廣西部分重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

廣西部分重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．2．已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．3．某市委積極響應(yīng)十九大報告提出的“到2020年全面建成小康社會”的目標(biāo)，鼓勵各縣積極脫貧，計劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現(xiàn)突出，B縣有3人表現(xiàn)突出，現(xiàn)分別從A，B兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是（）A． B． C． D．4．下列命題是真命題的是（）A．，B．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．的充要條件是5．甲射擊時命中目標(biāo)的概率為，乙射擊時命中目標(biāo)的概率為，則甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，則該目標(biāo)被擊中的概率為（）A． B． C． D．6．甲?乙?丙?丁四位同學(xué)一起去老師處問他們的成績.老師說:“你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給丙看甲?乙的成績,給甲看乙的成績,給丁看丙的成績.”看后丙對大家說:“我還是不知道我的成績.”根據(jù)以上信息,則下列結(jié)論正確的是()A．甲可以知道四人的成績 B．丁可以知道自己的成績C．甲?丙可以知道對方的成績 D．乙?丁可以知道自己的成績7．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．8．已知二項式的展開式的第二項的系數(shù)為，則（）A． B． C．或 D．或9．設(shè)滿足約束條件，若，且的最大值為，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)在點處的切線方程為（）A． B． C． D．11．已知，，若包含于，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．下列命題中,正確的命題是（）A．若，則B．若，則不成立C．，則或D．，則且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，項的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）14．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的前項和為__________．15．由海軍、空軍、陸軍各3名士兵組成一個有不同編號的的小方陣，要求同一軍種不在同一行，也不在同一列，有_____種排法16．在的展開式中，的系數(shù)為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖（1）.在中，，，，、分別是、上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：平面；（2）當(dāng)點在何處時，三棱錐體積最大，并求出最大值；（3）當(dāng)三棱錐體積最大時，求與平面所成角的大小.18．（12分）某種兒童型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半球和一個圓柱組成，（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體積和一個半球體積之和.假設(shè)的長為毫米.（注：，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求容器中防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計與的長度，使得最大？19．（12分）假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為．現(xiàn)有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否則就一直獨立地射擊到子彈用完．設(shè)耗用子彈數(shù)為X，求：（1）X的概率分布；（2）數(shù)學(xué)期望E(X)．20．（12分）今年4月23日我市正式宣布實施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的語文、數(shù)學(xué)、外語三門學(xué)科，“1”是指在物理和歷史中必選一科，“2”是指在化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選兩科．為了解我校高一學(xué)生在物理和歷史中的選科意愿情況，進行了一次模擬選科.已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學(xué)生，其中男生1000人，女生800人.按分層抽樣的方法從中抽取了36個樣本，統(tǒng)計知其中有17個男生選物理，6個女生選歷史．（I）根據(jù)所抽取的樣本數(shù)據(jù)，填寫答題卷中的列聯(lián)表.并根據(jù)統(tǒng)計量判斷能否有的把握認(rèn)為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)？（II）在樣本里選歷史的人中任選4人，記選出4人中男生有人，女生有人，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．（的計算公式見下），臨界值表：21．（12分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，并說明取最大值時對應(yīng)的的值.22．（10分）已知函數(shù)，其中均為實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即x=時取最大值）故答案為B.點睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)均為實數(shù)，則，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.2、D【解題分析】

分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.【題目詳解】設(shè)為正方形的中心，為中點，過作的平行線，交于，過作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因為，所以即，選D.【題目點撥】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.3、B【解題分析】

由古典概型及其概率計算公式得：有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是，得解．【題目詳解】由已知有分別從，兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現(xiàn)突出，且縣選取的人表現(xiàn)不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選：B．【題目點撥】本題考查條件概率的計算，考查運算求解能力，求解時注意與古典概率模型的聯(lián)系.4、B【解題分析】

