中考數(shù)學考點專項復習教案11

第二十二章一元二次方程

本章小結(jié)

小結(jié)1本章概述

本章的主要內(nèi)容有三部分.第一部分是一元二次方程的概念：學

習一元二次方程的一般形式、成立的條件，一元二次方程的根（或解），

檢驗一個數(shù)值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次

方程的解法：理解一元二次方程的解法的數(shù)學思想是降次，由降次的

不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法

（配方法、公式法、因式分解法）；第三部分是一元二次方程的應用：

利用一元二次方程來解答實際應用問題、數(shù)學綜合問題等。一元二次

方程是初中階段最重要的方程，它是解答數(shù)學問題的重要工具和方

法，并且對學習函數(shù)，尤其是二次函數(shù)的綜合問題起著決定性的作用，

它在中考試題中占有一定的比例.

小結(jié)2本章學習重難點

【本章重點】正確理解一元二次方程的有關概念及二次項系數(shù)不

為0這一前提條件，掌握化一元二次方程為一般形式的方法及一元二

次方程的解法.

【本章難點】熟練求一元二次方程的解，并會將實際問題抽象為

單純的數(shù)學問題（列一元二次方程）來解決.會用一元二次方程的根與

系數(shù)的關系求未知字母的系數(shù)，掌握一元二次方程根的判別式的應

用.

小結(jié)3學法指導

1.經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方

程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的一個有效的數(shù)學模型，本章遵循了“問

題情境一一建立模型一一應用”的模式.

2.在觀察、歸納、類比、計算與交流活動中，理解并掌握一元

二次方程的基本解法——直接開平方法、因式分解法、配方法和公式

法，并形成利用語言文字規(guī)范化地表達方程思想和方程知識的過程.

3.通過對一元二次方程解法的探索與思考，進一步體會“化歸”

與“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學，思想的重要地位，解一元二次方程實際上是轉(zhuǎn)化

為解一元一次方程，達到降次的目的，進一步認識“方程是反映現(xiàn)實

世界數(shù)量關系的一個有效的數(shù)學模型”.

4.經(jīng)歷在具體問題情境中估計一元二次方程的解的過程，注意

精確解、近似解的含義，并根據(jù)具體問題檢驗解的合理性.

5.學好本章的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解法和利用一元二

次方程解決實際問題的方法，在學習過程中隨時類比一元一次方程等

相關知識，注意一元二次方程根與系數(shù)的關系，并在探索過程中體會

“化歸”與“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學思想在解決問題中的作用.

知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖

定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知

r

直接開平方法

\因式分解法

一兀二h.TJ/F7/J酉己方7去

4件

應用一元二次方程解決實際問題

［步驟

（實際問題的答案

專題總結(jié)及應用

一、知識性專題

專題1一元二次方程的定義

【專題解讀】涉及一元二次方程定義的問題，應注意強調(diào)二次項

系數(shù)不為0,不要忽略某些題目中的隱含條件.

例1已知（加-1）/*+3%—2=0是關于％的一元二次方程,

求m的值.

分析依題意可知和一1W0與加1+1=2必須同時成立，因此求出

滿足上述兩個條件的m的值即可.

解：依題意得1加1+1=2,即1加1=1,

解得m=±l,

又IWO,

故m=-l.

【解題策略】解決此類問題的關鍵是牢記并理解一元二次方程的

定義，特別是二次項系數(shù)應為非零數(shù)這一隱含條件要注意.

專題2一元二次方程的解法

【專題解讀】解一元二次方程時，主要考慮降次，其解法有直接

開平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具體的解題過程中，應

結(jié)合具體的方程的特點選擇簡單、恰當?shù)姆椒?

例2用配方法解一元二次方程2?+1=3x.

分析本題考查配方法解方程的步驟.

解：移項，得2*2—3%=-1,

二次項系數(shù)化為1,得/_。=一匕

22

配方，得（X-3）2=j

416

411

由此可得X——-±—X,-[,X

442'2

【解題策略】在二次系數(shù)為1的前提下，方程兩邊都加上一次項

系數(shù)一半的平方.

例3一元二次方程一X=。的解是()

A.x=OB.%i=O,乃=3C.用=0,々=；D.

1

x=—

3

分析根據(jù)本題特點應采用因式分解法，將原方程化為x(3x—1)

=0,易求出％=0或3%—1=0,問題得解.故選C.

【解題策略】方程易轉(zhuǎn)化為兩個一次式乘積為。的形式，可采用

因式分解法來解方程.

例4解方程f—2%—2=0.

分析結(jié)合方程特點，本題可采用公式法或配方法求解.

解法1：\'a=l,b=~2,c=—2,

：.b2-4ac=(-2)2-4XlX(-2)=12,

.x_-"J/-4ac_(2)±_]+百

2a-2"-'

%1-1+y/3,4=1-^3.

解法2：移項，得%2—2%=2,

配方得f—2x+l=3,

即(x―1)~=3,一1—±-^3?)=1+-^3,x,=1—y/3.

【解題策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“萬

能”的方法.

專題3與方程的根有關的問題

【專題解讀】這部分內(nèi)容主要考查已知方程的一根求字母的值,

或者是根與系數(shù)及判別式相聯(lián)系的問題.

