不定積分教學(xué)課件

不定積分匯報(bào)人：AA2024-01-25CATALOGUE目錄不定積分基本概念與性質(zhì)基本積分公式與法則換元積分法分部積分法有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分特殊類型的不定積分求解技巧01不定積分基本概念與性質(zhì)不定積分的定義不定積分是微分的逆運(yùn)算，即求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過(guò)程。符號(hào)表示為：∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為常數(shù)，F(xiàn)(x)為f(x)的原函數(shù)。原函數(shù)與不定積分的關(guān)系是：一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是其不定積分的結(jié)果加上一個(gè)常數(shù)。也就是說(shuō)，如果一個(gè)函數(shù)F(x)是f(x)的原函數(shù)，那么F(x)+C（C為任意常數(shù)）也是f(x)的原函數(shù)。原函數(shù)與不定積分關(guān)系01∫[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx，其中a和b為常數(shù)。不定積分具有線性性質(zhì)，即02∫k*f(x)dx=k*∫f(x)dx，其中k為常數(shù)。不定積分的常數(shù)倍可以提到積分號(hào)外面03∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。不定積分的加減運(yùn)算可以分開(kāi)進(jìn)行不定積分的性質(zhì)幾何意義不定積分在幾何上表示曲線y=f(x)與x軸所圍成的面積。當(dāng)f(x)>0時(shí)，面積在x軸上方；當(dāng)f(x)<0時(shí)，面積在x軸下方。物理應(yīng)用不定積分在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如求速度、加速度、位移等物理量的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)。例如，已知加速度a(t)，可以通過(guò)不定積分求得速度v(t)，再通過(guò)不定積分求得位移s(t)。幾何意義及物理應(yīng)用02基本積分公式與法則∫kdx=kx+C(k為常數(shù))常數(shù)函數(shù)的不定積分∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C(n≠-1)冪函數(shù)的不定積分∫sinxdx=-cosx+C正弦函數(shù)的不定積分∫cosxdx=sinx+C余弦函數(shù)的不定積分基本初等函數(shù)的不定積分冪函數(shù)的不定積分一般冪函數(shù)的不定積分對(duì)于形如∫x^ndx的不定積分，當(dāng)n≠-1時(shí)，可以使用基本公式進(jìn)行求解。特殊冪函數(shù)的不定積分當(dāng)n=-1時(shí)，即∫(1/x)dx，其不定積分為ln|x|+C。正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的不定積分可以使用基本公式進(jìn)行求解，如∫sinxdx=-cosx+C和∫cosxdx=sinx+C。正切函數(shù)與余切函數(shù)的不定積分對(duì)于形如∫tanxdx和∫cotxdx的不定積分，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)進(jìn)行求解。正割函數(shù)與余割函數(shù)的不定積分對(duì)于形如∫secxdx和∫cscxdx的不定積分，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)進(jìn)行求解。三角函數(shù)的不定積分030201對(duì)數(shù)函數(shù)的不定積分對(duì)于形如∫lnxdx的不定積分，可以通過(guò)分部積分法進(jìn)行求解。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合不定積分對(duì)于形如∫e^(ax+b)dx和∫ln(ax+b)dx的不定積分，可以通過(guò)換元法進(jìn)行求解。指數(shù)函數(shù)的不定積分對(duì)于形如∫e^xdx的不定積分，其結(jié)果為e^x+C。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的不定積分03換元積分法原理通過(guò)湊微分，將復(fù)合函數(shù)的微分過(guò)程逆過(guò)來(lái)，得到原函數(shù)。方法觀察被積函數(shù)，尋找可以湊成微分的部分，將其表示為另一個(gè)函數(shù)的微分形式，從而簡(jiǎn)化積分過(guò)程。適用范圍適用于被積函數(shù)可以表示為另一個(gè)函數(shù)的微分形式的情況。第一類換元法（湊微分法）通過(guò)變量代換，將原積分轉(zhuǎn)化為更容易求解的新積分。原理根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，選擇合適的變量代換，將原積分轉(zhuǎn)化為新變量的積分，從而簡(jiǎn)化積分過(guò)程。方法適用于被積函數(shù)中含有根號(hào)、三角函數(shù)等復(fù)雜表達(dá)式的情況。適用范圍010203第二類換元法（變量代換法）例題1求解不定積分∫sin(x)cos(x)dx。解析觀察被積函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)sin(x)cos(x)可以表示為sin(2x)的微分形式的一半，因此可以使用第一類換元法，令u=sin(2x)，則du=2cos(2x)dx，原積分轉(zhuǎn)化為∫udu/2=u^2/4+C，回代得到原函數(shù)為(sin(2x))^2/4+C。例題2求解不定積分∫dx/(x^2+a^2)^(3/2)。解析觀察被積函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)分母是一個(gè)復(fù)雜的根號(hào)表達(dá)式，因此可以使用第二類換元法，令x=a*sin(t)，則dx=a*cos(t)dt，原積分轉(zhuǎn)化為∫(a*cos(t)dt)/(a^3*cos^3(t))=1/a^2∫sec^2(t)dt=1/a^2*tan(t)+C，回代得到原函數(shù)為x/(a^2*sqrt(x^2+a^2))+C。典型例題解析04分部積分法03注意事項(xiàng)在使用分部積分法時(shí)，需要選擇一個(gè)易于求導(dǎo)的函數(shù)作為u(x)，而將另一個(gè)函數(shù)作為v′(x)。