數(shù)字信號處理簡明教程 課件 第6章 FIR數(shù)字濾波器的設計方法

第6章FIR數(shù)字濾波器的設計方法6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點6.2窗函數(shù)法設計線性相位FIR數(shù)字濾波器6.3用MATLAB設計IIR濾波器習題

IIR濾波器的設計方法是利用模擬濾波器成熟的理論進行設計,先設計模擬濾波器,然后通過數(shù)學映射轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器,可以用較低的階數(shù)獲得較好的幅度特性；但由于IIR濾波器是遞歸結(jié)構(gòu),在實現(xiàn)時可能會因為有限字長效應造成系統(tǒng)不穩(wěn)定,此外,IIR濾波器的相位特性是非線性的,而在數(shù)據(jù)通信、圖像處理、語音信號處理等領域,通常要求系統(tǒng)具有線性相位,因此需要進行相位補償,這樣將使整個系統(tǒng)復雜化,成本提高,但卻難以達到嚴格的線性相位。本章將介紹的FIR濾波器,其在保證系統(tǒng)幅度特性的同時,很容易實現(xiàn)嚴格的線性相位特性,并且由于其脈沖響應h(n)為有限長,所以具有永遠穩(wěn)定的特性。

FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h(n)只在n的有限范圍取非零值,N-1階FIR濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)分別為

H(z)是z-1的N-1階多項式,在z平面上有N-1個零點,它的N-1個極點位于

z平面的原點

z=0處,因此FIR濾波器穩(wěn)定；任何非因果的FIR系統(tǒng)經(jīng)一定的延時,都可以成為因果系統(tǒng)。另外,只要將單位脈沖響應h(n)設計成具有某種對稱性,則H(ejω)=H(z)|

z=ejω的相位特性就具有線性特性,這一點是FIR濾波器最重要的特性。

FIR濾波器與IIR濾波器的設計方法完全不同,FIR數(shù)字濾波器的設計任務是選擇具有對稱性的有限長序列h(n),比較式(6-1)和式(6-2)可以看出,h(n)就是濾波器的系數(shù)bj,換句話說就是確定式(6-1)中的系數(shù)序列,力求用最少的系數(shù)使其頻率函數(shù) 的幅度特性滿足設計要求。

6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點

設FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)的長度為N,系統(tǒng)的頻率函數(shù)可以表示為

式(6-3)中的|H(ejω)|和φ(ω)稱為幅頻特性和相頻特性；式(6-4)中的Hg(ω)和θ(ω)分別稱為幅度特性和相位特性。這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實函數(shù),可能取負值,而|H(ejω)|總是正值。另外,幅度特性Hg(ω)與幅頻特性|H(ejω)|不完全相同,在一些頻段兩者相同,而在另一些頻段兩者有180°的相差；|

H(ejω)|以2π為周期,Hg(ω)的周期可能是π、2π、2π。

這里所討論的線性相位特性就是指相位特性θ(ω)滿足

θ(ω)=-Tω

或

θ(ω)=θ0-Tω

式中,τ為常數(shù),θ0為初始相位。

嚴格說式(6-6)并不具有線性特性,但與式(6-5)一樣,滿足

即系統(tǒng)的群延遲是一個與頻率ω無關的常數(shù),所以稱式(6-6)表示的相位為廣義線性相位。

6.1.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位條件

考慮h(n)的長度N可以取奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況,線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)有四種類型,如圖6-1所示。

需要特別注意,當h(n)奇對稱且N為奇數(shù)時,

圖6-1線性相位FIR濾波器的四種類型

6.1.2線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性

根據(jù)h(n)的對稱性和Ｎ的奇偶不同,線性相位FIR濾波器分為四類,這四類濾波器具有不同的幅度特性。

1.Ⅰ型線性相位FIR濾波器h(n)=

h(Ｎ-1-n)偶對稱,Ｎ為奇數(shù))

Ⅰ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

式(6-11)第三項中,先令n=N-1-M,再令m=n并整理得

將上式代回式(6-11),并與第一項合并,考慮h(n)=

h(N-1-n),得

利用H(ejω)=H(z)|

z=ejω,可得系統(tǒng)的頻率函數(shù)為

式(6-12)中,大括號內(nèi)只要h(n)為實序列,則此項為實數(shù),該項就是頻率函數(shù)的幅度特性,即

圖6-2四類線性相位FIR濾波器的幅度特性

2.Ⅱ型線性相位FIR濾波器h(n)=h(N-1-n)偶對稱,N為偶數(shù))