例5解下列方程，將所得到的解填入下面表格中：

方程修%2%i+%2西?x2

X2-6x=0

X2—5x+4=0

x2+3x—10=0

(1)通過填表，你發(fā)現(xiàn)這些方程的兩個解的和與積與方程的系

數(shù)有什么關系了嗎？

(2)一般地，對于關于x的方程f+px+q=O(p,q為常數(shù),且

p2—4q20)來說，是否也具備(1)中你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？如果具備，

請你寫出規(guī)律，并說明理由；如果不具備，請舉出反例.

分析這是一道探究規(guī)律的試題，解決此題應按照題中所給順序

逐項認真完成，仔細觀察，能發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關系.

解：填表如下:

方程修%2X]+X2X\#X2

尤2-6x=00660

5X+4=01454

?+3x-10=0—52-3-10

(1)由上表可以發(fā)現(xiàn)：上述方程的兩根之和等于方程的一次項

系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項.

(2)對方程f+px+gu。(p,q為常數(shù)，且//―4qN0)來說也

具備同樣的規(guī)律.

設方程寸+〃%+9=0的兩根為修，沏，貝1」為+尤2=-P，尤］，冷=4,

理由如下：

,.,p2—4q>0,.,.方程f+px+q=O有兩個實數(shù)根,

-p+Jp2_4q_-p-Jp2_4p

2'%=F

-2

?v,—~P+yjP~4^-p-y]p-4<y_-2p

??Ai十-----------------------1------------------------------------------

222

__〃+J//-4q「p-Jp?-4q

辦“2—~~

22

_(-p)2-(Jp?-鈉)2_p2-(p2-4<7)_^q_

----------------------------------------———q,

444

即汨+%2=-p，11.x?=q.

例6若a是關于x的方程x1+hx+a=O的根，且Q#0,則由此可

得求得下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）

A.abB.—C.a+h

a

D.a—h

分析此題應由根的意義入手，將a代入方程等得到關于b

的一個方程，再通過因式分解進行求解.把x=a代入方程f+/zx+a=O,

彳導ci~+dh+d=0>.二a（Q+b+l）=O,34,,??<2ci+h+1=0>即ci+b=

—1.故選C.

【解題策略】本題將方程解的意義、方程的解法融為一體，體現(xiàn)

了消元、降次的轉(zhuǎn)化思想，具有一定的探究性，而且此題在設計思路

上跳出了固定套路，是一道具有創(chuàng)新意識的題.

專題4一元二次方程的應用

【專題解讀】利用一元二次方程解決實際問題時，應根據(jù)具體問

題找到等量關系，進而列出方程，另外，對方程的解要注意合理進行

取舍.

例7烏魯木齊農(nóng)牧區(qū)校舍改造工程初見成效，農(nóng)牧區(qū)最漂亮的

房子是校舍，2005年市政府對農(nóng)牧區(qū)校舍改造的投入資金是5786萬

元，2007年校舍改造的投入資金是8050.9萬元，若設這兩年投入農(nóng)

牧區(qū)校舍改造資金的年平均增長率為%,則根據(jù)題意列方程

得.

分析本題考查一元二次方程在增長率問題中的應用.因兩年投

入農(nóng)牧區(qū)校舍改造資金的年平均增長率為%,則2006年投入資金是

5786(1+x)萬元，2007年的投入資金是5786(1+x)?萬元，故所求

方程為5786(1+x)2=8058.9.

【解題策略】有關增長率問題的常用公式為。(1+x)n=b5為

正整數(shù)).

二、規(guī)律方法專題

專題5一元二次方程的解法技巧

【專題解讀】除了常見的兒種一元二次方程的解法外，對于特殊

類型的方程，可采用特殊的方法.

1.換元法

例8如果(2wt+2〃+l)(2m+2n_1)=63,那么m+n的值

是.

分析把m+n看做一個整體求解.設m+n—x,則原方程化為

(2x+l)(2x-1)=63,整理，得4f=64,解得％=±4,.'.m+n=

±4.故填±4.

例9解方程(3x+2)2-8(3%+2)+15=0.

分析此題可以把原方程展開為一般形式，運用公式法、因式分

解法或配方法求解，但都比較麻煩，觀察題目的結(jié)構(gòu)可知把3x+2看

做一個整體，設為t,則原方程就可化成關于未知數(shù)力的一元二次方

程.

解:設3X+2=3原方程化為金一8什15=0,

?e?~3,看2=5.

當，=3時，3x+2=3,.,.x=-；

3

當/=5時，3x+2=5,.\x=l.

原方程的根為修=；,%2=L

【解題策略】本題也可直接分解為K3X+2)—3][(3%+2)—5]=

0,即(3x—1)(3x-3)=0,用因式分解法解得了i=g,x2=l.

例10解方程(%+2)(%+3)(%—4)(%—5)=44.

分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次,

轉(zhuǎn)化為兩個一元二次方程.本題是一個一元四次方程，我們可嘗試用

因式分解法把方程的左邊進行因式分解(方程的右邊為0).

解：原方程轉(zhuǎn)化為(%+2)(x+3)(x—4)(x—5)—44=0,

[(尤+2)(X—4)][(%+3)(%—5)J—44=0,

(%2—2%—8)(f—2%—15)—44=0,

令f—2%=y,則原方程化為(y—8)(y—15)—44=0,

.?.y2—23y+76=0,

二?力=4,乃=19.

2

當y=4時，X—2X=4,X,=1+V5,X2=1-75;

2

當y=19時，X~2X=19,/.x3=1+2^5,x4=1-275.

原方程的根是％=1+V5,X2=1-底x3=1+275,x4=1-2^.

