2024屆山西省忻州二中高二數學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆山西省忻州二中高二數學第二學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，F1，F2分別是雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A，B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A． B．2C． D．2．直三棱柱中，，，、分別為、的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3．已知實數滿足，則下列說法錯誤的是（）A． B．C． D．4．已知展開式中常數項為1120，實數是常數，則展開式中各項系數的和是A． B． C． D．5．設函數，則“”是“有4個不同的實數根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知，設的展開式的各項系數之和為，二項式系數之和為，若，則展開式中的系數為（）A．-250 B．250 C．-500 D．5007．設，則（）A． B． C． D．8．已知函數的導函數的圖象如圖所示，那么（）A．是函數的極小值點B．是函數的極大值點C．是函數的極大值點D．函數有兩個極值點9．甲、乙、丙、丁4個人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種10．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.311．甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎.有人分別采訪了四位歌手，甲說：“乙或丙獲獎”；乙說：“甲、丙都未獲獎”；丙說：“丁獲獎”；丁說：“丙說的不對”.若四位歌手中只有一個人說的是真話，則獲獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．如圖，已知函數的圖象關于坐標原點對稱，則函數的解析式可能是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．課本中，在形如……的展開式中，我們把）叫做二項式系數，類似地在…的展開式中，我們把叫做三項式系數，則……的值為______.14．設向量與，共線，且，，則________．15．在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則該二項展開式中的常數項等于_____.16．曲線與直線及軸圍成的圖形的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時間情況，隨機抽取了某市名觀眾進行調查，其中有名男觀眾和名女觀眾，將這名觀眾收視時間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時間在分鐘以上（包括分鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時間在分鐘以下（不包括分鐘）的稱為“非朗讀愛好者”.（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機抽取名，再從這名觀眾中任選名，求至少選到名“朗讀愛好者”的概率；（2）若從收視時間在40分鐘以上（包括40分鐘）的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名，求選出的這兩名觀眾時間相差5分鐘以上的概率.18．（12分）已知在直角坐標系中,直線的參數方程為是為參數）,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)判斷直線與曲線的位置關系；(2)在曲線上求一點,使得它到直線的距離最大,并求出最大距離.19．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為了保護環(huán)境，減少空氣污染，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產某種惠民型的空氣凈化器．根據以往的生產銷售經驗得到月生產銷售的統計規(guī)律如下：①月固定生產成本為2萬元；②每生產該型號空氣凈化器1百臺，成本增加1萬元；③月生產百臺的銷售收入（萬元）．假定生產的該型號空氣凈化器都能賣出（利潤＝銷售收入﹣生產成本）．（1）為使該產品的生產不虧本，月產量應控制在什么范圍內？（2）該產品生產多少臺時，可使月利潤最大？并求出最大值.20．（12分）如圖，圓柱的軸截面是，為下底面的圓心，是母線，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.21．（12分）2016年底某購物網站為了解會員對售后服務(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度，從2016年下半年的會員中隨機調查了個會員，得到會員對售后服務的滿意度評分如下：958875829094986592100859095778770899390848283977391根據會員滿意度評分,將會員的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于分分到分不低于分滿意度等級不滿意比較滿意非常滿意（1）根據這個會員的評分，估算該購物網站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率；（2）以(1)中的頻率作為概率，假設每個會員的評價結果相互獨立.（i）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,求恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意的概率；（ii）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，記評分非常滿意的會員的個數為，求的分布列及數學期望．22．（10分）已知函數．（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；（2）若函數在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時，求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

連接，利用三角形邊之間的關系得到，，代入離心率公式得到答案.【題目詳解】連接，依題意知：，，所以.【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，利用三角形邊之間的關系和雙曲線性質得到的關系式是解題的關鍵.2、B【解題分析】

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設,則、、、、，，、，設異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【題目點撥】本題考查了空間向量法求異面直線所成的角，解題的關鍵是建立恰當的坐標系，屬于基礎題.3、A【解題分析】

