個(gè)三

角形.

所以三角形的個(gè)數(shù)總共有4+3+2+1=10.

第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有：

△ABD、AADE>AAEF>△AFC四個(gè)三角形.

再數(shù)由兩個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有：

△ABE、AADF>ZkAEC三個(gè)三角形，

以三個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有：

△ABF、ZkADC二個(gè)三角形，

最后數(shù)以四個(gè)小三角形組合在一起的只有AABC

一個(gè).

所以圖中三角形的個(gè)數(shù)總共有：4+3+2+1=10

（個(gè)）,

解：①3+2+1=6（個(gè)）

答案第11頁，總17頁

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②4+3+2+1=10（個(gè)）,

答：圖（1）及圖（2）中各有三角形分別是6個(gè)

和10個(gè).

小結(jié)：計(jì)算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個(gè)

連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一

邊上的分點(diǎn)數(shù)加L也就是三角形這邊上分成的

基本線段的條數(shù).

20.60,30

【解析】分析在數(shù)的過程中應(yīng)充分利用上幾例總

結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？

怎么數(shù)？這樣兩個(gè)問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中基

本線段（基本三角形）的條數(shù)，算：就是以基本

線段（基本三角形）條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始

的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的和.

①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、

AC、上各有2個(gè)分點(diǎn)，各分成3條基本線段，再

看BC、MN、GH這3條線段上各有3個(gè)分點(diǎn)，各

分成4條基本線段.所以圖中總共有線段是：

（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60（條）.

②要數(shù)有多少個(gè)三角形，先看在△AGH中，在GH

上有3個(gè)分點(diǎn)，分成基本小三角形有4個(gè),所以

在AAGH中共有三角形4+3+2+1=10（個(gè)）.在△

答案第12頁，總17頁

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AMN與△ABC中，三角形有同樣的個(gè)數(shù)，所以在

△ABC中三角形個(gè)數(shù)總共：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(個(gè)).

解：①在aABC中共有線段是：

(3+2+1)X5+(4+3+2+1)X3=30+30=60(條)

②在aABC中共有三角形是：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(個(gè)).

21.13

【解析】分析本題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可

以采用上幾例所總結(jié)的規(guī)律去解決.

Nl、N2、N3、N4我們可視為4個(gè)基本角，

由2個(gè)基本角組成的有：N1與N2、N2與N3、

Z3與N4、Z4與NL共4個(gè)角.由3個(gè)基本角

組成的角有：Nl、N2與N3；N2、N3與N4；

N3、N4與Nl；N4、N1與N2,共4個(gè)角，

由4個(gè)基本角組成的角只有一個(gè).

所以圖中總共有角是：4X3+1=13(個(gè)).

解：所以圖中共有角是：4X3+1=13(個(gè)).

小結(jié)：由本題可以推出一般情況：若周角中含有

n個(gè)基本角，那么它上面角的總數(shù)是n(n-1)

+1.

22.100,12384

答案第13頁，總17頁

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【解析】①一共有(4+3+2+l)x(4+3+2+l)=100(個(gè))長方形;

②所求的和是

[5+12+8+l+(5+12)+(12+8)+(8+l)+(5+12+8)+(12+8+l)+(5+12+8+l)]x

[2+4+7+3+(2+4)+(4+7)+(7+3)+(2+4+7)+(4+7+3)+(2+4+7+3)]

=144x86=12384（平方厘米）o

23.48,360

【解析】含☆的一行內(nèi)所有可能的長方形有：（八

種）

p^|☆☆☆☆I(lǐng)r^i-

網(wǎng)IIII|創(chuàng)口|

含☆的一列內(nèi)所有可能的長方形有：（六種）

所以總共長方形有6x8=48個(gè)，面積總和為

（l+2+2+3+3+4+4+5）x（l+2+2+3+3+4）=360o

24.118

【解析】顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大

類，兩類中三角形的個(gè)數(shù)相等.尖向上的三角形

又可分為6類

（1）最大的三角形1個(gè)（即△ABC）,

（2）第二大的三角形有3個(gè)

答