2.配方法

例11先用配方法說明：無論％取何值，代數(shù)式f—6x+10的值

部大于0;再求出當尤取何值時，代數(shù)式X2—6x+10的值最小，最小

值是多少.

解:x—6x+10=d—6X+32+(10—32)=(x—3)2+1.

(x-3)2力0,(x-3)2+1>0,

無論x取何值，代數(shù)式%2—6x+10的值部大于0.

當％—3=0,即x=3時，(/—6%+10)最小=1.

例12若實數(shù)zn,n,p滿足相一〃=8,wz+p2+16=0,則〃?+/i+p

的值為()

A.-1B.0C.1

D.2

分析本題有三個未知數(shù)”，n,p給出兩個關系式，思路應放

在消元轉(zhuǎn)化上.由m-n

=8,得m=n+8,將m=n+S代入mn+p2+16=0中，得n(n~

8)+/?^+16=0,.二〃~+8〃+16+p~=0,即(八+4)2+p~=0,又(〃+4)~

NO,p?2。,且(〃+4)2+p2=o,.?.(〃+4=。，

[p=。，

解得/4'〃=4+(-4)+0=0.故選B.

P=0,

3.構(gòu)造法

例13解方程3f+l￡+10=0.

解：原方程兩邊同時乘3,得(3%)2+11X3X+30=0,

二.(3x+5)(3x+6)=0,

3x+5=0,或3x+6=0,

4.特殊解法

例14解方程(x-1994)(x-1995)=1996X1997.

分析觀察方程可知1994+1997=1995+1996,1994一1996=1995

-1997,并且一元二次方程最多只有兩個實數(shù)解，則可用特殊的簡便

解法求解.

解：方程組FT：?=："的解一定是原方程的解，

"1995=1996

解得x=3991,

方程組「一1994=-1996,的解也一定是原方程的解，

1x-1995=-1997

解得x=~2,

???原方程最多只有兩個實數(shù)解，

,原方程的解為為=3991,M=-2.

【解題策略】解本題也可采用換元法.設%—1995=/,則X—

1994=計1,原方程化為f(什1)=1996X1997,."2+，一1996X1997=0,

工(z+1997)(f-1996)=0,"1997=0,或「一1996=0,.?山=一1997,

力=1996.當仁一1997時，%-1995=-1997,：.x=~2；當U1996時，工

—1995=1996,.?.x=399L.?.原方程的解為修=—2,x2=3991.

三、思想方法專題

專題6建模思想

【專題解讀】建模思想是指根據(jù)實際問題中數(shù)量之間的關系建

立方程模型表達這個等量關系，通過解方程來解決實際問題.

例15經(jīng)過兩年的連續(xù)治理，某城市的大氣環(huán)境有了明顯改善,

其每年每平方公里的降塵量從50噸下降到40.5噸，則平均每年下降

的百分率是.

分析根據(jù)題意，設所求百分率為x,則有50（1-x）2=40.5,

解得兩=1.9,x2=0.1,而1.9>1,不合題意，舍去，故x=0.L故平均

每年下降的百分率是10%.故填10%.

【解題策略】利用一元二次方程解實際問題時，方程的解一定要

符合實際意義.在建立方程模型解決實際問題時，應找準對應的數(shù)量

關系.

2011中考真題精選

一、選擇題

1.（2011新疆烏魯木齊，8,4）關于x的一元二次方程（a—l）x2

+x+la|—1=0的一個根是0,則實數(shù)a的值為（）

A、-1B、0C、1D、-1或1

考點：一元二次方程的解；一元二次方程的定義。

專題：常規(guī)題型。

分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根據(jù)二次項系數(shù)不能為

0,把a=l舍去.

解答：解：把x=0代入方程得：lai—1=0,.*.a=±l,

*.*a—1邦，a=-1.

故選A.

點評：本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a

的值，再由二次項系數(shù)不為0,確定正確的選項.

2.(2011臺灣，20,4分)若一元二次方程式ax(x+1)+(x+1)

(x+2)~\-bx(x+2)=2的兩根為0.2,則I3a+40l之值為何()

A.2B.5C.7D.8

考點：解二元一次方程組；絕對值。

分析：先根據(jù)一元二次方程式ox(x+1)+(x+1)(X+2)~\~bx(x

+2)=2的根確定a.b的關系式.然后根據(jù)a.b的關系式得出3a

+4。=—5.用求絕對值的方法求出所需絕對值.

解答：解：將兩根0.2分別代入ax(x+1)+(x+1)(x+2)~}~bx

(x+2)=2中計算得3a+4b=-5,所以I3a+4bl=5.

故選B.

點評：此題考查了一元二次方程和二元一次方程及絕對值的運用.

3.(2011?臺灣31,4分)關于方程式88(x-2)2=95的兩根，下列

判斷何者正確()

A、一根小于1,另一根大于3B、一根小于-2,另一根大于

2

C、兩根都小于0D、兩根都大于2

考點：估算一元二次方程的近似解；解一元二次方程-直接開平方法。

分析：本題需先根據(jù)一元二次方程的解法，對方程進行計算，分別解

出XI和X2的值，再進行估算即可得出結(jié)果.

解答:解:V88(X-2)2=95,

_95

(x-2)2

~88

；.x尸藍+2,.\xi>3,；.X2二航+2,r.x2<l.故選A.