Ⅱ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

與Ⅰ型FIR濾波器的推導相似,可以得到

因此,Ⅱ型FIR濾波器的幅度特性以4π為周期,關于ω=0、2π偶對稱,關于ω=π奇對稱,即Hg(π)=0,如圖6-2(b)所示(系統(tǒng)的單位脈沖響應見圖6-1(b))。因此,合理選擇h(n)的取值,具有偶對稱、長度為偶數(shù)的實序列h(n)可以設計為低通和帶通濾波器,不可以用于高通和帶阻濾波器的設計。

3.Ⅲ型線性相位FIR濾波器(h(n)=-h(N-1-n)奇對稱,N為奇數(shù))

Ⅲ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

頻率函數(shù)為

式(6-18)中,只要h(n)為實數(shù),則求和項為實數(shù),就是頻率函數(shù)的幅度特性,即

4.Ⅳ型線性相位FIR濾波器(h(n)=-h(N-1-n))奇對稱,N為偶數(shù))

Ⅳ型線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

因為N為偶數(shù),所以有

因此,Ⅳ型FIR濾波器的幅度特性以4π為周期,關于ω=0、2π奇對稱,即Hg(0)=Hg(2π)=0,關于ω=π偶對稱,如圖6-2(d)所示(系統(tǒng)的單位脈沖響應見圖6-1(d))。因此,合理選擇h(n)的取值,具有奇對稱、長度為偶數(shù)的實序列h(n)可以設計為高通和帶通濾波器,不可以用于低通和帶阻濾波器的設計。

由以上分析可以知道,線性相位FIR濾波器的幅度特性Hg(ω)與h(n)的對稱性及長度密切相關。在進行濾波器的設計時,根據(jù)要求,首先確定h(n)的對稱形式和h(n))長度的奇偶性,否則可能無法設計出所需的濾波器。比如要設計高通濾波器,只能選Ⅰ型和Ⅳ型,設計低通濾波器則只能選Ⅰ型和Ⅱ型。表6-1列出了四種類型的線性相位FIR濾波器的特性。注意：表6-1中的Ⅱ型和Ⅳ型FIR濾波器的幅度特性只畫了半個周期,Ⅱ型濾波器的幅度特性關于2π偶對稱,Ⅳ型濾波器的幅度特性關于2π奇對稱。

6.1.3線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布

系統(tǒng)的極點和零點決定了濾波器的濾波特性。由于FIR濾波器的極點都位于z=0處,因而不影響濾波器的濾波特性；因此N-1階FIR濾波器在z平面上的N-1個零點,就決定了FIR濾波器的濾波特性。由于線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應具有對稱性,所以其零點分布呈現(xiàn)一定的規(guī)律,研究零點的分布規(guī)律,有助于了解線性相位FIR濾波器的特性。

線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應滿足

h(n)=±h(N-1-n)

其系統(tǒng)函數(shù)為

圖6-3線性相位FIR濾波器的零點分布

6.2窗函數(shù)法設計線性相位FIR數(shù)字濾波器

6.2.1矩形窗函數(shù)法設計線性相位FIR濾波器

線性相位FIR濾波器的設計根本是根據(jù)設計要求選擇具有對稱性的單位脈沖響應

h(n)。窗函數(shù)法是在時域逼近理想濾波器的單位脈沖響應hd(n)。理想濾波器的幅度特性是分段不連續(xù)的,因而其單位脈沖響應hd(n)必定無限長,因此需要用窗函數(shù)將無限長的hd(n)截斷為有限長的h(n),從而用物理可實現(xiàn)的逼近理想濾波器Hd(ejω)

