2024屆江蘇省南通市通州區(qū)西亭高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024屆江蘇省南通市通州區(qū)西亭高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)圖象如圖，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．B．C．D．2．直線(xiàn)與相切,實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí)，,則（）A．12 B．20 C．28 D．5．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且對(duì)任意有，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．6．f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調(diào)增函數(shù)，滿(mǎn)足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，當(dāng)f(x)＋f(x－8)≤2時(shí)，x的取值范圍是()A．(8，＋∞) B．(8，9] C．[8，9] D．(0，8)7．若存在實(shí)數(shù)，，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的最小值是（）.A． B．4 C． D．28．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用表示所選3人中女生的人數(shù)，則為（）A．0 B．1 C．2 D．39．函數(shù)f(x)=|x|-ln|x|，若[f(x)]2-mf(x)+3=0有A．(23,4) B．(2,4) C．(2,210．已知結(jié)論：“在正三角形中，若是邊的中點(diǎn)，是三角形的重心，則．”若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在棱長(zhǎng)都相等的四面體中，若的中心為，四面體內(nèi)部一點(diǎn)到四面體各面的距離都相等，則（）A． B． C． D．11．設(shè)，，，則下列正確的是A． B． C． D．12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間整數(shù)點(diǎn)的序列如下：，，，，，，，，，，，,,,…，則是這個(gè)序列中的第____________個(gè).14．在下列命題中：①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。虎趶?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；③若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)；④若，則；⑤“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充要條件；⑥復(fù)數(shù)；⑦復(fù)數(shù)滿(mǎn)足；⑧復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).其中正確命題的是______.（填序號(hào)）15．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)是，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)，使是有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是______；16．已知的外接圓半徑為1，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，則面積的最大值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，均為正實(shí)數(shù)，求證：.18．（12分）已知.為銳角，，.（1）求的值；（2）求的值.19．（12分）有甲、乙兩個(gè)游戲項(xiàng)目，要參與游戲，均需每次先付費(fèi)元（不返還），游戲甲有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，可能獲得元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，這兩種情況的概率均為.（1）某人花元參與游戲甲兩次，用表示該人參加游戲甲的收益（收益=參與游戲獲得錢(qián)數(shù)-付費(fèi)錢(qián)數(shù)），求的概率分布及期望；（2）用表示某人參加次游戲乙的收益，為任意正整數(shù)，求證：的期望為.20．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）若方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值.21．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)，（1））處的切線(xiàn)與軸垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范圍．22．（10分）小威初三參加某高中學(xué)校的數(shù)學(xué)自主招生考試，這次考試由十道選擇題組成，得分要求是：做對(duì)一道題得1分，做錯(cuò)一道題扣去1分，不做得0分，總得分7分就算及格，小威的目標(biāo)是至少得7分獲得及格，在這次考試中，小威確定他做的前六題全對(duì)，記6分，而他做余下的四道題中，每道題做對(duì)的概率均為p，考試中，小威思量：從余下的四道題中再做一題并且及格的概率；從余下的四道題中恰做兩道并且及格的概率，他發(fā)現(xiàn)，只做一道更容易及格.（1）設(shè)小威從余下的四道題中恰做三道并且及格的概率為，從余下的四道題中全做并且及格的概率為，求及；（2）由于p的大小影響，請(qǐng)你幫小威討論：小威從余下的四道題中恰做幾道并且及格的概率最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角最大，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的傾斜角最小，又因?yàn)辄c(diǎn)的切線(xiàn)的斜率，點(diǎn)的切線(xiàn)斜率，直線(xiàn)的斜率，故，應(yīng)選答案C．點(diǎn)睛：本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．求解時(shí)充分借助題設(shè)中所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答．先將經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個(gè)過(guò)程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問(wèn)題化為直觀圖形的問(wèn)題來(lái)求解．2、B【解題分析】

利用切線(xiàn)斜率等于導(dǎo)數(shù)值可求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得結(jié)果.【題目詳解】由得：與相切切點(diǎn)橫坐標(biāo)為：切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，即切點(diǎn)坐標(biāo)為：，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用切線(xiàn)斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo).3、B【解題分析】分析：先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再判斷其在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限.詳解：由題得，所以復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（a,b）,點(diǎn)（a,b）所在的象限就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.復(fù)數(shù)和點(diǎn)（a,b）是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.4、A【解題分析】

