2024屆河南省鶴壁市淇縣一中數(shù)學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2024屆河南省鶴壁市淇縣一中數(shù)學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是()A．假設三內(nèi)角都不大于60° B．假設三內(nèi)角都大于60°C．假設三內(nèi)角至多有一個大于60° D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于60°2．圓的圓心為()A． B． C． D．3．設則A． B． C． D．4．若關于的一元二次不等式的解集為，則（）A． B． C． D．5．歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，根據(jù)歐拉公式，（）A．1 B． C． D．6．已知是離散型隨機變量，，，，則（）A． B． C． D．7．完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會用第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．20種8．實驗女排和育才女排兩隊進行比賽，在一局比賽中實驗女排獲勝的概率是，沒有平局.若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則實驗女排獲勝的概率等于（）A． B． C． D．9．下列命題中為真命題的是（）A．若B．命題：若，則或的逆否命題為：若且，則C．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件D．若命題，則10．如圖，，分別是邊長為4的等邊的中線，圓是的內(nèi)切圓，線段與圓交于點.在中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的前項和，且，則（）A．4 B．7 C．14 D．12．三棱錐中，，，為的中點,分別交，于點、，且，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，的取值如下表所示：從散點圖分析，與線性相關，且，以此預測當時，_______.14．將三項式展開，當時，得到以下等式：……觀察多項式系數(shù)之間的關系，可以仿照楊輝三角構造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計為0）之和，第k行共有2k+1個數(shù).若在的展開式中，項的系數(shù)為75，則實數(shù)a的值為.15．已知實數(shù)x,y滿足不等式組，則的最大值是__________．16．在正項等比數(shù)列中，，則公比__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)從某高中隨機抽取部分高二學生,調査其到校所需的時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學生到校所需時間不少于1小時,則可申請在學校住宿.若該校錄取1200名新生,請估計高二新生中有多少人可以申請住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學校的高二新生中任選4名學生,用表示所選4名學生中“到校所需時間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望．18．（12分）已知矩陣.（1）求直線在對應的變換作用下所得的曲線方程；（2）求矩陣的特征值與特征向量.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）已知當時恒成立，求的最大值．20．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為了保護環(huán)境，減少空氣污染，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某種惠民型的空氣凈化器．根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到月生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律如下：①月固定生產(chǎn)成本為2萬元；②每生產(chǎn)該型號空氣凈化器1百臺，成本增加1萬元；③月生產(chǎn)百臺的銷售收入（萬元）．假定生產(chǎn)的該型號空氣凈化器都能賣出（利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本）．（1）為使該產(chǎn)品的生產(chǎn)不虧本，月產(chǎn)量應控制在什么范圍內(nèi)？（2）該產(chǎn)品生產(chǎn)多少臺時，可使月利潤最大？并求出最大值.21．（12分）已知曲線在平面直角坐標系中的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，有曲線.（1）將的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標方程；（2）求曲線和兩交點之間的距離.22．（10分）如圖，菱形的對角線與相交于點，，，點分別在，上，，交于點.將沿折到的位置，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

“至少有一個”的否定變換為“一個都沒有”，即可求出結論.【題目詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設是假設三內(nèi)角都大于.故選：B.【題目點撥】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語的否定，屬于基礎題.2、D【解題分析】

將ρ＝2cos（）化為直角坐標方程，可得圓心的直角坐標，進而化為極坐標．【題目詳解】ρ＝2cos（）即ρ2＝2ρcos（），展開為ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），化為直角坐標方程：x2+y2（x﹣y），∴1，可得圓心為C，可得1，tanθ＝﹣1，又點C在第四象限，θ．∴圓心C．故選D．【題目點撥】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

由及可比較大小.【題目詳解】∵，∴，即．又．∴．綜上可知：故選C.【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運算性質及對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，屬于中檔題.4、D【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關系，可得出一元二次不等式的解集為的等價條件.【題目詳解】由于關于的一元二次不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的下方，所以其開口向下，且圖象與軸無公共點，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查一元不等式在實數(shù)集上恒成立，要充分利用二次函數(shù)的開口方向和與軸的位置關系進行分析，考查推理能力，屬于中等題.5、B【解題分析】

由題意將復數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復數(shù)的運算化簡即可得答案．【題目詳解】由得故選B．【題目點撥】本題考查歐拉公式的應用，考查三角函數(shù)值的求法與復數(shù)的化簡求值，是基礎題．6、A【解題分析】分析：由已知條件利用離散型隨機變量的數(shù)學期望計算公式求出a，進而求出，由此即可求出答案.詳解：是離散型隨機變量，，，，由已知得，解得，，.故選：A.點睛：本題考查離散型隨機變量的方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差計算公式的合理運用.7、C【解題分析】

分成兩類方法相加.【題目詳解】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇；會用第二種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇,故選C.【題目點撥】本題考查分類加法計數(shù)原理.8、B【解題分析】試題分析：實驗女排要獲勝必須贏得其中兩局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故獲勝的概率為:,故選B.考點：獨立事件概率計算.9、B【解題分析】分析：對四個命題，分別進行判斷，即可得出結論．詳解：對于A，，利用基本不等式，可得，故不正確；