1.設計思路

矩形窗函數(shù)的時域表達式為

設希望逼近的理想濾波器的頻率響應為

式中,a為常數(shù),該理想濾波器為具有線性相位的低通濾波器,幅頻特性和相頻特性如圖6-4所示。

圖6-4理想低通濾波器的頻率特性

由序列傅里葉逆變換可以得到該理想濾波器的單位脈沖響應為

矩形窗函數(shù)法就是用式(6-24)所示的矩形窗與式(6-24)相乘,從而截取有限長的單

位脈沖響應h(n),即

考慮到函數(shù)的特性,為了保證有限長h(n)的對稱性,矩形窗的長度必須滿足

截斷過程如圖6-5所示。

圖6-5矩形窗函數(shù)法設計低通濾波器的時域波形(a=

15,

ωc=0.2π)

實際設計的濾波器的頻率函數(shù)為

式中,N=2α+1。實際低通濾波器的幅頻特性曲線如圖6-6所示。

圖6-6實際低通濾波器的幅頻特性曲線(N=31,

ωc=0.2π)

例6-1設計一個長度為N的線性相位FIR帶通濾波器,要求幅頻響應逼近理想帶通。設理想帶通濾波器的幅度特性為

解設濾波器的相位特性滿足

由序列傅里葉逆變換可以得到理想帶通濾波器的單位脈沖響應為

為保證系統(tǒng)的因果性且具有對稱性,選擇長度為N的矩形窗wR(n)將hd(n)截斷,即

由前面的分析我們知道,N取奇數(shù)或偶數(shù)都可以實現(xiàn)題目要求,則對應的頻率函數(shù)為

圖6-7畫出了ωc1=0.3π、ωc2=0.5π,N分別取51和60時的單位脈沖響應和幅頻特性。

圖6-7例6-1實際設計濾波器的h(n)和幅頻特性曲線(ωc1=0.3π、ωc2=0.5π)

我們知道,帶通濾波器中當ωc1=0時,就是低通濾波器,將ωc1=0代入式(3-30)并截斷,可以得到低通濾波器的單位脈沖響應,即

如圖6-8(a)所示,圖6-8(c)是對應的幅頻特性。

圖6-8低通濾波器和高通濾波器

帶通濾波器中當ωc2=π時,就是高通濾波器,將ωc2=π代入式(6-30)并截斷,可以得到高通濾波器的單位脈沖響應(N只能取奇數(shù)),即

如圖6-8(b)所示,圖6-8(d)是對應的幅頻特性。

2.吉布斯現(xiàn)象

與理想濾波器的幅頻特性曲線相比,用矩形窗函數(shù)法設計的濾波器在截止頻率處出現(xiàn)了過渡帶,在濾波器的通帶和阻帶呈現(xiàn)波動,這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯現(xiàn)象直接影響濾波的性能,導致通帶內(nèi)的平穩(wěn)性變差和阻帶衰減不能滿足技術指標。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因很簡單,由于加窗后無限長的hd(n)變?yōu)橛邢揲L的h(n),所以H(ejω)僅僅是H(ejω)的有限項傅里葉級數(shù),二者必然產(chǎn)生誤差,誤差的最大點一定發(fā)生在不連續(xù)的邊界頻率點上。顯然,傅里葉級數(shù)項越多,H(ejω)和H(ejω)的誤差就越小,如圖6-9所示,但是長度越長,濾波器就越復雜,實現(xiàn)成本也就越大,所以應盡可能地用最小的h

(n)長度設計滿足技術指標要求的FIR濾波器。

圖6-9截取不同長度的h(n)逼近理想低通

從式(6-37)可以看出,截取后的濾波器幅度特性是理想濾波器幅度特性和矩形窗幅度特性的卷積。圖6-10給出了卷積過程(注意：wR(ω)是偶函數(shù),即wR(ω)=

wR(-ω))。圖6-10(f)畫出了式(6-37)的積分結(jié)果,也就是加窗后濾波器的幅度特性曲線,圖中虛線為理想低通的幅度特性。

圖6-10矩形窗對理想低通幅度特性的影響

圖6-10矩形窗對理想低通幅度特性的影響

當ω=0時,H(0)等于圖6-10(a)與(b)兩個波形的乘積積分,即對WR(θ)=在±ωc之間積分。

當ω=ωc-2π/N時,如圖6-10(c)所示,WR(ω-θ)的主瓣完全在±ωc區(qū)間內(nèi),而且最大的一個負峰已移出ωc區(qū)間外,所以積分值H(ω)取得最大峰值,如圖6-10(f)中的c點。