取特殊值來判斷A選項中命題的正誤，取特殊數(shù)列來判斷B選項中命題的正誤，求出不等式，利用集合包含關(guān)系來判斷C選項命題的正誤，取特殊向量來說明D選項中命題的正誤．【題目詳解】對于A選項，當(dāng)時，，所以，A選項中的命題錯誤；對于B選項，若，則等比數(shù)列的公比為，但數(shù)列是遞減數(shù)列，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，公比為，所以，“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，B選項中的命題正確；對于C選項，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，C選項中的命題錯誤；對于D選項，當(dāng)時，，但與不一定垂直，所以，D選項中的命題錯誤．故選B.5、D【解題分析】

記事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，該目標(biāo)被擊中，利用獨立事件的概率乘法公式計算出事件的對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式可得出事件的概率.【題目詳解】記事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，該目標(biāo)被擊中，則事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，兩人都未擊中目標(biāo)，由獨立事件的概率乘法公式得，，故選D.【題目點撥】本題考查獨立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關(guān)系，可以采用分類討論，本題采用對立事件求解，可簡化分類討論，屬于中等題.6、B【解題分析】

根據(jù)題意可逐句進行分析，已知四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成績可知：甲和乙、丙和丁都只能一個是優(yōu)秀，一個是良好，接下來，由上一步的結(jié)論，當(dāng)甲知道乙的成績后，就可以知道自己的成績，同理，當(dāng)丁知道丙的成績后，就可以知道自己的成績，從而選出答案.【題目詳解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成績可知：甲和乙、丙和丁都只能一個是優(yōu)秀，一個是良好；當(dāng)甲知道乙的成績后，就可以知道自己的成績，但是甲不知道丙和丁的成績；當(dāng)丁知道丙的成績后，就可以知道自己的成績，但是丁不知道甲和乙的成績；綜上，只有B選項符合.故選：B.【題目點撥】本題是一道邏輯推理題，此類題目的推理方法是綜合法和分析法，逐條分析題目條件語句即可，屬于中等題.7、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算，化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得結(jié)果【題目詳解】，故的共軛復(fù)數(shù).故選B.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)除法運算以及共軛復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】分析：根據(jù)第二項系數(shù)，可求出；由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為，進而通過微積分基本定理求得定積分值。詳解：展開式的第二項為所以系數(shù)，解得所以所以選A點睛：本題考查了二項式定理和微積分基本定理的綜合應(yīng)用，通過方程確定參數(shù)的取值，綜合性強，屬于中檔題。9、B【解題分析】分析：由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)得答案.詳解：由約束條件作出可行域如圖：化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過B時，直線在y軸上的截距最小，即z最大，聯(lián)立，解得，，解得.故選：B.點睛：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題及其求解思路(1)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，就是已知目標(biāo)函數(shù)的最值或其他限制條件，求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中所含參數(shù)的值或取值范圍的問題．(2)求解策略：解決這類問題時，首先要注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值．10、D【解題分析】分析：由題意，求得，得到，利用直線的點斜式方程，即可求解切線的方程；詳解：由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，又，所以切線過點，所以切線的方程為，即，故選D．點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程問題，其中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．11、B【解題分析】

解一元二次不等式求得集合，根據(jù)是的子集列不等式，由此求得的取值范圍.【題目詳解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范圍是.故選：B【題目點撥】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

A．根據(jù)復(fù)數(shù)虛部相同，實部不同時，舉例可判斷結(jié)論是否正確；B．根據(jù)實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)還是其本身判斷是否成立；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算法則可知是否正確；D．考慮特殊情況：，由此判斷是否正確.【題目詳解】A．當(dāng)時，，此時無法比較大小，故錯誤；B．當(dāng)時，，所以，所以此時成立，故錯誤；C．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算法則可知：或，故正確；D．當(dāng)時，，此時且，故錯誤.故選：C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)的綜合，難度一般.(1)注意實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集，因此實數(shù)是復(fù)數(shù)；(2)若，則有.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-30【解題分析】

由題意利用冪的意義，組合數(shù)公式，求得項的系數(shù).【題目詳解】，表示個因式的積，要得到含項，需個因式選，個因式選，其余的個因式選即可.展開式中，項的系數(shù)為.故答案為：-30【題目點撥】本題考查了二項式定理、組合數(shù)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由，列出關(guān)于首項為，公差為的方程組，解方程求得，可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則解得，所以，所以，所以是以2為首項，16為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項和為,故答案為.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.等差數(shù)列基本量的運算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解.15、2592【解題分析】

