輔助圓題型精講精練（原卷版）

24.4輔助圓一、題型特征：①動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓②圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最短：即圓外一點(diǎn)與圓心連線與圓的交點(diǎn)③常見確定圓的模型：定點(diǎn)定長、定弦定角（參考知識(shí)梳理）。二、模型本質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。TOC\o"1-3"\h\u24.4輔助圓 1一、模型搭建 1一、觸發(fā)隱圓模型的類型 1二、分類題型 3三、對點(diǎn)訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固 3一、模型搭建一、觸發(fā)隱圓模型的類型（1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)定長模型（共頂點(diǎn)的三條等線段）若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP原理：圓A中，AB=AC=AP則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長（2）直角圓周角模型固定線段AB所對動(dòng)角∠C恒為90°原理：圓O中，圓周角為90°所對弦是直徑則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角（3）定邊對定角模型固定線段AB所對動(dòng)角∠P為定值原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過A、B、C三點(diǎn)的圓備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可（4）四點(diǎn)共圓模型①若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180°原理：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)則A、B、C、D四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)（5）四點(diǎn)共圓模型②固定線段AB所對同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C原理：弦AB所對同側(cè)圓周角恒相等則A、B、C、P四點(diǎn)共圓備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同側(cè)二、分類題型1．如圖，已知中，，，，，過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．2．如圖，在中，，AB=AC=5，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，G分別是BC，DE的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)AG=FG時(shí)，線段長為（

）A． B． C． D．43．如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到，連接．若，則線段的長為．

4．如圖，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的過程中，到直線距離的最大值是．5．如圖，在中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，點(diǎn)E在線段上，，若，，則的最大值為．6．如圖，的內(nèi)切圓與邊切于點(diǎn)，與邊相切，且與，的延長線相切（為在內(nèi)的旁切圓），若，，，則7．在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)、分別對應(yīng)點(diǎn)、，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的長為．8．如圖，已知在扇形中，，半徑．P為弧上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，點(diǎn)M，N分別在半徑上，連接．點(diǎn)D是的外心，則點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為．9．如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE、CD，那么．10．如圖，等邊△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，連BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，則FT＝．11．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°得到，EF交BC于點(diǎn)N，連接AN，若，則．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長線上且CE＝1.5，連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥OE交CB延長線于點(diǎn)F，連接FE并延長交AC的延長線于點(diǎn)G，則＝．13．如圖，設(shè)是的三條高，若則線段的長為．14．如圖，在四邊形中，，對角線平分，，且．

(1)證明：；(2)若，，求的長．15．問題提出

如圖1，點(diǎn)E為等腰內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，求證：．嘗試應(yīng)用

