2024屆福建省廈門市翔安一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆福建省廈門市翔安一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的虛部相等，則實(shí)數(shù)的值是A． B．2 C．1 D．2．已知，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．03．下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（1）對于命題使得，則都有；（2）已知，則（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），則回歸直線方程為；（4）“”是“”的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．44．某導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.001，若發(fā)射10次，記出事故的次數(shù)為，則（）A．0.0999 B．0.001 C．0.01 D．0.009995．展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A．56 B．70 C．1120 D．-11206．若的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)為8，則（）A．2 B． C． D．7．設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為28，則（）A.1B.4C.7D.1或78．在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線對折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．9．曲線的圖像（）A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于原點(diǎn)對稱,但不關(guān)于直線對稱C．關(guān)于軸對稱D．關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱10．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5+a7+a9＝21，則S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．18211．將正整數(shù)1，2，3，4，…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第20行從右往左數(shù)第1個數(shù)是()A．397 B．398 C．399 D．40012．已知隨機(jī)變量，若，則分別是（）A．6和5.6 B．4和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．14．化簡__________．15．如圖是一個算法流程圖，若輸入值，則輸出值為2的概率為__________．16．已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖，,是經(jīng)過小城的東西方向與南北方向的兩條公路，小城位于小城的東北方向，直線距離.現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)過小城修建公路(,分別在與上)，與,圍成三角形區(qū)域.(1)設(shè)，,求三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式;(2)現(xiàn)計劃開發(fā)周長最短的三角形區(qū)域，求該開發(fā)區(qū)域的面積.19．（12分）設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上，從原點(diǎn)向A(2,4)移動，如果直線OP，曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1、S2.(1)當(dāng)S1＝S2時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)S1＋S2有最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線：，圓：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求，的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，的交點(diǎn)為，，求的面積.21．（12分）大型水果超市每天以元/千克的價格從水果基地購進(jìn)若干水果，然后以元/千克的價格出售，若有剩余，則將剩余的水果以元/千克的價格退回水果基地，為了確定進(jìn)貨數(shù)量，該超市記錄了水果最近天的日需求量（單位：千克），整理得下表：日需求量頻數(shù)以天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.（1）求該超市水果日需求量（單位：千克）的分布列；（2）若該超市一天購進(jìn)水果千克，記超市當(dāng)天水果獲得的利潤為（單位：元），求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為：.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）時，設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先化簡與，再根據(jù)它們虛部相等求出m的值.【題目詳解】由題得，因?yàn)閺?fù)數(shù)與的虛部相等，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

由題意可作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，圖象公共點(diǎn)的個數(shù)即為函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個數(shù)．【題目詳解】可由題意在同一個坐標(biāo)系中畫出f(x)=2lnx，的圖象，其中紅色的為f(x)=2lnx的圖象，由圖象可知：函數(shù)f(x)和g(x)的圖象有2個公共點(diǎn)，即h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，求零點(diǎn)個數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合方法，畫出圖像即可得到交點(diǎn)個數(shù)，屬于中等題.3、C【解題分析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要條件的判定方法，即可判定．【題目詳解】由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題使得，則都有，是錯誤的；（2）中，已知，正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對稱軸的方程為，所以是正確的；（3）中，回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，可得回歸直線方程為是正確；（4）中，當(dāng)時，可得成立，當(dāng)時，只需滿足，所以“”是“”成立的充分不必要條件．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識點(diǎn)的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

根據(jù)題意服從二項(xiàng)分布，由公式可得求得。【題目詳解】由于每次發(fā)射導(dǎo)彈是相互獨(dú)立的，且重復(fù)了10次，所以可以認(rèn)為是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故服從二項(xiàng)分布，.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差，由服從二項(xiàng)分布的方差公式可直接求出。5、B【解題分析】分析：直接利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.詳解：展開式的通項(xiàng)公式為則展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】展開式中含有項(xiàng)的系數(shù),,故選A.7、C【解題分析】試題分析：，所以，因?yàn)檫f減數(shù)列，所以，解得?？键c(diǎn)：等差數(shù)列8、C【解題分析】

作出圖形，利用菱形對角線相互垂直的性質(zhì)得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角為∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱錐B﹣ACD為正四面體，可得出內(nèi)切球的半徑R，再利用球體的表面積公式可得出答案．【題目詳解】如下圖所示，易知△ABC和△ACD都是等邊三角形，取AC的中點(diǎn)N，則DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，過點(diǎn)B作BO⊥DN交DN于點(diǎn)O，可得BO⊥平面ACD．因?yàn)樵凇鰾DN中，，所以，BD1＝BN1+DN1﹣1BN?DN?cos∠BND，則BD＝1．故三棱錐A﹣BCD為正四面體，則其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，又正四面體的高為棱長的，故．因此，三棱錐A﹣BCD的內(nèi)切球的表面積為．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解決本題的關(guān)鍵在于計算幾何體的棱長確定幾何體的形狀，考查了二面角的定義與余弦定理，考查計算能力，屬于中等題．9、D【解題分析】