點評：本題主要考查了對一元二次方程的近似解的估算，解題時要注

意在開方的時候不要漏掉方程根，這是解題的關鍵.

4.6.某品牌服裝原價173元，連續(xù)兩次降價x%后售價價為127元，

下面所列方程中正確的是()

A.173(l+x%)2=127B.173(l-2x%)=127

C.173(1—=127D.127(l+x%『=173

考點：由實際問題抽象出一元二次方程.

專題：增長率問題.

分析：根據(jù)降價后的價格=原價(1—降低的百分率)，本題可先用

173(1-x%)表示第一次降價后商品的售價，再根據(jù)題意表

示第二次降價后的售價，即可列出方程.

解答：解：當商品第一次降價1%時，其售價為173—173x%=173(1

—X%);

當商品第二次降價X%后，其售價為

173(1-x%)-173(1-x%)x%=173(1

-X%)L

173Cl-x%)2=127.

故選C.

點評：本題主要考查一元二次方程的應用，要根據(jù)題意列出第一次降

價后商品的售價，再根據(jù)題意列出第二次降價后售價的方程，令其等

于127即可.

5.(2011甘肅蘭州，19,4分)關于％的方程a(x+m)2+b=0的解是

Xf=-2,%2=1（。，m，b均為常數(shù)，Q#0）,則方程a（x+〃?+2）2+8=0的

解是.

考點：一元二次方程的解.

分析：直接由向左平移加，向右平移減可得出為=-2-2=-4,

無2=1-2=-1.

解答：解：,關于光的方程。（x+m）2+。=0的解是％1=-2,%2=1，

（a,m,b均為常數(shù),。和）,?,?則方程以（x+wi+2）2+6=0的解是xi=

-2-2=-4,X2=1-2=-1.故答案為：X\=-4,X2=~1.

點評：此題主要考查了方程解的定義.注意由兩個方程的特點進行簡

便計算.

6.（2011?湖南張家界，5,3）已知1是關于x的一元二次方程（m-

1）x2+x+l=0的一個根，則m的值是（）

A、1B、-1C、0D、無法確定

考點：一元二次方程的解；一元二次方程的定義。

分析：把x=l代入方程，即可得到一個關于m的方程，即可求解.

解答：解：根據(jù)題意得：（m-1）+1+1=0,

解得：m=-1.

故選B.

點評：本題主要考查了方程的解的定義，正確理解定義是關鍵.

7.（2011甘肅蘭州，1,4分）下列方程中是關于x的一元二次方程

的是（）

A.寸+J=0B.ax2+bx+c=0

C.(x-l)(x+2)=lD.3x2-2xy-5y2=0

考點：一元二次方程的定義.

分析：一元二次方程必須滿足四個條件:

(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(2)二次項系數(shù)不為0；

(3)是整式方程；

(4)含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足

這四個條件者為正確答案.

解答：解：A,由原方程，得f+i=o,未知數(shù)的最高次數(shù)是4；故

本選項錯誤；

B,當。=0時，即#+以+c=o的二次項系數(shù)是。時，該方程就不是一

元二次方程；故本選項錯誤；C,由原方程，得X2+X-3=0,符號一元

二次方程的要求；故本選項正確；D,方程3f-2xy-5y2=0中含有兩個

未知數(shù)；故本選項錯誤.故選C.

點評：本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二

次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個

未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

8.(2011黑龍江省哈爾濱,5,3分)若x=2是關于x的一元二次方

程x2-mx+8=0的一個解.則m的值是()

A.6B.5C.2D.-6

考點：一元二次方程的解。

分析：先把x的值代入方程即可得到一個關于m的方程，解一元

一方程即可.

解答：解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0,

解得m=6.

故選A.

點評：本題考查了一元二次方程的解，此題比較簡單，易于掌握.

二、填空題

1.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州，12,3分）已知關于％的方程/+加%-6=0

的一個根為2,則加=1,另一個根是-3.

考點：一元二次方程的解；根與系數(shù)的關系.

專題：方程思想.

分析：根據(jù)一元二次方程的解定義，將m2代入關于%的方程/+機工

-6=0,然后解關于機的一元一次方程;再根據(jù)根與系數(shù)的關系汨+為=

-2解出方程的另一個根.

a

解答：解：根據(jù)題意，得

4+2加-6=0,即2m-2=0,

解得，m=l；

由韋達定理，知

為+%2=一加；

.*.2+尤2=-1?

解得,%2=-3.

故答案是：1.-3.

點評：本題主要考查了一元二次方程的解.根與系數(shù)的關系.在利用

根與系數(shù)的關系為+?=-"％]?小=￡來計算時，要弄清楚a.b.c的

aa

意義.

2.（2011山東濱州，14,4分）若x=2是關于x的方程/一＞/+5=0

的一個根，則a的值為.

【考點】一元二次方程的解.

【分析】方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，

把x=2代入方程，即可得到一個關于a的方程，即可求得a的值.

【解答】解：把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得：

42a2+5=0,

解得：a=±V7.

故答案為：士幣.

【點評】本題主要考查了方程的解得定義，是需要掌握的基本內(nèi)容.

3.（2011梧州，15,3分）一元二次方程x2+5x+6=0的根是x1=-2,

X2=~3

考點：解一元二次方程-因式分解法；等式的性質(zhì)；解一元一次方程。

專題：計算題。

分析：分解因式得到x+2）（x+3）=0,推出x+2=0,x+3=0,求出方

程的解即可.

