2024屆上海市嘉定區(qū)嘉一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆上海市嘉定區(qū)嘉一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點P的極坐標(biāo)是，則過點P且平行極軸的直線方程是A． B． C． D．2．對于實數(shù)和，定義運(yùn)算“*”：設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個互不相等的實數(shù)根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.3．設(shè)A、B是非空集合，定義：且.已知，，則等于（）A． B． C． D．4．“所有的倍數(shù)都是的倍數(shù)，某奇數(shù)是的倍數(shù)，故該奇數(shù)是的倍數(shù).”上述推理（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．結(jié)論錯誤 D．正確5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：經(jīng)過伸縮變換后得到線C2，則曲線C2的方程為（）A．4x2+y2＝1 B．x2+4y2＝1 C．1 D．x216．某物體的位移（米）與時間（秒）的關(guān)系為，則該物體在時的瞬時速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒7．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，若函數(shù)，，的“新駐點”分別為，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．9．古印度“漢諾塔問題”：一塊黃銅平板上裝著A,B,C三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱A上套著個大小不等的環(huán)形金盤，大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動規(guī)則如下：一次只能將一個金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤子放在較小盤子上面.若A柱上現(xiàn)有3個金盤（如圖），將A柱上的金盤全部移到B柱上，至少需要移動次數(shù)為（）A．5 B．7 C．9 D．1110．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）A． B． C． D．11．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：123450.10.20.20.1則的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．412．若，且，則“”是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的概率為_____.14．展開式的常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）15．已知棱長為的正方體中，，分別是和的中點，點到平面的距離為________________．16．在的展開式中，的系數(shù)為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；18．（12分）已知曲線y=x3+x－2在點P0處的切線平行于直線4x－y－1=0，且點P0在第三象限,⑴求P0的坐標(biāo);⑵若直線,且l也過切點P0,求直線l的方程.19．（12分）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵；將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[biēnào]．某學(xué)?？茖W(xué)小組為了節(jié)約材料，擬依托校園內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個塹堵形的封閉的實驗室，是邊長為2的正方形．（1）若是等腰三角形，在圖2的網(wǎng)格中（每個小方格都是邊長為1的正方形）畫出塹堵的三視圖；（2）若，在上，證明：，并回答四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；（3）當(dāng)陽馬的體積最大時，求點到平面的距離．20．（12分）設(shè)函數(shù)在時取得極值．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．21．（12分）已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線平行于軸.（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點．曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，求出過點且平行極軸的直線直角坐標(biāo)方程，再把它化為極坐標(biāo)方程．詳解：把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為故過點且平行極軸的直線方程是，

化為極坐標(biāo)方程為，

故選D．點睛：本題主要考查把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把直角坐標(biāo)方程化為即坐標(biāo)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】試題分析：當(dāng)時，即當(dāng)時，，當(dāng)時，即當(dāng)時，，所以，如下圖所示，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)直線與曲線有三個公共點時，，設(shè)，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點3、A【解題分析】求出集合中的函數(shù)的定義域得到：，即可化為或解得，即，則故選4、D【解題分析】

分析：要分析一個演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論是否都正確，根據(jù)三個方面都正確，得到結(jié)論．詳解：∵所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故某奇數(shù)是3的倍數(shù)，大前提：所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，小前提：某奇數(shù)是9的倍數(shù)，結(jié)論：故某奇數(shù)是3的倍數(shù)，∴這個推理是正確的，故選D．點睛：該題考查的是有關(guān)演繹推理的定義問題，在解決問題的過程中，需要先分清大前提、小前提和結(jié)論分別是什么，之后結(jié)合定義以及對應(yīng)的結(jié)論的正確性得出結(jié)果.5、C【解題分析】

根據(jù)條件所給的伸縮變換，反解出和的表達(dá)式，然后代入到中，從而得到曲線.【題目詳解】因為圓，經(jīng)過伸縮變換所以可得，代入圓得到整理得，即故選C項.【題目點撥】本題考查通過坐標(biāo)伸縮變換求曲線方程，屬于簡單題.6、B【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，求導(dǎo)后代入即可.【題目詳解】由得：當(dāng)時，即該物體在時的瞬時速度為：米/秒本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】分析：分別對g（x），h（x），φ（x）求導(dǎo)，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），則它們的根分別為α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分別討論β、γ的取值范圍即可．詳解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由題意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，當(dāng)β≥1時，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，這與β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0時等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故選A．點睛：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式密不可分，此題就是一個典型的代表，其中對對數(shù)方程和三次方程根的范圍的討論是一個難點．兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系，有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值，進(jìn)而得到大小關(guān)系.8、C【解題分析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運(yùn)算可得到解。詳解：解絕對值不等式，得；由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得根據(jù)集合的運(yùn)算得所以選C點睛：本題考查了解絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域，集合的基本運(yùn)算，是基礎(chǔ)題。9、B【解題分析】