當

ω=ωc時,如圖6-10(d)所示,當ω>ωc>2π/N時,近似為WR(θ)一半波形的積分,積分結(jié)果就是圖6-10(f)中的d點。

當

ω=ωc+2π/N時,如圖6-10(e)所示,WR(θ)的主瓣完全移出ωc之外,而且最大的一個負峰還完全留在ωc區(qū)間內(nèi),所以H(ω)在該點形成最大負峰,如圖6-10(f)中的e點。

由圖可見,H(ω)的最大正峰與最大負峰之間的頻率間隔為4π/N。

通過對理想濾波器hd(n)加矩形窗處理后,頻率特性從hd(ω)變化為H(ω),具體表現(xiàn)在以下兩點：

(1)在理想特性的不連續(xù)點ω＝±ωc

附近形成過渡帶,過渡帶的寬度近似等于WR(ω)的主瓣寬度4π/N。

從矩形窗對理想濾波器的影響可以看出,如果增大窗的長度N,可以減小窗的主瓣寬度4π/N,從而減小H(ω)過渡帶的寬度。

圖6-11長度不同的矩形窗的幅頻特性比較

由以上分析可得,N的增加并不能減小H(ω)的波動情況。因此,要減小通帶和阻帶的波動,增加Ｎ是無法實現(xiàn)的,只有改變窗函數(shù)的形狀,使其幅度函數(shù)具有較低的旁瓣幅度,從而減小旁瓣對通帶和阻帶的影響,并加大阻帶衰減。但旁瓣幅度的減小一定會使主瓣寬度增加,故而將會增加過渡帶寬度,所以當N一定時,減小波動和減小過渡帶是一對矛盾,因此必須根據(jù)實際要求,選擇合適的窗函數(shù)以滿足波動要求,然后選擇N

滿足過渡帶指標。

6.2.2常用窗函數(shù)及性能分析

常用的窗函數(shù)除矩形外,還有漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗、凱澤窗等。這些窗函數(shù)都是偶對稱的,正確選擇窗函數(shù)的長度,可以保證加窗后得到的單位脈沖響應h(n)的對稱性與理想濾波器的hd(n)一致。

FIR濾波器的技術指標如圖6-12所示,圖中δp和δs分別稱為通帶波紋和阻帶波紋,ωp和ωs

分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。

圖6-12

FIR濾波器的技術指標

定義

式中,αp、αs分別為通帶允許的最大衰減和阻帶允許的最小衰減。

定義

為過渡帶寬。

本節(jié)討論窗函數(shù)的性能就是分別討論用不同的窗函數(shù)截斷理想低通hd(n)得到的實際濾波器的技術指標。

1.矩形窗

矩形窗的時域和頻域表達式分別為

矩形窗就是前面講過的矩形信號RN(n),其頻域信號的第一零點位于2π/N處,在[－π,π)有N-1個峰值。N=31時的時域波形和幅頻特性曲線如圖6-13所示,頻域波形的主瓣寬度為4π/N,第一旁瓣位于3π/N處,幅度比主瓣低13dB。

圖6-13矩形窗的時域和頻域波形

用矩形窗函數(shù)法設計的低通濾波器的技術指標中,通帶波紋峰值δp≈0.09,阻帶波紋峰值δs≈0.09,通帶截止頻率ωp=ωc-2π/N,阻帶截止頻率ωs=ωc+2π/N(見圖6-10(f)),由式(6-38)、式(6-39)及式(6-40)得

用矩形窗截斷理想低通濾波器hd(n)獲得的實際濾波器的單位脈沖響應h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應如圖6-14所示。

圖6-14用矩形窗函數(shù)法設計的30階低通濾波器

2.漢寧窗(又稱升余弦窗)

漢寧窗的時域和頻域表達式分別為

式中,RN(n))和WR(ω)分別為矩形窗的時域和頻域函數(shù)。由式(6-44)可以確定,當N較大時頻域函數(shù)的第一零點近似位于4π/N處。N=31時的時域波形和幅頻特性曲線如圖6-15所示,頻域函數(shù)曲線的主瓣寬度約為8π/N,第一旁瓣近似位于5π/N處,幅度比主瓣低31dB。