解答：解：x2+5x+6=0,

分解因式得：（x+2）（x+3）=0,

即x+2=0,x+3=0,

解方程得：Xi=-2,x2=-3.

故答案為：Xi=-2,x2=-3.

點評：本題主要考查對等式的性質(zhì)，解一元一次方程，解一元二次方

程等知識點的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是

解此題的關鍵.

一、選擇題

1.(2011四川涼山，6,4分)某品牌服裝原價173元，連續(xù)兩次降

價x%后售價價為127元，下面所列方程中正確的是()

A.173(l+x%)2=127B.173(1-2%%)=127

C.173(l-x%y=127D.127(l+x%y=173

考點：由實際問題抽象出一元二次方程.

專題：增長率問題.

分析：根據(jù)降價后的價格=原價(1—降低的百分率)，本題可先

用173(1-x%)表示第一次降價后商品的售價，再根據(jù)題意

表示第二次降價后的售價，即可列出方程.

解答：解：當商品第一次降價％%時一，其售價為173—173x％=173

(1—X%)；

當商品第二次降價X%后，其售價為

173(1-x%)-173(1-x%)x%=173(1

-X%)土

173(1-x%)2=127.

故選C.

點評：本題主要考查一元二次方程的應用，要根據(jù)題意列出第一

次降價后商品的售價，再根據(jù)題意列出第二次降價后售價的方程，令

其等于127即可.

2.（2011?臺灣20,4分）如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形,

其頂點均位于某兩網(wǎng)格線的交點上，若灰色三角形面積為4平方公

4

分，則此方格紙的面積為多少平方公分（）

考點：一元二次方程的應用。

專題：網(wǎng)格型。

分析：可設方格紙的邊長是X,灰色三角形的面積等于方格紙的面積

減去周圍三個直角三角形的面積，列出方程可求解.

解答：解：方格紙的邊長是X,1

2

111131121

X2---*X*-X--?-X*-X--*x*-x=—

22224244

x2=12.

所以方格紙的面積是12,

故選B.

點評：本題考查識圖能力，關鍵看到灰色三角形的面積等于正方形方

格紙的面積減去周圍三個三角形的面積得解.

3.（2011甘肅蘭州，11,4分）某校九年級學生畢業(yè)時，每個同學

都將自己的相片向全班其他同學各送一張留作紀念，全班共送了2070

張相片，如果全班有X名學生，根據(jù)題意，列出方程為()

A.x(x-1)=2070B.x(x+1)=2070

C.2x(x+1)=2070D.”丁)=2070

考點：由實際問題抽象出一元二次方程.

分析：根據(jù)題意得：每人要贈送張相片，有x個人，然后根

據(jù)題意可列出方程.

解答：解：根據(jù)題意得：每人要贈送x-1張相片，有1個人，

全班共送:(x-1)x=2070,

故選：A.

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用，本題要注意讀清題意，

弄清楚每人要贈送％」張相片，有％個人是解決問題的關鍵.

4.(2011貴州畢節(jié)，10,3分)廣州亞運會期間，某紀念品原價168

元，連續(xù)兩次降價。％后售價為128元，下列所列方程正確的是

()

A.160(1+4％)2=128B.160(1-a%)2=128

C.160(1-2a%)=128D.160(1-a%)=128

考點：由實際問題抽象出一元二次方程。專題：增長率問題。

分析：本題可先用168(1-a%)表示第一次降價后某紀念品的

售價，再根據(jù)題意表示第二次降價后的售價，然后根據(jù)已知條件得到

關于a的方程.

解答：解：當某紀念品第一次降價a%時，其售價為168-

168a%=168(1-a%)；

當某紀念品第二次降價a%后，其售價為168(1-a%)-168(1-a%)

a%=168(1-a%)2..*.168(1-a%)2=128.故選B.

點評：本題主要考查一元二次方程的應用，要根據(jù)題意列出第一次降

價后商品的售價，再根據(jù)題意列出第二次降價后售價的方程，令其等

于128即可.

5.(2011廣西百色，11,4分)某工廠今年元月份的產(chǎn)量是50萬元,

3月份的產(chǎn)值達到了72萬元.若求2、3月份的產(chǎn)值平均增長率，設

這兩個月的產(chǎn)值平均月增長率為x,依題意可列方程()

A.72(x+1)2=50B.50(x+1)2=72

C.50(x-1)2=72D.72(x-1)2=50

考點：由實際問題抽象出一元二次方程.

專題：增長率問題.

分析：根據(jù)這兩個月的產(chǎn)值平均月增長率為x,則2月份的產(chǎn)值是50

(1+x),3月份的產(chǎn)值是50(1+x)(1+x),從而列方程即可.

解答：解：根據(jù)題意，得

50(x+1)2=72.

故選B.

點評：此題考查了一元二次方程在實際問題中的應用，此題中的等量

關系是3月份的產(chǎn)值達到了72萬元.

6,(2011湖北黃石，8,3分)平面上不重合的兩點確定一條直線，不

同三點最多可確定3條直線，若平面上不同的n個點最多可確定21

條直線.則n的值為()

A.5B.6C.7D.8

考點：一元二次方程的應用。

專題：規(guī)律型。

分析：這是個規(guī)律性題目，關鍵是找到不在同一直線上的n個點，可

以確定多少條直線這個規(guī)律，當有n個點時一，就有也山，從而可得

2

出n的值.

解答：解：設有n個點時，

"(n1)_2]

n=7或n=-6(舍去).