設(shè)細(xì)柱A上套著n個大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動次數(shù)記為an，則a【題目詳解】設(shè)細(xì)柱A上套著n個大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動次數(shù)記為an要把最下面的第n個金盤移到另一個柱子上，則必須把上面的n-1個金盤移到余下的一個柱子上，故至少需要移動an-1把第n個金盤移到另一個柱子上后，再把n-1個金盤移到該柱子上，故又至少移動an-1次，所以aa1=1，故a2【題目點撥】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求根據(jù)問題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.10、B【解題分析】

由題意，數(shù)表的每一行從右往左都是等差數(shù)列，且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為，故第1行的從右往左第一個數(shù)為：，第2行的從右往左第一個數(shù)為：，第3行的從右往左第一個數(shù)為：，…第行的從右往左第一個數(shù)為：，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是.11、A【解題分析】分析：由分布列的性質(zhì)可得，又由數(shù)學(xué)期望的計算公式求得數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而可求得．詳解：由分布列的性質(zhì)可得，解得，又由數(shù)學(xué)期望的計算公式可得，隨機(jī)變量的期望為：，所以，故選A．點睛：本題主要考查了隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即數(shù)學(xué)期望的計算問題，其中熟記隨機(jī)變量的性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．12、B【解題分析】

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得；由橢圓方程可得，再由充分必要條件的定義，即可得到所求結(jié)論．【題目詳解】解：若，則，若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則，即“”是“方程表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及橢圓方程，考查充分必要條件的定義，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據(jù)題意，拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，則且的情況有2種：①當(dāng)前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，②當(dāng)前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，分別計算相應(yīng)的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的情況為：①當(dāng)前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，相應(yīng)的概率，②當(dāng)前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，相應(yīng)的概率為，所以概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布概率計算，結(jié)合排列組合與數(shù)列的知識，屬于綜合題，解題的關(guān)鍵在于對所求情況進(jìn)行分析，再利用二項分布進(jìn)行概率計算即可，屬于中等題.14、-160【解題分析】

由，令得，所以展開式的常數(shù)項為.考點：二項式定理.15、1【解題分析】

以D點為原點，的方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，代入向量點到平面的距離公式，即可求解．【題目詳解】以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，設(shè)

是平面的法向量，則，即，令，可得，故，設(shè)點在平面上的射影為，連接，則是平面的斜線段，所以點到平面的距離．【題目點撥】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對于利用空間向量求解點到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

本題考查二項式定理.二項展開式的第項為.則的第項為，令，可得的系數(shù)為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析；【解題分析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【題目詳解】（1）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（2）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18、（1）（2）【解題分析】

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線的位置關(guān)系，平行和垂直的運(yùn)用．以及直線方程的求解的綜合運(yùn)用．首先根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)定義，得到點P3的坐標(biāo)，然后利用，設(shè)出方程為x+2y+c=3,根據(jù)直線過點P3得到結(jié)論．解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=2，解之得x=±1．當(dāng)x=1時，y=3；當(dāng)x=-1時，y=-2．又∵點P3在第三象限，∴切點P3的坐標(biāo)為（-1，-2）；（2）∵直線l⊥l1，l1的斜率為2，∴直線l的斜率為-1/2，∵l過切點P3，點P3的坐標(biāo)為（-1，-2）∴直線l的方程為y+2=（x+1）即x+2y+17=3．19、（1）答案見解析（2）答案見解析（3）【解題分析】

（1）根據(jù)其幾何體特征,即可畫出其三視圖.（2）證明,結(jié)合,即可得到面,進(jìn)而可證明.（3）陽馬的體積為:,根據(jù)均值不等式可得:(取得等號),即可求得.以點為頂點,以底面求三棱錐體積,在以點為頂點,以底面求三棱錐體積.利用等體積法即可求得點到平面的距離.【題目詳解】（1）畫出塹堵的三視圖:（2）如圖,連接和.由題意可知:面,在平面又面故:,可得為直角三角形.由題意可知,,都是直角三角形.四面體四個面都是直角三角形,故四面體是鱉臑.（3）在中,根據(jù)均值不等式可得:(取得等號)由題意可知,面陽馬的體積為:(取得等號)以為頂點,以底面求三棱錐體積:,設(shè)到面距離為以為頂點,以底面求三棱錐體積:解得:【題目點撥】本題考查了三視圖畫法,棱柱與點到面的距離,考查用基本不等式求最值.解題關(guān)鍵是表示出陽馬的體積,通過不等式取最值時成立條件,求出底邊長.20、（1）3；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）．【解題分析】

（1）根據(jù)極值的定義，列出方程，求出的值并進(jìn)行驗證；（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】（1），當(dāng)時取得極值，則，即：，解得：，經(jīng)檢驗，符合題意．（2）由（1）得：，∴,令解得：或，令0解