先計(jì)算出的值，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得出可得出的值?！绢}目詳解】當(dāng)時(shí)，，則，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)奇偶性求值，求函數(shù)值時(shí)要注意根據(jù)自變量的范圍選擇合適的解析式，合理利用奇偶性是解本題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。5、A【解題分析】∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴函數(shù)為偶函數(shù)．又對(duì)任意有，∴函數(shù)在上為增函數(shù)．又，∴，解得.∴的取值范圍是.選A．6、B【解題分析】

令x=y=3，利用f（3）=1即可求得f（1）=2，由f（x）+f（x﹣8）≤2得f[x（x﹣8）]≤f（1），再由單調(diào)性得到不等式組，解之即可．【題目詳解】∵f（3）=1，∴f（1）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2；∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，f（xy）=f（x）+f（y），f（1）=2，∴f（x）+f（x﹣8）≤2?f[x（x﹣8）]≤f（1），∴，解得：8＜x≤1．∴原不等式的解集為：（8，1]．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．7、B【解題分析】

分別畫(huà)出和的圖象，依題意存在實(shí)數(shù)，，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線(xiàn)：恰為函數(shù)和的公切線(xiàn)，設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)，則，即轉(zhuǎn)化為求，設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)為，表示出切線(xiàn)方程，即可得到方程組，整理得到，令，求出令即可得解；【題目詳解】解：分別畫(huà)出和的圖象，依題意存在實(shí)數(shù)，，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線(xiàn)：恰為函數(shù)和的公切線(xiàn)，設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)，，，所以，所以切線(xiàn)方程為，整理得，同時(shí)直線(xiàn)也是函數(shù)的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線(xiàn)方程為，整理得，所以，整理得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，顯然，故當(dāng)時(shí)取得最小值，即實(shí)數(shù)的最小值為4，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析恒成立問(wèn)題，兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)問(wèn)題，屬于中檔題．8、B【解題分析】

先由題意得到的可能取值為，分別求出其對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而可求出其期望.【題目詳解】由題意，的可能取值為，由題中數(shù)據(jù)可得：，，，所以.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，熟記期望的概念，會(huì)求每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的概率即可，屬于常考題型.9、A【解題分析】

方程有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根指存在8個(gè)不同x的值；根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，可知方程[f(x)]2-mf(x)+3=0必存在2個(gè)大于1【題目詳解】∵f(x)=∵f(-x)=f(x)，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可畫(huà)出其函數(shù)圖象（如圖所示），若[f(x)]2-mf(x)+3=0有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于∴Δ=【題目點(diǎn)撥】與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的函數(shù)或方程問(wèn)題，要會(huì)運(yùn)用整體思想看問(wèn)題；本題就是把所求方程看成是關(guān)于f(x)的一元二次方程，再利用二次函數(shù)根的分布求m的范圍.10、C【解題分析】解：由平面圖形的性質(zhì)類(lèi)比猜想空間幾何體的性質(zhì)，一般的思路是：點(diǎn)到線(xiàn)，線(xiàn)到面，或是二維變?nèi)S；由題目中“在正三角形ABC中，若D是邊BC中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則AG：GD=2：1”，我們可以推斷：“在正四面體ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面體ABCD的中心，則AO：OM=3：1．”故答案為“在正四面體ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面體ABCD的中心，則AO：OM=3：1．”11、B【解題分析】

