清華大學附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

清華大學附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線的離心率大于2，則該雙曲線的虛軸長的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知=（為虛數(shù)單位），則復數(shù)（）A． B． C． D．3．一次數(shù)學考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．已知，則的值是A． B． C． D．5．將函數(shù)y=sin2x+π6的圖象向右平移π6個單位長度后,得到函數(shù)f(x)的圖象,A．kπ-5π12C．kπ-π36．在一次試驗中，測得的四組值分別是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），則y與x之間的回歸直線方程為（）A． B． C． D．7．在極坐標系中，點關(guān)于極點的對稱點為A． B． C． D．8．下列命題中為真命題的是（）A．若B．命題：若，則或的逆否命題為：若且，則C．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件D．若命題，則9．若函數(shù)在為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知x,y的取值如下表，從散點圖知，x,y線性相關(guān)，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當x=5時，y的預報值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位11．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．72種 B．52種 C．36種 D．24種12．己知函數(shù)，其中為函數(shù)的導數(shù)，求（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線在矩陣對應(yīng)的變換下變?yōu)橐粋€橢圓，則橢圓的離心率為____.14．在我校2017年高二某大型考試中，理科數(shù)學成績，統(tǒng)計結(jié)果顯示.假設(shè)我校參加此次考試的理科同學共有2000人，那么估計此次考試中我校成績高于120分的人數(shù)是___________.15．通常，滿分為分的試卷，分為及格線，若某次滿分為分的測試卷，人參加測試，將這人的卷面分數(shù)按照分組后繪制的頻率分布直方圖如圖所示.由于及格人數(shù)較少，某位老師準備將每位學生的卷面分采用“開方乘以取整”的方式進行換算以提高及格率（實數(shù)的取整等于不超過的最大整數(shù)），如：某位學生卷面分，則換算成分作為他的最終考試成績，則按照這種方式，這次測試的及格率將變?yōu)開_________．16．已知復數(shù)z滿足，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）二次函數(shù)滿足,且解集為（1）求的解析式；（2）設(shè),若在上的最小值為,求的值.18．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用數(shù)學歸納法證明：.19．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若異面直線與所成角的大小為，求正四棱柱的體積.20．（12分）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)對于任意正實數(shù)x,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，證明：；（2）若在的最大值為2，求a的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)，當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)離心率大于2得到不等式：計算得到虛軸長的范圍.【題目詳解】，，，故答案選C【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，虛軸長，意在考查學生的計算能力.2、D【解題分析】試題分析：由，得，故選D.考點：復數(shù)的運算.3、C【解題分析】

通過假設(shè)法來進行判斷。【題目詳解】假設(shè)甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設(shè)乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設(shè)成立，第一名是丙。本題選C。【題目點撥】本題考查了推理能力。解決此類問題的基本方法就是假設(shè)法。4、D【解題分析】，,又,故選D.5、D【解題分析】

求出圖象變換的函數(shù)解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論．【題目詳解】由題意f(x)=sin2kπ-π∴kπ-π故選D．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換，考查三角函數(shù)的單調(diào)性．解題時可結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間．6、A【解題分析】分析：根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，把樣本中心點代入所給的四個選項中驗證，若能夠成立的只有一個，這一個就是線性回歸方程．詳解：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（4，5）把樣本中心點代入四個選項中，只有y=x+1成立，故選A．點睛：本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個運算量比較大的問題，解題時注意平均數(shù)的運算不要出錯，注意系數(shù)的求法，運算時要細心，但是對于一個選擇題，還有它特殊的加法．7、C【解題分析】分析：在極坐標系中，關(guān)于極點的對稱點為詳解：∵關(guān)于極點的對稱點為，

∴關(guān)于極點的對稱點為．

故選：C．點睛：本題考查一個點關(guān)于極點的對稱點的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意極坐標性質(zhì)的合理運用．8、B【解題分析】分析：對四個命題，分別進行判斷，即可得出結(jié)論．詳解：對于A，，利用基本不等式，可得，故不正確；

對于B，命題：若，則或的逆否命題為：若且，則，正確；

對于C，“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，故不正確；

對于D，命題命題，則，故不正確．

故選：B．點睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學生分析解決問題的能力，屬基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

利用函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間恒為非負數(shù)列不等式，用分離常數(shù)法求得的取值范圍.【題目詳解】依題意，在區(qū)間上恒成立，即，當時，，故，在時為遞增函數(shù)，其最大值為，故.所以選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題，考查正切函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10、C【解題分析】

由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程即可求得a值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【題目詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當x＝5時，y的預測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是性質(zhì)：線性回歸直線一定過點(x11、C【解題分析】