設，證明單調遞增，得到，構造函數根據單調性到正確，取，，則不成立，錯誤，得到答案.【題目詳解】設，則恒成立，故單調遞增，，即，即，.取，，則不成立，錯誤；設，則恒成立，單調遞增，故，就，正確；同理可得：正確.故選：.【題目點撥】本題考查了根據函數的單調性比較式子大小，意在考查學生對于函數性質的綜合應用.4、C【解題分析】分析：由展開式通項公式根據常數項求得，再令可得各項系數和．詳解：展開式通項為，令，則，∴，，所以展開式中各項系數和為或．故選C．點睛：賦值法在求二項展開式中系數和方面有重要的作用，設展開式為，如求所有項的系數和可令變量，即系數為，而奇數項的系數和為，偶數項系數為，還可以通過賦值法證明一些組合恒等式．5、B【解題分析】分析：利用函數的奇偶性將有四個不同的實數根，轉化為時，有兩個零點，利用導數研究函數的單調性，結合圖象可得，從而可得結果.詳解：是偶函數，有四個不同根，等價于時，有兩個零點，時，，，時，恒成立，遞增，只有一個零點，不合題意，時，令，得在上遞增；令，得在上遞減，時，有兩個零點，，，得，等價于有四個零點，“”是“有4個不同的實數根”的必要不充分條件，故選B.點睛：本題考查函數的單調性、奇偶性以及函數與方程思想的應用，所以中檔題.函數的性質問題以及函數零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函數的單調性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數零點的幾種等價形式：函數的零點函數在軸的交點方程的根函數與的交點.6、A【解題分析】

分別計算各項系數之和為，二項式系數之和為，代入等式得到，再計算的系數.【題目詳解】的展開式取得到二項式系數之和為取值為-250故答案選A【題目點撥】本題考查了二項式定理，計算出的值是解題的關鍵.7、B【解題分析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比較的大小關系得解.詳解：由題得＜ln1=0,>.所以ab<0..所以，所以.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查實數大小的比較和對數函數的性質，考查對數的運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.(2)解答本題的關鍵是對數的運算.8、C【解題分析】

通過導函數的圖象可知；當在時，；當在時，，這樣就可以判斷有關極值點的情況.【題目詳解】由導函數的圖象可知：當在時，，函數單調遞增；當在時，，函數單調遞減，根據極值點的定義，可以判斷是函數的極大值點，故本題選C.【題目點撥】本題考查了通過函數導函數的圖象分析原函數的極值點的情況.本題容易受導函數的單調性的干擾.本題考查了識圖能力.9、B【解題分析】

甲乙兩人捆綁一起作為一個人與其他2人全排列，內部2人全排列．【題目詳解】因為甲乙兩人必須相鄰，看成一個整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【題目點撥】本題考查排列問題，相鄰問題用捆綁法求解．10、B【解題分析】分析：判斷出為二項分布，利用公式進行計算即可．或，,可知故答案選B.點睛：本題主要考查二項分布相關知識，屬于中檔題．11、A【解題分析】分析：因為四位歌手中只有一個人說的是真話，假設某一個人說的是真話，如果與條件不符，說明假設不成立，如果與條件相符，說明假設成立.詳解：若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說的真話，不符合題意；若丙是獲獎的歌手，則甲、丁都說的真話，不符合題意；若丁是獲獎的歌手，則乙、丙都說的真話，不符合題意；若甲是獲獎的歌手，則甲、乙、丙都說的假話，丁說的真話，符合題意；故選A.點睛：本題考查合情推理，屬基礎題.12、C【解題分析】

根據函數圖像的對稱性，單調性，利用排除法求解.【題目詳解】由圖象知，函數是奇函數，排除，；當時，顯然大于0，與圖象不符，排除D，故選C.【題目點撥】本題主要考查了函數的圖象及函數的奇偶性，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解題分析】