故選C.

點評：本題是個規(guī)律性題目，關鍵知道當不在同一平面上的n個點時一，

可確定多少條直線，代入21可求出解.

二、填空題

1.(2011?寧夏，13,3分)某商場在促銷活動中，將原價36元的商

品，連續(xù)兩次降價m%后現(xiàn)價為25元.根據(jù)題意可列方程為36(1

-m%)2=25.

考點：由實際問題抽象出一元二次方程。

專題：增長率問題。

分析：等量關系為：原價x(1-降低率)2=25,把相關數(shù)值代入即可.

解答：解：第一次降價后的價格為36x(1-m%),

第二次降價后的價格為36x(1-m%)x(1-m%)=36x(1-m%)

2

9

列的方程為36(1-m%)2=25.

故答案為:36(1-m%)2=25.

點評：本題考查求平均變化率的方法.若設變化前的量為a,變化后

的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a(l±x)

2=b.

2.(2011山西，15,3分)“十二五”時期，山西將建成中西部旅游

強省，以旅游業(yè)為龍頭的服務業(yè)將成為推動山西經(jīng)濟發(fā)展的主要

動力.2010年全省全年旅游總收入大約1000億元,如果到2012

年全省全年旅游總收入要達到1440億元，那么年平均增長率應

為.

考點：一元二次方程

專題：一元二次方程

分析：設年平均增長率應為心根據(jù)題意列方程1000(1+4=1440,

解得，檢驗即可.

解答：20%

點評：增長率的基本關系式：a(l+x)n=b,其中a為原有量，b為現(xiàn)

有量，〃為增長的次數(shù)，%為增長率.

3.某小區(qū)2010年屋頂綠化面積為2000平方米，計劃2012年屋頂綠

化面積要達到2880平方米.如果每年屋頂綠化面積的增長率相

同，那么這個增長率是20%.

考點:一元二次方程的應用.

專題:?增長率問題.

分析:本題需先設出這個增長率是x,再根據(jù)已知條件找出等量

關系列出方程，求出x的值，即可得出答案.

解答:解：設這個增長率是X,根據(jù)題意得:

2000x(1+x)2=2880

解得：Xi=20%,X2=-220%(舍去)

故答案為：20%.

點評：本題主要考查了一元二次方程的應用，在解題時要根據(jù)已知條

件找出等量關系，列出方程是本題的關鍵.

4.(2011云南保山，13,3分)據(jù)調(diào)查，某市2011年的房價為4000

元/機2,預計2013年將達到4840元/求這兩年的年平均增長率.

設年平均增長率為無，根據(jù)題意，所列方程為()

A.4000(l+x)=4840B.4000(l+x)2=4840

C.4000(l-x)=4840D.4000(l-x)2=4840

考點：由實際問題抽象出一元二次方程。

專題：增長率問題。

分析：根據(jù)下一年的房價等于上一年的房價乘以(1+x),可以列出

2013年的房價，而預計2013年將達到4840元面,故可得到一個一

元二次方程.

解答：解：設年平均增長率為X,

那么2012年的房價為：4000(1+x),

2013年的房價為:4000(1+x)M840.

故選B.

點評：本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程：解決實際問題

時，要全面、系統(tǒng)地弄清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關

系，找出并全面表示問題的相等關系，設出未知數(shù)，用方程表示出已

知量與未知量之間的等量關系，即列出一元二次方程.

5:(2011?青海)某種藥品原價為100元，經(jīng)過連續(xù)兩次的降價后，價

格變?yōu)?4元，如果每次降價的百分率是一樣的，那么每次降價后的

百分率是20%.

考點：一元二次方程的應用。

專題：增長率問題。

分析：此題可設每次降價的百分率為x,第一次降價后價格變?yōu)?00

(1-x)元，第二次在第一次降價后的基礎上再降，變?yōu)?00(x-l)

(x-1),即100(x-1)2元，從而列出方程，求出答案.

解答：解：設每次降價的百分率為x,第二次降價后價格變?yōu)?00(1

-X)2元.

根據(jù)題意，得100(1-X)2=64,

即(1-x)2=0.64,

解得Xi=1.8,X2=0.2.

因為x=1.8不合題意，故舍去，

所以x=0.2.

即每次降價的百分率為0.2,即20%.

故答案為:20%.

點評：考查了一元二次方程的應用，此題的關鍵在于分析降價后的價

格，要注意降價的基礎，另外還要注意解的取舍.

6.(2011山東省濰坊，16,3分)已知線段AB的長為a.以AB

為邊在AB的下方作正方形ACDB.取AB邊上一點E.以AE為邊

在AB的上方作正方形AKNM.過E作EFJLCD.垂足為F點.若

正方形AENM與四邊形EFDB的面積相等.則AE的長為

【考點】一元二次方程的應用.

【專題】兒何圖形問題.

【分析】本題需先設出AE的長，從而得出BE的長，再根據(jù)題

意列出方程，求出x的值即可得出AE的長.

【解答】解：設AE的長為x,則BE的長為a-x

根據(jù)題意得：x2=(a-x)-a

解得：x=叵L

2

故答案為：與a.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，在解題時要根據(jù)已知

條件和圖形列出方程是本題的關鍵.

7.(2011?山西15,3分)“十二五”時期，山西將建成中西部旅游強

省，以旅游業(yè)為龍頭的服務業(yè)將成為推動山西經(jīng)濟發(fā)展的豐要動

力.2010年全省全年旅游總收入大約1000億元，如果到2012年全省

每年旅游總收入要達到1440億元，那么年平均增長率應為—.