構(gòu)造二元函數(shù)，分別考慮與、、、、的關(guān)系，即可判斷出相應(yīng)的對稱情況.【題目詳解】A．，所以不關(guān)于軸對稱；B．，，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，也關(guān)于直線對稱；C．，所以不關(guān)于軸對稱；D．，所以關(guān)于直線對稱，同時也關(guān)于直線對稱.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的綜合應(yīng)用，難度一般.若曲線關(guān)于軸對稱，則將曲線中的換成，此時曲線的方程不變；若曲線關(guān)于軸對稱，則將曲線中的換成，此時曲線的方程不變；若曲線關(guān)于對稱，則將曲線中的換成、換成，此時曲線的方程不變；若曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，則將曲線中的換成、換成，此時曲線的方程不變.10、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出,根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.【題目詳解】因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以,所以,所以.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和.屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】

根據(jù)圖中數(shù)字排列規(guī)律可知，第行共有項(xiàng)，且最后一項(xiàng)為，從而可推出第20行最后1個數(shù)的值，即可求解出答案．【題目詳解】由三角形數(shù)組可推斷出，第行共有項(xiàng)，且最后一項(xiàng)為，所以第20行，最后一項(xiàng)為1．故答案選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理的能力，歸納推理是由特殊到一般，由具體到抽象的一種推理形式，解題時，要多觀察實(shí)驗(yàn)，對有限的資料進(jìn)行歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想．12、B【解題分析】分析：根據(jù)變量ξ～B（10，0.4）可以根據(jù)公式做出這組變量的均值與方差，隨機(jī)變量η=8﹣ξ，知道變量η也符合二項(xiàng)分布，故可得結(jié)論．詳解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故選：B．點(diǎn)睛：本題考查變量的均值與方差，均值反映數(shù)據(jù)的平均水平，而方差反映數(shù)據(jù)的波動大小，屬于基礎(chǔ)題．方差能夠說明數(shù)據(jù)的離散程度，期望說明數(shù)據(jù)的平均值，從選手發(fā)揮穩(wěn)定的角度來說，應(yīng)該選擇方差小的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】拋物線即，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.14、【解題分析】分析：利用二項(xiàng)式逆定理即可.詳解：（展開式實(shí)部）（展開式實(shí)部）.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的逆應(yīng)用，考查推理論證能力.15、【解題分析】分析：先根據(jù)流程圖確定分段函數(shù)解析式，再求輸出值為2的對應(yīng)區(qū)間，最后根據(jù)幾何概型概率公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以輸出值?的對應(yīng)區(qū)間為[0,2],因此輸出值為2的概率為點(diǎn)睛：(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．16、-3【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法、乘法運(yùn)算整理可得：，利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)列方程可得：，問題得解．【題目詳解】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則解得：故填：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，還考查了純虛數(shù)的概念及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是;(2).【解題分析】試題分析：（1）由，解得令得減區(qū)間，得增區(qū)間;(2)關(guān)于的不等式在上恒成立，等價于函數(shù)的最小值大于等于零..試題解析：（Ⅰ）由題意知，，且，解得.此時，令，解得或，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ），當(dāng)時，在上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，令，解得，令，解得，則函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、（1）（2）開發(fā)區(qū)域的面積為【解題分析】分析：(1)先根據(jù)直角三角形求OA,OB,AB，再相加得三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式;(2)令，化簡，再根據(jù)三角函數(shù)有界性確定t范圍，解得最小值，同時求出開發(fā)區(qū)域的面積.詳解：解：（方法一）（1）如圖，過分別作、的垂線，垂足分別為、，因?yàn)樾〕俏挥谛〕堑臇|北方向，且，所以，在和中，易得，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減當(dāng)時，，單調(diào)遞增所以時，取得最小值.此時，，的面積答：開發(fā)區(qū)域的面積為（方法二）（1）在中，，即所以在中，所以（2）令，則因?yàn)?，所以，所以由，得記因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時最小此時，即，所以的面積答：開發(fā)區(qū)域的面積為點(diǎn)睛：三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．19、（1），（2），【解題分析】試題分析：（1）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S1為直線OP與曲線y=x2當(dāng)x∈（0，t）時所圍面積，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2為直線OP與曲線y=x2當(dāng)x∈（t，2）時所圍面積，所以，S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根據(jù)S1=S2就可求出t值．（Ⅱ）由（2）可求當(dāng)S1+S2，化簡后，為t的三次函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值，以及相應(yīng)的x值，就可求出P點(diǎn)坐標(biāo)為多少時，S1+S2有最小值．試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜2），則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t2），直線OP的方程為y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因?yàn)镾1=S2，，所以t=，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2）S=S1+S2==S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因?yàn)?＜t＜時，S'＜0；＜t＜2時，S'＞0所以，當(dāng)t=時，Smin=，P點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)睛：本題考查了曲線圍成的圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和定積分計算公式等知識，屬于基礎(chǔ)題；用定積分求平面圖形的面積的步驟：（1）根據(jù)已知條件，作出平面圖形的草圖；根據(jù)圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)選取計算公式；（2）解方程組求出每兩條曲線的交點(diǎn)，以確定積分的上、下限；（3）具體計算定積分，求出圖形的面積．20、(1)的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.(2).【解題分析】分析：（1）直接利用可得的極坐標(biāo)方程，：利用平方法消去參數(shù)，可得其普通方程，利用互化公式可得的極坐標(biāo)方程；（2）將代入，得，利用極徑的幾何意義可得，由三角形面積公式可得結(jié)果.詳解：（1）因?yàn)?，，∴的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入，得，解得，，.因?yàn)榈陌霃綖椋瑒t的面積.點(diǎn)睛：參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程；利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題．21、(1)分布列見解析.(2)分布列見解析；元．【解題