根據(jù)得單調(diào)性可得；構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，得到，進(jìn)而得到結(jié)論.【題目詳解】由的單調(diào)遞增可知：，即令，則令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，即：綜上所述：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，難點(diǎn)在于比較指數(shù)與對(duì)數(shù)大小時(shí)，需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；需要注意的是，在得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，需驗(yàn)證零點(diǎn)與之間的大小關(guān)系，從而確定所屬的單調(diào)區(qū)間.12、B【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，若，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，所以，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】按照規(guī)律：三個(gè)數(shù)字和相等的先看最小數(shù)字，再看第二小的數(shù)字；相同數(shù)字組成的點(diǎn)，先看最小數(shù)字排的位置，再看第二小的數(shù)字排的位置。三個(gè)數(shù)字和為的1個(gè)，三個(gè)數(shù)字和為的3個(gè)，三個(gè)數(shù)字之和為6的是3+6+1=10個(gè)，三個(gè)數(shù)字和為7，由組成的共3個(gè)，由三個(gè)數(shù)字組成的共6個(gè)，所以是第29個(gè)。應(yīng)填答案。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清題設(shè)中數(shù)組的規(guī)律，然后依據(jù)規(guī)律做出正確的推理和判斷。求解時(shí)，先觀察出數(shù)組的規(guī)律是：三個(gè)數(shù)字和相等的先看最小數(shù)字，再看第二小的數(shù)字；相同數(shù)字組成的點(diǎn)，先看最小數(shù)字排的位置，再看第二小的數(shù)字排的位置。然后做出推斷：三個(gè)數(shù)字和為的1個(gè)，三個(gè)數(shù)字和為的3個(gè)，三個(gè)數(shù)字之和為6的是3+6+1=10個(gè)，三個(gè)數(shù)字和為7，由組成的共3個(gè)，由三個(gè)數(shù)字組成的共6個(gè)，進(jìn)而得出是第29個(gè)。14、⑧【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】①當(dāng)復(fù)數(shù)虛部為0時(shí)可以比較大小，①錯(cuò)誤；②復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，②錯(cuò)誤；③若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)，③錯(cuò)誤；④若，不能得到，舉反例，④錯(cuò)誤；⑤“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件，⑤錯(cuò)誤；⑥復(fù)數(shù)，取，不能得到，⑥錯(cuò)誤；⑦復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，取，，⑦錯(cuò)誤；⑧復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義知⑧正確.故答案為：⑧.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的性質(zhì)，定義，意在考查學(xué)生對(duì)于復(fù)數(shù)知識(shí)的理解和掌握.15、【解題分析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，等腰三角形的腰應(yīng)該為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線(xiàn)的定義可得雙曲線(xiàn)的離心率.【題目詳解】解：根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，等腰三角形的兩個(gè)腰應(yīng)為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，且點(diǎn)在第一象限，故，等腰有一內(nèi)角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，即，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.16、【解題分析】

由所以可知為直徑，設(shè)，求導(dǎo)得到面積的最大值.【題目詳解】由所以可知為直徑，所以，設(shè)，則，在中，有，，所以的面積，.方法一：（導(dǎo)數(shù)法），所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為.方法二：（均值不等式），因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了面積的最大值問(wèn)題，引入?yún)?shù)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)證明【解題分析】

方法一：因?yàn)?，均為正?shí)數(shù)，所以由基本不等式可得，，兩式相加整理即可；方法二：利用作差法證明【題目詳解】解：方法一：因?yàn)?，均為正?shí)數(shù)，所以由基本不等式可得，，兩式相加，得，所以.方法二：.所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的證明，一般的思路是借助作差或作商法，條件滿(mǎn)足的話(huà)也可借助基本不等式證明．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.（2）由（1）知，得到，進(jìn)而得到，再利用兩角差的正切函數(shù)的公式，即可求解.【題目詳解】（1）因?yàn)?，且為銳角，所以，因此；（2）由（1）知，又，所以，于是得，因?yàn)?為銳角，所以，又，于是得，因此，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及兩角差的正切公式，以及余弦的倍角公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）分布列見(jiàn)解析，期望為；（2）見(jiàn)解析．【解題分析】分析：（1）表示該人參加游戲甲的收益，可能取值為，，，，分布列為：（2）用表示某人參加次游戲乙的收益可能取值為，，，…，，…（且），每次獨(dú)立，獲獎(jiǎng)的概率為.滿(mǎn)足二項(xiàng)分布。詳解：（1）則的所有可能取值為，，，，，，，，，，；（2）證明：的所有可能取值為，，，…，，…（且），（且），，，兩式相加即得，所以.點(diǎn)睛：（1）離散型隨機(jī)變量的分布列，根據(jù)題意，搞清隨機(jī)變量的最小值和最大值，其它值隨之確定。（2）根據(jù)題意，要能判斷出是否為二項(xiàng)分布，抓題目的關(guān)鍵詞：事件相互獨(dú)立（放回），每次事件成功的概率相等.（3）二項(xiàng)分布的期望公式，方差20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)已知求得，可求得曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程;（2）由方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)行參變分離得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo),分析出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢(shì),極值,從而可得出a的值.【題目詳解】（1）函數(shù)，，，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即.（2）方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∵，所以可得，顯然時(shí)，上式不成立；設(shè)，則，