圖6-15漢寧窗的時域和頻域波形

用漢寧窗函數(shù)法設計的低通濾波器的技術指標中,通帶波紋峰值δp≈0.0064,阻帶波紋峰值δs≈0.0064,由式(6-38)、式(6-39)和式(6-40)得αp≈0.11dB,αs≈44dB,B≈8π/N。用漢寧窗截斷理想低通濾波器hd(n)獲得的實際濾波器的單位脈沖響應h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應如圖6-16所示。

圖6-16漢寧窗函數(shù)法設計的30階低通濾波器

3.哈明窗

哈明窗的時域和頻域表達式分別為

式中,wR(n)和wR(ω)分別為矩形窗的時域和頻域函數(shù)。由式(6-46)可以確定,當N較大時頻域函數(shù)的第一零點近似位于4π/N處。N=31時的時域波形和幅頻特性曲線如圖6-17所示,頻域函數(shù)曲線的主瓣寬度約為8π/N,第一旁瓣近似位于5π/N處,幅度比主瓣低41dB。

圖6-17哈明窗的時域和頻域波形

用哈明窗函數(shù)法設計的低通濾波器的技術指標中,通帶波紋峰值δp

≈0.0022,阻帶波紋峰值δs≈0.0022,由式(6-38)、式(6-39)和式(6-40)得αp≈0.038dB,αs≈53dB,B≈8π/N。用哈明窗截斷理想低通濾波器hd(n)獲得的實際濾波器的單位脈沖響應h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應如圖6-18所示。

圖6-18哈明窗函數(shù)法設計的30階低通濾波器

4.布萊克曼窗

布萊克曼窗的時域和頻域表達式分別為

式中,wR(n)和wR(ω)分別為矩形窗的時域和頻域函數(shù)。由式(6-48)可以確定,當N較大時頻域函數(shù)的第一零點近似位于6π/N處。N=31時的時域波形和幅頻特性曲線如圖6-19所示,頻域函數(shù)曲線的主瓣寬度約為12π/N,第一旁瓣近似位于7π/N處,幅度比主瓣低57dB。

圖6-19布萊克曼窗的時域和頻域波形

用布萊克曼窗函數(shù)法設計的低通濾波器的技術指標中，通帶波紋峰值δp≈0.0002，阻帶波紋峰值δs≈0.0002，由式(6-38)、式(6-39)和式(6-40)得αp≈0.0003dB，αs≈74dB，B≈12π/N。用布萊克曼窗截斷理想低通濾波器hd(n)獲得的實際濾波器的單位脈沖響應h(n)、幅頻特性H(ejω)及衰減響應如圖6-20所示。

圖6-20布萊克曼窗函數(shù)法設計的30階低通濾波器

表6-2總結(jié)了用上述窗函數(shù)截斷理想低通hd(n)獲得的實際低通濾波器的性能。從表中可以看出，利用矩形窗函數(shù)設計的濾波器過渡帶最窄，但阻帶衰減也最??；用布萊克曼窗函數(shù)設計的濾波器過渡帶最寬，同時阻帶衰減也最大。顯然窗函數(shù)的旁瓣減小必然造成主瓣寬度的增加，即減小過渡帶寬和增大阻帶衰減是一對矛盾。在實際設計時，應根據(jù)要求選擇適當?shù)拇昂瘮?shù)。

62.3窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟

用窗函數(shù)設計濾波器的步驟如下：

(1)根據(jù)阻帶衰減的要求選擇窗函數(shù)。

(2)根據(jù)過渡帶寬的要求，求出窗函數(shù)的長度，也即單位脈沖響應的長度N(或濾波器的階數(shù)

N-1

)。

(3)構(gòu)造希望逼近的頻率函數(shù)，即

所謂“標準窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ejω)為理想濾波器；理想濾波器的通帶截止頻率

式中，ωp和ωs分別為給定的通帶截止頻率和阻帶截止頻率。

圖6-21哈明窗函數(shù)法設計的32階低通濾波器

利用MATLAB實現(xiàn)窗函數(shù)法設計FIR濾波器，首先根據(jù)給定的技術指標選擇窗函數(shù)的類型，確定窗函數(shù)的長度，然后將從理論上得到的待逼近理想濾波器的單位脈沖響應截斷，獲得具有奇對稱或偶對稱的單位脈沖響應，也就是待設計的具有線性相位的濾波