根據的等式兩邊的項的系數相同，從而求得要求式子的值.【題目詳解】，其中系數為……，，而二項式的通項公式，因為2015不是3的倍數，所以的展開式中沒有項，由代數式恒成立可得……，故答案為：0.【題目點撥】本題考查二項式定理，考查學生的分析能力和理解能力，關鍵在于構造并分析其展開式，是一道難題.14、-3【解題分析】

根據向量共線的坐標表示即可求解.【題目詳解】，,且，共線，即．故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量共線的坐標運算，屬于容易題.15、1【解題分析】

由題意可得，再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數項的值．【題目詳解】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數項等于，故答案為1．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．16、【解題分析】

首先利用定積分表示封閉圖形的面積，然后計算定積分即可．【題目詳解】由曲線與直線及軸圍成的圖形的面積為即答案為.【題目點撥】本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積；關鍵是正確利用定積分表示所求面積．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】試題分析：試題解析：（1）根據莖葉圖，有“朗讀愛好者”人，“非朗讀愛好者”人，用分層抽樣的方法，每個人被抽到的概率是選中的“朗讀愛好者”有人，記為，“非朗讀愛好者”有人，記為；記：至少有一名是“朗讀愛好者”被選中，基本事件有，，，，，，，，，共個；滿足事件的有，，，，，，共個，則（2）收視時間在分鐘以上的男觀眾分別是，，，，，女觀眾分別是，現要各抽一名，則有，，，，，，，，，共種情況.收視時間相差分鐘以上的有，，，，共種情況.故收視時間相差分鐘以上的概率.18、(1)相離；(2).【解題分析】

把直線參數方程化為普通方程，曲線極坐標方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，然后與半徑比較大小即可作出判斷圓上一點到直線的距離最大為，求出過圓心與直線垂直的直線方程，與圓的方程聯立確定出此時的坐標即可【題目詳解】(1)易得直線的方程為,曲線的方程為,圓心,半徑,圓心到直線的距離,所以直線與曲線相離.(2)易得點到直線的最大距離為,過圓心且垂直于直線的直線方程為,聯立,所以,易得點.【題目點撥】本題主要考查了將參數方程和極坐標方程轉化為普通方程，然后判斷直線與圓的位置關系，運用點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離即可作出判斷，屬于基礎題19、（1）1百臺到5.5百臺范圍內.（2）產量300臺時，利潤最大，最大值為2萬元.【解題分析】

(1)先利用銷售收入減去成本得到利潤的解析式，解分段函數不等式即可得結果；（2）結合(1)中解析式，分別求出兩段函數利潤的取值范圍，綜合兩種情況可得當產量300臺時，利潤最大，最大值為2萬元.【題目詳解】(1)由題意得，成本函數為從而年利潤函數為，要使不虧本，只要，所以或，解得或綜上.答：若要該廠不虧本，月產量x應控制在1百臺到5.5百臺范圍內.(2)當時,故當時,(萬元)當時,.綜上，當產量300臺時，利潤最大，最大值為2萬元.【題目點撥】與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是構造分段函數，構造分段函數時，做到分段合理、不重不漏，分段函數的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）連接交于點，連接，利用三角形中位線定理證明，由線面平行的判定定理可得結論；（2）先利用面面垂直的性質證明平面，可得點到平面的距離為，由，結合棱錐的體積公式可得結果.【題目詳解】（1）如圖，連接交于點，連接.四邊形是矩形，是的中點.點為的中點，.又平面，平面，平面.（2），，.在三棱柱中，由平面，得平面平面.又平面平面，平面，點到平面的距離為，且..【題目點撥】本題主要考查線面平行的判定定理、以及棱錐體積，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面.21、(1)可估算該購物網站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率分別為和.(2)（i）；（ii）分布列見解析，0.6.【解題分析】試題分析：（1）由給出的個數據可得，非常滿意的個數為，不滿意的個數為，比較滿意的個數為，由此可估算該購物網站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率；（2）記“恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意”為事件，則.（i