01分部積分公式∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)?∫u′(x)v(x)dx∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)-∫u′(x)v(x)dx∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)?∫u′(x)v(x)dx02適用條件當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)不同類型函數(shù)的乘積時(shí)，可以嘗試使用分部積分法。分部積分公式及適用條件求解∫xe^xdx∫xe^xdx例題1選擇u(x)=x,v′(x)=e^x，則u′(x)=1,v(x)=e^x。根據(jù)分部積分公式，有解析典型例題解析例題2求解∫sinxcosxdx∫sinxcosxdx解析選擇u(x)=sin?x,v′(x)=cos?x，則u′(x)=cos?x,v(x)=sin?x。根據(jù)分部積分公式，有典型例題解析當(dāng)被積函數(shù)中含有復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以先使用換元法簡(jiǎn)化被積函數(shù)，再使用分部積分法求解。與換元法結(jié)合當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)有理函數(shù)的乘積時(shí)，可以先使用有理函數(shù)積分的方法將其化為簡(jiǎn)單分式，再使用分部積分法求解。與有理函數(shù)積分結(jié)合當(dāng)被積函數(shù)中含有特殊函數(shù)（如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等）時(shí)，可以根據(jù)特殊函數(shù)的性質(zhì)選擇合適的u(x)和v′(x)，然后使用分部積分法求解。與特殊函數(shù)結(jié)合與其他方法結(jié)合應(yīng)用05有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分對(duì)于一般的有理函數(shù)$frac{P(x)}{Q(x)}$（其中$P(x)$和$Q(x)$是多項(xiàng)式，且$Q(x)$不為零），可以通過(guò)部分分式法將其分解為一系列簡(jiǎn)單分式的和，然后分別對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)單分式進(jìn)行積分。部分分式法在某些情況下，可以通過(guò)一些特殊的技巧（如湊微分、變量代換等）簡(jiǎn)化有理函數(shù)的積分過(guò)程。特殊技巧三角函數(shù)有理式對(duì)于形如$intR(sinx,cosx)dx$的積分，其中$R$是有理函數(shù)，可以通過(guò)萬(wàn)能公式或者三角函數(shù)的性質(zhì)將其化為有理函數(shù)的積分。指數(shù)函數(shù)有理式對(duì)于形如$intR(e^x)dx$的積分，其中$R$是有理函數(shù)，可以通過(guò)湊微分或者變量代換的方法將其化為有理函數(shù)的積分?？苫癁橛欣砗瘮?shù)的不定積分例1解法例3解法例2解法計(jì)算$intfrac{dx}{x^2+2x+2}$。首先觀察分母$x^2+2x+2$，可以將其寫(xiě)為$(x+1)^2+1$，然后通過(guò)湊微分的方法將其化為有理函數(shù)的積分。計(jì)算$intfrac{sinx+cosx}{sinx-cosx}dx$。首先觀察分子和分母，發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)三角函數(shù)的性質(zhì)將其化為有理函數(shù)的積分。具體地，令$t=sinx-cosx$，則$dt=(cosx+sinx)dx$，原式化為$intfrac{dt}{t}$。計(jì)算$intfrac{e^x}{e^{2x}+1}dx$。首先觀察分子和分母，發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)湊微分的方法將其化為有理函數(shù)的積分。具體地，令$u=e^x$，則$du=e^xdx$，原式化為$intfrac{du}{u^2+1}$。典型例題解析06特殊類型的不定積分求解技巧換元法對(duì)于含有根號(hào)的表達(dá)式，常采用換元法消去根號(hào)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更容易求解的不定積分。三角代換當(dāng)根號(hào)內(nèi)為二次多項(xiàng)式時(shí)，可通過(guò)三角代換將根號(hào)消去，進(jìn)而求解不定積分。有理化分母對(duì)于分母含有根號(hào)的表達(dá)式，可通過(guò)有理化分母的方法消去根號(hào)，再求解不定積分。含有根號(hào)的不定積分萬(wàn)能公式法利用三角函數(shù)的萬(wàn)能公式，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)進(jìn)行求解。分部積分法當(dāng)被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，可采用分部積分法將其拆分為兩個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)進(jìn)行求解。湊微分法通過(guò)觀察和分析，將表達(dá)式湊成某個(gè)三角函數(shù)的微分形式，從而簡(jiǎn)化不定積分的求解過(guò)程。含有三角函數(shù)或反三角函數(shù)的不定積分直接應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的基本積分公式進(jìn)行求解?；竟椒ɡ脤?duì)數(shù)的換底公式將對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。換底公式法當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，可采用分部積分法進(jìn)行求解。分部積分法含有指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的不定積分例1求解不定積分∫√(a^2-x^2)dx(a>0)。此題可采用三角代換法進(jìn)行求解。令x=a*sinθ，則dx=a*cosθdθ，將原式轉(zhuǎn)化為∫a^2*cos^2θdθ，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為(a^2/2)∫(1+cos2θ)dθ，最終求得原不定