假設(shè)海軍為a，空軍為b，陸軍為c，先將a，b，c，填入的小方陣，有12種填入方法，再每個a，b，c填入3名士兵均有種，根據(jù)分步計數(shù)原理可得．【題目詳解】解：假設(shè)海軍為a，空軍為b，陸軍為c，先將a，b，c，填入的小方陣，則有種，每個a，b，c填入3名士兵均有種，故共有，故答案為：2592【題目點撥】本題考查了分步計數(shù)原理，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．16、【解題分析】

由題意，二項式展開式的通項為，令，即可求解．【題目詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，即，可得，即展開式中的系數(shù)為40.【題目點撥】本題主要考查了二項式展開式中項的系數(shù)問題，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）點位于中點時，三棱錐體積最大，最大值為（3）【解題分析】

(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；(2)將三棱錐的體積表示成某個變量的函數(shù)，再求其最大值；(3)先找出線面角的平面角，再解三角形求角.【題目詳解】（1）證明：∵，，∴，因此，所以，又∵，∴平面；（2）解：設(shè)，則，由（1），又因為，，∴平面；所以，因此當(dāng)，即點位于中點時，三棱錐體積最大，最大值為；（3）解：如圖，聯(lián)結(jié)，由于，且，∴，即，因此即為與平面所成角，∵，∴，所以，即與平面所成角的大小為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明和體積的最值以及求線面角，屬于中檔題.18、（1），（2）當(dāng)為毫米，為毫米時，防蚊液的體積有最大值.【解題分析】

（1）由矩形其外周長為毫米，設(shè)的長為毫米，可得AB的長度，再根據(jù)圓柱和球的體積公式即可求得防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）對（1）求得的函數(shù)關(guān)系式求導(dǎo)得，據(jù)此討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可確定防毒液體積最大值．【題目詳解】解：（1）由得，由得，所以防蚊液體積，（2）求導(dǎo)得，令得；令得，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，所以當(dāng)時，有最大值，此時，，答：當(dāng)為毫米，為毫米時，防蚊液的體積有最大值.【題目點撥】本題是考查關(guān)于函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一道應(yīng)用題，難度不大．19、（1）分布列見解析；（2）期望為．【解題分析】分析：（1）先寫出X的所有可能取值，再求出每一個值對應(yīng)的概率，再寫出X的分布列.(2)直接利用數(shù)學(xué)期望的公式求E(X)．詳解：（1）耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1，2，3，1．當(dāng)X＝1時，表示射擊一次，命中目標(biāo)，則P(X＝1)＝；當(dāng)X＝2時，表示射擊兩次，第一次未中，第二次射中目標(biāo)，則P(X＝2)＝(1－)×＝；當(dāng)X＝3時，表示射擊三次，第一次、第二次均未擊中，第三次擊中，則P(X＝3)＝(1－)×(1－)×＝；當(dāng)X＝1時，表示射擊四次，前三次均未擊中，第四次擊中或四次均未擊中，則P(X＝1)＝(1－)×(1－)×(1－)×＋(1－)×(1－)×(1－)×(1－)＝．所以X的分布列為X1231P(2)由題得E(X)＝1×＋2×＋3×+1×＝．點睛：（1）本題主要考查隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的關(guān)鍵是計算概率，本題主要涉及獨立事件的概率，一般地，如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即．20、（I）沒有90%的把握認(rèn)為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)；（II）見解析【解題分析】

（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數(shù)據(jù)中有個男生，16個女生，根據(jù)題意列出列聯(lián)表，求得的值，即可得到結(jié)論．（II）由（I）知在樣本里選歷史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，進而求得相應(yīng)的概率，列出隨機變量的分布列，利用公式求解期望．【題目詳解】（I）由條件知，按分層抽樣法抽取的36個樣本數(shù)據(jù)中有個男生，16個女生，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表：男生女生合計選物理17320選歷史10616合計279得而，所以沒有90