專題十一數(shù)列求和的常用方法

2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義編號(hào)：2011gssx11專題十一數(shù)列求和的常用方法一、公式法①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式；③常用公式：，，二、．并項(xiàng)求和法：將數(shù)列的相鄰的兩項(xiàng)（或若干項(xiàng)）并成一項(xiàng)（或一組）得到一個(gè)新的且更容易求和的數(shù)列.三、分組求和法：將數(shù)列分成可以求和的幾組。四．裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的每一項(xiàng)拆（裂開）成兩項(xiàng)之差，使得正負(fù)項(xiàng)能互相抵消，剩下首尾若干項(xiàng).①②③；④五．錯(cuò)位相減法：若是等差數(shù)列，{}是等比數(shù)列，則數(shù)列{}的求和運(yùn)用錯(cuò)位求和方法，這是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法.六．倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列的倒數(shù)第k項(xiàng)（k=1，2，3，…，n）變?yōu)轫様?shù)第k項(xiàng)，然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列相加，這是仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法.七、通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和?！菊n前熱身】1、數(shù)列2，的前n項(xiàng)之和為2、設(shè)=1； 3、數(shù)列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+），…的前n項(xiàng)和等于4、 已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是項(xiàng)和為典型例題：例1、（1）求的值（2）求證：解：（1）設(shè)Sn=則Sn=∴2Sn=89，故Sn=（2）設(shè)Tn=，則Tn=∴2Tn==∴注：本例是運(yùn)用倒序相加法求和。例2、解：當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴x∴（1-x）=∴綜上：注：本題運(yùn)用錯(cuò)位相減法，但要注意分類討論。例3、（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和：(2)求之和.（3）求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.（4）求和：解：（1）設(shè)S==當(dāng)a=1時(shí)，S=當(dāng)時(shí)，S=綜上：S=（2）an=∴==（3）an=∴==（4）ak=∴==注：本題先看通項(xiàng)，再運(yùn)用分組求和，但第（4）小題中的n注意是常數(shù)，易看成變量而出錯(cuò)，故通項(xiàng)可以看成第k項(xiàng)?！菊n堂檢測(cè)】1、11+103+1005+……+[10n+(2n－1)]的值為2、1+2+3+4+5+…+=3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和為10，則項(xiàng)數(shù)n為1208、數(shù)列{(－1)n-1（4n-3）}的前100項(xiàng)之和為-200：10、數(shù)列0.5,0.55,0.555,0.5555，…的前n項(xiàng)之和為【課堂小結(jié)】本節(jié)課復(fù)習(xí)總結(jié)了數(shù)列求和的各種方法，對(duì)于數(shù)列求和，先看數(shù)列的通項(xiàng)，再確定求和的方法，對(duì)于含參數(shù)問題，注意分類討論?！菊n后作業(yè)】1、的值為2、=3、已知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn且S5=2,S10=6，則a16+a17+a18+a19+a20等于164、在等比數(shù)列{an}中，若有a3=2S2+1,a4=2S3+1，則該數(shù)列的公比q=3。5、數(shù)列{an}：，則S2002=56、=7、數(shù)列1，…的前100項(xiàng)和等于8、的整數(shù)部分用F（m）表示，則的值是82049、等差數(shù)列{an}中，已知公差d=5，前20項(xiàng)的和S20=400，則=200010、已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和Sn=3+，則=11、給定，定義使為整數(shù)的k叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間（1，2008）內(nèi)的所有企盼數(shù)的和為202612、已知等比數(shù)列{an}。（1）求a，b的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}解：（1），∴∴，又∴得∴得綜上：，(2)bn=，∴=∴13、已知二次函數(shù)y=f（x）的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列{an}，點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=f（x）的圖像上。(1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=，是數(shù)列{bn}，求使得對(duì)所