考點：一元二次方程的應用。

專題：增長率問題。

分析：根據(jù)題意設年平均增長率為％,列出一元二次方程，解方程即

可得出答案.

解答：解：設年平均增長率為1,

則1000（1+x）2=1440,

解得3=0.2或X2=-2.2（舍去）,

故年平均增長率為20%；

故答案為20%.

點評：本題主要考查一元二次方程的實際應用，解題關鍵是要讀懂題

目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，

再求解，屬于中檔題.

8.（2011四川省宜賓市，15,3分）某城市居民最低生活保障在2009

年是240元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增加，到2011年提高到345.6元，則

該城市兩年最低生活保障的平均年增長率是.

考點：一元二次方程的應用.

分析：設該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是x,根據(jù)最低

生活保障在2009年是240元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增加，到2011年提高

到345.6元，可列出方程求解.

答案：解：設該城市兩年來最低生活保障的平均年增長率是X,

240（1+x）2=345.6,

l+x=±1.2,

x=20%或x=-220%（舍去）.

故答案為：20%.

點評：本題考查的是增長率問題，關鍵清楚增長前為240元，兩年變

化后為345.6元，從而求出解.

9.（2011?江蘇宿遷，16,3）如圖，鄰邊不等的矩形花圃ABCD,它

的一邊AD利用已有的圍墻，另外三邊所圍的柵欄的總長度是6m.若

矩形的面積為4m2,則AB的長度是m（可利用的圍墻長度超

過6m）.

國境

/〃/////r///////〃/

A\D

B-----------'c

考點：一元二次方程的應用。

專題：應用題；方程思想。

分析：設垂直墻的籬笆的長為x,那么平行墻的籬笆長為（6-2x）,

（6-2x）和x就是雞場的長和寬.然后用面積做等量關系可列方程

求解.

解答：解：設AB長為x米，則BC長為（6-2x）米.

依題意，得x（6-2x）=4.

整理，得x2-3x+2=O.

解方程，得Xi=l,X2=2.（3分）

所以當x=l時，6-2x=4；

當x=2時，6-2x=2(不符合題意，舍去).

答：AB的長為1米.

故答案為：1.

點評：本題考查了一元二次方程的應用.解題關鍵是要讀懂題目的意

思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解.本

題是用6米的籬笆圍成三個邊.

10.某家用電器經(jīng)過兩次降價,每臺零售價由350元下降到299元.若

兩次降價的百分率相同，設這個百分率為x,則可列出關于x的

方程為350x(1-x)2=299.

考點：由實際問題抽象出一元二次方程.

專邀:?增長率問題.

分析：設家用電器平均每次降價的百分率為x,根據(jù)降價后的價

格=降價前的價格(1-降價的百分率)，則第一次降價后的價格是

100(1-x),第二次后的價格是100(1-x)2,據(jù)此即可列方程求

解.

解答:解：設降價的百分率為x,根據(jù)題意列方程得

350x(1-x)2=299.

故答案為：350x(1-x)2=299.

點部：考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找到關鍵描述語，找

到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵.注意判斷所求的解是

否符合題意，舍去不合題意的解.

11.(2011天水，14,4)如圖(1),在寬為20加，長為32〃？的矩形

耕地上修建同樣寬的三條道路(橫向與縱向垂直)，把耕地分成若干

小矩形塊，作為小麥試驗田國，假設試驗田面積為570〃區(qū)求道路寬

為多少？設寬為xm,從圖(2)的思考方式出發(fā)列出的方程

是.

(1)(2)

考點：由實際問題抽象出一元二次方程。

分析：設寬為沏1,從圖(2)可看出剩下的耕田面積可平移成長方形,

且能表示出長和寬，從而根據(jù)面積可列出方程.

解答：解：設寬為切1，

(32-2%)(20-x)=570.

故答案為:(32-2%)(20-x)=570.

點評：本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關鍵根據(jù)圖可知道

剩下的耕地為矩形，且能表示出長和寬，根據(jù)面積可列方程.

三、解答題

1.(2011江蘇鎮(zhèn)江常州，26,7分)某商店以6元/千克的價格購進

某種干果1140千克，并對其進行篩選分成甲級干果與乙級干果后同

時開始銷售.這批干果銷售結(jié)束后，店主從銷售統(tǒng)計中發(fā)出：甲級干

果與乙級干果在銷售過程中每天都有銷量，且在同一天賣完；甲級干

果從開始銷售至銷售的第1天的總銷量以(千克)與X的關系為y產(chǎn)

-x2+40x；乙級干果從開始銷售至銷售的第t天的總銷量”(千克)

與t的關系為〉2=a2+次,且乙級干果的前三天的銷售量的情況見下表:

t123

小214469

(1)求a.h的值；

(2)若甲級干果與乙級干果分別以8元/千克的6元/千克的零售價出

售，則賣完這批干果獲得的毛利潤是多少元？

(3)問從第幾天起乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少

多6千克？

(說明：毛利潤=銷售總金額-進貨總金額.這批干果進貨至賣完的

過程中的損耗忽略不計)

考點：一元二次方程的應用；二元一次方程組的應用；一元一次不等

式的應用.

專題：銷售問題.

分析：(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)代入后，刈=/2+從，得到關于a,b的二

元一次方程，從而可求出解.