當丙在第一或第五位置時，有種排法；當丙在第二或第四位置時，有種排法；當丙在第三或位置時，有種排法；則不同的排法種數(shù)為36種.12、A【解題分析】

設(shè)，判斷奇偶性和導數(shù)的奇偶性，求和即可得到所求值．【題目詳解】解：函數(shù)設(shè)，則即，即，則，又，，可得，即有，故選：．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和導數(shù)的奇偶性，考查運算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

在曲線上任取一點，得出，由變換得出，代入方程可得出橢圓方程，由此可計算出橢圓的離心率.【題目詳解】在曲線上任取一點，得出，①設(shè)點經(jīng)過變換后對應(yīng)的點的坐標為，由題意可得，則有，即，代入②式得，則，，，因此，橢圓的離心率為，故答案為.【題目點撥】本題考查坐標變換，考查相關(guān)點法求軌跡方程，同時也考查了橢圓離心率的求解，解題的關(guān)鍵就是利用相關(guān)點法求出軌跡方程，考查運算求解能力，屬于中等題.14、200【解題分析】∵月考中理科數(shù)學成績，統(tǒng)計結(jié)果顯示，∴估計此次考試中，我校成績高于120分的有人．點睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.15、.【解題分析】

通過題設(shè)中的頻率分布直方圖可計算不進行換算前分以上（含分）的學生的頻率，此頻率就是換算后的及格率．【題目詳解】先考慮不進行換算前分以上（含分）的學生的頻率，該頻率為，換算后，原來分以上（含分）的學生都算及格，故這次測試的及格率將變?yōu)椋绢}目點撥】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、3-i【解題分析】

利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的性質(zhì)即可得出．【題目詳解】解：（z﹣2）i＝1+i，則（z﹣2）i?（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案為：3﹣i．【題目點撥】本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）直接根據(jù)兩個已知條件得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程組即得的解析式；(2)對m分類討論，利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求m的值.【題目詳解】（1）∵∴即①又∵即的解集為∴是的兩根且a>0.∴②③a=2,b=1,c=-3∴（2）其對稱軸方程為①若即m<-3時，由得不符合②若即時，得：符合③若即m>9時，=由得不符合題意∴【題目點撥】這個題目考查了二次函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)的解析式有：兩根式，即已知函數(shù)的兩個零點可設(shè)這種形式；頂點式，已知函數(shù)的頂點可設(shè)為這種形式；一般式，涉及三個未知數(shù)，需列方程組求解；二次函數(shù)的最值和函數(shù)的對稱軸有直接關(guān)系，在整個實數(shù)集上，最值在軸處取得，在小區(qū)間上需要討論軸和區(qū)間的關(guān)系，得到最值.18、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用分析法逐步平方得出成立，可證明出原不等式成立；（2）先驗證時等式成立，然后假設(shè)當時等式成立，可得出，然后再等式兩邊同時加上，并在所得等式右邊提公因式，化簡后可得出所證等式在時成立，由歸納原理得知所證不等式成立.【題目詳解】（1）要證明成立，只需證明成立，即證明成立，只需證明成立，即證明成立，因為顯然成立，所以原不等式成立，即；（2）①當時，，等式左邊，右邊，等式成立；②設(shè)當時，等式成立，即，則當時，，即成立，綜上所述，．【題目點撥】本題考查分析法與數(shù)學歸納法證明不等式以及等式問題，證明時要熟悉這兩種方法證明的基本步驟與原理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.19、16【解題分析】分析：由正四棱柱的性質(zhì)得，從而，進而，由此能求出正四棱柱的體積.詳解：∵∴為與所成角且∵，∴點睛：本題主要考查異面直線所成的角、正四棱柱的性質(zhì)以及棱柱的體積的公式，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).求異面直線所成的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角.20、（1）在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增（2）【解題分析】

（1）利用導數(shù)的正負即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可；【題目詳解】(1)因為.所以,令,得,當時,;當時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)由于,恒成立,所以.構(gòu)造函數(shù),所以.令,解得,當時,,當時,.所以函數(shù)在點處取得最小值,即.因此所求k的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的恒成立問題，考查計算能力和分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）由導數(shù)求出的最大值即可證；（2）求出導函數(shù)，分類討論確定的正負，得的單調(diào)性及最大值后可得．【題目詳解】解：（1）的定義域為，當時，，.令，得，令，得；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以，即.（2），（i）當時，在單調(diào)遞增，它的最大值為，所以符合題意；（ii）當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，它的最大值為，解得（不合，舍去）；（iii）當時，在單調(diào)遞減，它的最大值為，所以（不合，舍去）；綜上，a的值為.【