如圖2，點(diǎn)D為等腰外一點(diǎn)，，，過點(diǎn)A的直線分別交的延長線和的延長線于點(diǎn)N，M，求證：．問題拓展

如圖3，中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，，交于點(diǎn)H．若，，直接寫出的長度（用含a，b的式子）．16．射線AB與直線CD交于點(diǎn)E，∠AED＝60°，點(diǎn)F在直線CD上運(yùn)動(dòng)，連接AF，線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，連接FG，EG，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H．(1)如圖1，點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)時(shí)，EG與GH的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，點(diǎn)F和點(diǎn)G在射線AB的兩側(cè)時(shí)，線段EF，AE，GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)，，，請直接寫出HG的長．17．（1）回歸教材：北師大七年級下冊P44，如圖1所示，點(diǎn)P是直線m外一點(diǎn)，，點(diǎn)O是垂足，點(diǎn)A、B、C在直線m上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么？最短線段是______，于是，小明這樣總結(jié)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，______．（2）小試牛刀：如圖2所示，中，，，．則點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則CP的最小值為______．（3）嘗試應(yīng)用：如圖3所示是邊長為4的等邊三角形，其中點(diǎn)P為高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接PE、DE、CE．①請直接寫出DE的最小值．②在①的條件下求的面積．（4）拓展提高：如圖4，頂點(diǎn)F在矩形ABCD的對角線AC上運(yùn)動(dòng)，連接AE．．，，請求出AE的最小值．18．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的邊AE在線段AC上，AE＝AD＝2，將△ADE繞直角頂點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接CD、BE，直線CD，BE交于點(diǎn)F，連接AF，過BC中點(diǎn)G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求證：BE＝CD；（2）求證：旋轉(zhuǎn)過程中總有∠BFA＝∠MGN；（僅對0°＜＜90°時(shí)加以證明）（3）在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．19．【問題背景】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝150°，則PA2+PB2＝PC2．小剛為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請幫助小剛完成輔助線的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，D是等邊△ABC外一點(diǎn)，E為CD上一點(diǎn)，AD∥BE，∠BEC＝120°，求證：△DBE是等邊三角形；【拓展創(chuàng)新】如圖3，EF＝6，點(diǎn)C為EF的中點(diǎn)，邊長為3的等邊△ABC繞著點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線AE、BF交于點(diǎn)P，M為PG的中點(diǎn)，EF⊥FG于F，F(xiàn)G＝4，請直接寫出MC的最小值．20．“數(shù)學(xué)建?！笔侵袑W(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，平時(shí)學(xué)習(xí)過程中能歸納一些幾何模型，解決幾何問題就能起到事半功倍的作用．（1）如圖1，正方形中，，且，求證：；（2）如圖2，正方形中，，延長交的延長線于點(diǎn)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；（3）如圖3在（2）的條件下，作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，求證：．21．如圖，已知Rt和Rt，，，，，點(diǎn)在邊上，射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)．①求證：；②若，求的長；（2）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，若為等腰三角形，求的長．22．定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．23．在正方形中，是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，求證：，，，四點(diǎn)共圓；（3）若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，且，求的長．24．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P．（1）探究AE、BF的關(guān)系，并說明理由；（2）求證：A、D、F、P在同一個(gè)圓上；（3）如圖2，若正方形ABCD的邊AB在y軸上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)P落在以M為圓心1為半徑的圓上．求a的取值范圍．25．如圖，在等腰中，，，垂足為，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長至，使，以為底邊作等腰．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過作，垂足為，連接交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)為平面內(nèi)不與點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線與直線交于點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接并在的右側(cè)作且，連接，為邊上一點(diǎn)，，，當(dāng)取到最小值時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，請直接寫出的面積．26．在中，，，．將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直線，交于點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接．①求的面積；②求的值；（2）如圖2，連接，若F為中點(diǎn)，求證；C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．27．如圖，在中，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過B，D，E三點(diǎn)的圓分別交邊，，于點(diǎn)F，M，N，連結(jié)，，連結(jié)交于點(diǎn)P．（1）求證：．（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長．（3）連結(jié)，，當(dāng)平分時(shí)，求與面積的比值．28．如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為，于點(diǎn)，直線與直線于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在內(nèi)，如圖1，求證：和關(guān)于直線對稱；（2）連接，若，且與相切，如圖2，求的度數(shù)．29．如圖，邊長為的正方形中，是對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與交于點(diǎn)，其延長線與（或延長線）交于點(diǎn)．