(2)設干果用n天賣完，根據(jù)兩個關系式和干果共有1140千克可列

方程求解.然后用售價-進價，得到利潤.

(3)設第m天乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少多6

千克，從而可列出不等式求解.

解答：解(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得[21=a+b

44=4。+2b

[a=1p=i

lb=20[b=20,

(2)甲級干果和乙級干果〃天售完這批貨.

-n2+4n+?2+20w=l140

n=19,

當及=19時,乃=399,y,=741,

毛禾%i|=399x8+741x6-1140x6=798(元.

(3)設第機天甲級干果的銷售量為-2〃?+19.

(2m+19)-(-2m+41)>6

n>7

第7天起乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少多6千克.

點評：本題考查理解題意的能力，關鍵是根據(jù)表格代入數(shù)列出二元一

次方程方程組求出。和。，確定函數(shù)式，然后根據(jù)等量關系和不等量

關系分別列方程和不等式求解.

2.(2011山東日照，20,8分)為落實國務院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使，居

者有其屋”，某市加快了廉租房的建設力度.2010年市政府共投資2

億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2012年底三年共累計

投資9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長率相

同.

(1)求每年市政府投資的增長率；

(2)若這兩年內(nèi)的建設成本不變，求到2012年底共建設了多少萬平

方米廉租房.

考點：一元二次方程的應用。

專題：增長率問題。

分析：（1）設每年市政府投資的增長率為X.根據(jù)到2012年底三年

共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，列方程求解；

（2）先求出單位面積所需錢數(shù)，再用累計投資?單位面積所需錢數(shù)可

得結(jié)果.

解答：解（1）設每年市政府投資的增長率為x,（1分）

根據(jù)題意,得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5,

整理，得：x?+3x-1.75=0,（3分）

解之，得：x13±'9+4X1二,

2

?-.xi=0.5>X2=~3.5（舍去）,（5分）

答：每年市政府投資的增長率為50%；（6分）

（2）到2012年底共建廉租房面積=9.5+2=38（萬平方米）.（8分）

8

點評：主要考查了一元二次方程的實際應用，本題的關鍵是掌握增長

率問題中的一般公式為a（1+x），其中n為共增長了幾年，a為第

一年的原始數(shù)據(jù)，x是增長率.

3.（2011四川廣安，27,9分）廣安市某樓盤準備以每平方米6000

元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產(chǎn)的新政策出臺后，購

房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價格經(jīng)過兩

次下調(diào)后，決定以每平方米4860元的均價開盤銷售.

（1）求平均每次下調(diào)的百分率.

（2）某人準備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發(fā)

商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打

折，一次性送裝修費每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)惠？

考點：一元二次方程的應用，增長（降低）率問題，方案選擇問

題.

專題：一元二次方程、最優(yōu)化方案問題.

分析：（1）設平價每次下調(diào)的百分率為X,則第一次下調(diào)后的價

格為6000（1-X）元，第二次下調(diào)是在6000（1-X）元的基礎上進行的，下

調(diào)后的價格為6000（1-x）（l-x）元即6000（1-X），由此可列出一元二次

方程求解.

（2）根據(jù)題意分別計算兩種優(yōu)惠方案可以優(yōu)惠的錢數(shù)，通過比較

大小即可作出判斷.

解答:（1）設平均每次下調(diào)的百分率％,則6000（1-x）2=4860.

解得：%i=0.1,X2=1.9（舍去）.

.?.平均每次下調(diào)而百分率10%.

（2）方案①可優(yōu)惠：4860x100x（1-0.98）=9720元

方案②可優(yōu)惠：100x80=8000元.

.??方案①更優(yōu)惠.

點評：對于平均增長（降低）率問題，應用公式41±力"=獷可直接

列方程，。為增長率（降低）前的基礎數(shù)量，x為增長率（降低率），

〃為增長（降低）的次數(shù)，人為增長（降低）后的數(shù)量.要注意根據(jù)

具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性.

4.（2011新疆建設兵團，23,10分）某商場推銷一種書包，進價為

30元，在試銷中發(fā)現(xiàn)這種書包每天的銷售量尸（個）與每個書包

銷售價％（元）滿足一次函數(shù)關系式.當定價為35元時，每天銷

售30個；定價為37元時，每天銷售26個.問：如果要保證商場

每天銷售這種書包獲利200元，求書包的銷售單價應定為多少

元？

考點：一元二次方程的應用；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

分析：根據(jù)題意找出漲價和銷售量的關系，然后根據(jù)利潤200元列

方程求解，設此時書包的單價是x元.

解答：解(30-26)4-(37-35)=2,每漲價1元，少賣2個.

設此時書包的單價是1元.

(%-30)[30-2(X-35)]=200,

x=40.

故此時書包的單價是40元.

點評：本題考查理解題意的能力，關鍵看出漲價和銷售量的關系，

然后根據(jù)利潤列方程求解.

5.(2011?貴港)隨著人們經(jīng)濟收入的不斷提高及汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)

展，汽車已越來越多地進入普通家庭.據(jù)某市交通部門統(tǒng)計，2008

年底該市汽車擁有量為75萬輛，而截止到2010年底，該市的汽車擁

有量已達108萬輛.

(1)求2008年底至2010年底該市汽車擁有量的年平均增長率；

(2)為了保護城市環(huán)境，緩解汽車擁堵狀況，該市交通部門擬控制

汽車總量，要求到201