對于B，命題：若，則或的逆否命題為：若且，則，正確；

對于C，“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，故不正確；

對于D，命題命題，則，故不正確．

故選：B．點睛：本題考查命題的真假判斷與應用，考查學生分析解決問題的能力，屬基礎題．10、A【解題分析】

利用等邊三角形中心的性質，求得內(nèi)切圓的半徑和陰影部分面積，再根據(jù)幾何概型計算公式計算出所求的概率.【題目詳解】在中，，，因為，所以，即圓的半徑為，由此可得圖中陰影部分的面積等于，的面積為，故所求概率.故選A.【題目點撥】本題考查幾何概型問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.屬于中檔題.11、B【解題分析】

由題意利用等差數(shù)列的定義、通項公式及前項和公式，求出首項和公差的值，可得結論．【題目詳解】等差數(shù)列的前項和為，且，，．再根據(jù)，可得，，則，故選．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式及前項和公式，屬于基礎題．12、B【解題分析】

由已知可知，是正三角形，從而，，進而，是的平分線，，由此能求出三棱錐體積的最大值.【題目詳解】由題意得，，所以是正三角形，分別交，于點、，，，，,，，是的平分線，，以為原點，建立平面直角坐標系，如圖：設，則，整理得，，因此三棱錐體積的最大值為.故選：B【題目點撥】本題考查了三棱錐的體積公式，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)表格數(shù)據(jù)分別求出，代入求出的值，再計算當時的值?！绢}目詳解】由表格知道代入得即當時故填6【題目點撥】本題考查線性回歸直線，屬于基礎題，掌握線性回歸直線過中心點是解題的關鍵。14、2【解題分析】試題分析：根據(jù)題意可知的展開式為，所以的展開式中項是由兩部分構成的，即，所以，解得：?？键c：二項式定理及其應用。15、12.【解題分析】分析：畫出不等式組表示的可行域，平移，結合所畫可行域，可求得的最大值.詳解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分，分析知，當時，平移直線，由圖可得直線經(jīng)過點時，取得最大值，且，故答案為.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.16、【解題分析】分析：利用等比數(shù)列的通項公式把等式改寫成含有和的式子，聯(lián)立方程組求解即可.詳解：由題意得：，兩式相除消去并求解得：，，.故答案為：.點睛：等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）180；（3）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積之和為1求出x的值；（2）根據(jù)上學時間不少于1小時的頻率估計住校人數(shù)；（3）根據(jù)二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數(shù)學期望.詳解：(1)由直方圖可得,∴.(2)新生上學所需時間不少于1小時的頻率為:,,∴估計1200名新生中有180名學生可以申請住.(3)的可能取值為,有直方圖可知，每位學生上學所需時間少于40分鐘的概率為,,,,,,則的分布列為01234的數(shù)學期望.點睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題.18、（1）；（2）屬于特征值的一個特征向量為，屬于特征值的一個特征向量為.【解題分析】

（1）設是直線上任一點，在變換作用下變?yōu)?，利用矩陣變換關系，將用表示，代入，即可求解；（2）由特征多項式求出特征值，進而求出對應的特征向量.【題目詳解】（1）設是直線上任一點，在矩陣變換作用下變?yōu)?，則，，，，，即，所以變換后的曲線方程為；（2）矩陣的特征多項式為，令，得或，當時，對應的特征向量應滿足，得，所以對應的一個特征向量為，當時，對應的特征向量應滿足，，得，所以對應的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為，屬于特征值的一個特征向量為.【題目點撥】本題考查直線在矩陣變換作用下的方程、矩陣的特征值和特征向量，考查計算求解能力，屬于基礎題.19、（1）；（2）．【解題分析】

求得的導數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線方程可得a，b的值；

由求導數(shù)可得單調性、最值，可知，由題意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【題目詳解】（1）因為，所以解得．（2）當時，函數(shù)的定義域為．當時，；當時，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以．由題意，知恒成立，即恒成立．于是在時恒成立．記，則．當時，；當時，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以的最大值為．所以當時，取得最大值．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)單調性、最值，利用導數(shù)研究恒成立問題，考查方程思想和轉化思想，以及運算能力，屬于難題．20、（1）1百臺到5.5百臺范圍內(nèi).（2）產(chǎn)量300臺時，利潤最大，最大值為2萬元.【解題分析】

(1)先利用銷售收入減去成本得到利潤的解析式，解分段函數(shù)不等式即可得結果；（2）結合(1)中解析式，分別求出兩段函數(shù)利潤的取值范圍，綜合兩種情況可得當產(chǎn)量300臺時，利潤最大，最大值為2萬元.【題目詳解】(1)由題意得，成本函數(shù)為從而年利潤函數(shù)為，要使不虧本，只要，所以或，解得或綜上.答：若要該廠不虧本，月產(chǎn)量x應控制在1百臺到5.5百臺范圍內(nèi).(2)當時,故當時,(萬元)當時,.綜上，當產(chǎn)量300臺時，利潤最大，最大值為2萬元.【題目點撥】與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的