（1）連接，證明：；（2）設(shè)，，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試問當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，的值最小，并求出此時(shí)的長．（畫出圖形，直接寫出答案即可）30．問題背景：在學(xué)習(xí)課本例題“矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上”后，小明進(jìn)行了如下研究：（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是對角線，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，得點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，進(jìn)而可得∠BAC=∠BDC，請幫小明按照思路補(bǔ)全圖形，并寫出證明過程；遷移應(yīng)用：（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，證明：AB=2CE；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若點(diǎn)D滿足AD=AC，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若CD=4，直接寫出BE的值．31．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，作BE⊥AD延長線于E，連接CE，求證：∠AEC＝45°；（2）如圖2，P為AD上一點(diǎn)，且∠BPD＝45°，連接CP．①若AP＝2，求△APC的面積；②若AP＝2BP，直接寫出sin∠ACP的值為______．32．如圖，已知，的內(nèi)切圓分別切邊于點(diǎn)直線分別與直線相交于點(diǎn).求證：．三、對點(diǎn)訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固1．（2022秋?包頭期末）如圖，在中，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．連接交線段于點(diǎn)，若，，則的值為A． B．4 C． D．62．（2022?思明區(qū)二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），連接，若，則的度數(shù)可以是A． B． C． D．3．（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，在中，，，，，連接，以為斜邊在的右側(cè)作等腰直角，是邊上的一點(diǎn)，連接和，當(dāng)，則長為2．4．（2022秋?蕭山區(qū)月考）如圖，以為公共頂點(diǎn)的和中，，，且點(diǎn)在線段上，則，若，，則．5．（2022秋?大豐區(qū)期中）如圖，中，，，．以為弦的圓分別交、于、兩點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，且滿足．若，則的面積的最小值是．6．（2022?靖江市二模）如圖，，，點(diǎn)、分別是線段、射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊向上作等腰，，連接，則的最小值為．7．（2022春?越秀區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為20．8．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，點(diǎn)在延長線上，若，．9．（2021秋?香坊區(qū)校級月考）如圖，在四邊形中，，連接，，過點(diǎn)作，垂足為，若，，，則．10．（2023春?永城市期末）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上（不與點(diǎn)，重合），連接，將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，作射線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．①求的度數(shù)；②直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系．11．（2023?江漢區(qū)校級模擬）如圖，和都是直角三角形，，．（1）如圖1，證明：；（2）如圖2，延長，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，證明：；（3）如圖3，若，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，直接寫出的長或．12．（2023春?南崗區(qū)期末）已知：，都是銳角的高．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，延長至，使，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求線段的長．13．（2023?青羊區(qū)校級模擬）問題提出（1）如圖1，正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，連接與交于點(diǎn)，有，則1；（2）如圖2，平行四邊形，，，點(diǎn)、分別在邊、上，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，你能求出的比值嗎？請寫出求比值的過程；問題解決（3）如圖3，四邊形，，，，，點(diǎn)在邊上，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．14．（2023?梁園區(qū)校級三模）如圖，矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，點(diǎn)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)．（1）當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，試判斷，，的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，①中的結(jié)論是否變化，若不變，請證明．若變化，請說明理由；（2）如圖3，若其他條件不變，中，，，，請直接寫出的長．15．（2023?渦陽縣二模）如圖1，的內(nèi)角和外角的平分線相交于點(diǎn)，平分并交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，且，求，（3）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，，其中，連接、，求．16．（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖內(nèi)接于，，是的直徑，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，．（1）求證：是的切線；（2）求的直徑；（3）當(dāng)點(diǎn)在下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長是．17．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）【問題情境】如圖①，在四邊形中，，求證：、、、四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，作于點(diǎn)．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)恰好落在正方形對角線上時(shí)，線段的長度為；（2）如圖③，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為．18．（2022?遵義）綜合與實(shí)踐“善思”小組開展“探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段同側(cè)有兩點(diǎn)，，連接，，，，如果，那么，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點(diǎn)，，的，在劣弧上取一點(diǎn)（不與，重合），連接，，則（依據(jù)點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）點(diǎn)，在點(diǎn)，，所確定的上（依據(jù)點(diǎn)，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；依據(jù)．（2）如圖3，在四邊形中，，，則的度數(shù)為．拓展探究：（3）如圖4，已知是等腰三角形，，點(diǎn)在上（不與的中點(diǎn)重合），連接．作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接并延長交的延長線于，連接，．①求證：，，，四點(diǎn)共圓；②若，的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．19．（2022春?長沙月考）已知點(diǎn)、分別在的邊、上，且不同于所在邊的端點(diǎn)，滿足，，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，求證：是的角平分線．20．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）以下是“四點(diǎn)共圓”的幾個(gè)結(jié)論，你能證明并運(yùn)用它們嗎？Ⅰ．若兩個(gè)直角三角形有公共斜邊，則這兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖1、；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)共圓（圖．（1）在圖1、2中，取的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得，即，，，共圓；（2）在圖3中，畫經(jīng)過點(diǎn)，，（圖．假設(shè)點(diǎn)落在外，交于點(diǎn)，連接，可得，所以，得出矛盾；同理點(diǎn)也不會(huì)落在內(nèi)，即，，，共圓．結(jié)論Ⅲ同理可證．（3）利用四點(diǎn)共圓證明銳角三角形的三條高交于