2024屆山東省鄒平縣黃山中學數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆山東省鄒平縣黃山中學數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，為上任意一點，、為上兩點，且的長為定值，則下面四個值中不是定值的是（）A．點到平面的距離B．直線與平面所成的角C．三棱錐的體積D．△的面積2．不相等的三個正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，并且x是a、b的等比中項，y是b、c的等比中項，則x2、b2、y2三數(shù)()A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列3．祖暅是南北朝時代的偉大科學家，公元五世紀末提出體積計算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何一個平面所截，如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等．設A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在正方體中，點，分別是，的中點，則下列說法正確的是（）A． B．與所成角為C．平面 D．與平面所成角的余弦值為5．設是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，則以下結(jié)論錯誤的是（）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，則6．已知m＞0，n＞0，向量則的最小值是（

）A． B．2 C． D．7．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度8．只用四個數(shù)字組成一個五位數(shù)，規(guī)定這四個數(shù)字必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．9．如圖所示十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有不同的行車路線有()A．24種 B．16種 C．12種 D．10種10．一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．20B．24C．16D．11．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．12．記為等比數(shù)列的前項和.若，，則（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設集合，，則_______.14．已知拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，若C經(jīng)過點，則其焦點到準線的距離為________.15．已知函數(shù),若存在實數(shù)，滿足，且，則的取值范圍是______________.16．用反證法證明命題：“定義在實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個交點”時，應假設“定義在實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸__________”．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，求證：．18．（12分）我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關注，受到了觀眾的普遍好評.假設男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率；（2）設表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.19．（12分）已知，是正數(shù)，求證：.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.21．（12分）設等差數(shù)列的前項和為，是等比數(shù)列，且，，，，是否存在，使，且？若存在，求的值．若不存在，則說明理由．22．（10分）設函數(shù).（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）求該函數(shù)在上的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

試題分析：將平面延展到平面如下圖所示，由圖可知，到平面的距離為定值.由于四邊形為矩形，故三角形的面積為定值，進而三棱錐的體積為定值.故A，C，D選項為真命題，B為假命題.考點：空間點線面位置關系.2、B【解題分析】由已知條件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差數(shù)列，故選B.3、A【解題分析】分析：利用祖暅原理分析判斷即可.詳解：設A，B為兩個同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．如果截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的充分不必要條件.故選：A.點睛：本題考查滿足祖暅原理的幾何體的判斷，是基礎題，解題時要認真審查，注意空間思維能力的培養(yǎng).4、C【解題分析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．【題目詳解】解：設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），2≠0，∴A1E與BF不垂直，故A錯誤；（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），cos，0，∴A1F與BD所成角為90°，故B錯誤；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，﹣2），?0，0，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故C正確；（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），設A1F與平面ABCD所成角為θ，則sinθ，∴cosθ．∴A1F與平面ABCD所成角的余弦值為，故D錯誤．故選：C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．5、C【解題分析】試題分析：選項A可由面面平行的性質(zhì)可以得到；B選項，可由線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，通過論證即可得到；C選項，，缺少條件和相交，故不能證明面面平行，C錯誤；D選項，，過作平面，，由線面平行的性質(zhì)可得，，，.D正確.考點：直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系.6、C【解題分析】分析：利用向量的數(shù)量積為0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表達式的最小值即可.詳解：m＞0，n＞0，向量，可得，則，當且僅當時，表達式取得最小值.故選：C.點睛：條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．7、B【解題分析】

由三角函數(shù)的誘導公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的平移變換即可得解.【題目詳解】解：由，即為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，故選：B.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的誘導公式，屬基礎題.8、B【解題分析】

以重復使用的數(shù)字為數(shù)字為例，采用插空法可確定符合題意的五位數(shù)的個數(shù)；重復使用每個數(shù)字的五位數(shù)個數(shù)一樣多，通過倍數(shù)關系求得結(jié)果.【題目詳解】當重復使用的數(shù)字為數(shù)字時，符合題意的五位數(shù)共有：個當重復使用的數(shù)字為時，與重復使用的數(shù)字為情況相同滿足題意的五位數(shù)共有：個本題正確選項：【題目點撥】本題考查排列組合知識的綜合應用，關鍵是能夠明確不相鄰的問題采用插空法的方式來進行求解；易錯點是在插空時，忽略數(shù)字相同時無順序問題，從而錯誤的選擇排列來進行求解.9、C【解題分析】根據(jù)題意，車的行駛路線起點有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有種，故選C.10、A【解題分析】試題分析：該幾何體為一個正方體截去三棱臺，如圖所示，截面圖形為等腰梯形，，梯形的高，，所以該幾何體的表面積為，故選A．考點：1、幾何體的三視圖；2、幾何體的表面積．11、B【解題分析】

函數(shù)，，令，解得x．利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【題目詳解】函數(shù)，，令，解得．∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．∴時函數(shù)取得極大值即最大值．．故選B．【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求三角函數(shù)的最值問題，一般是通過兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達式化為一次一角一函數(shù)，或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復合函數(shù)來解決.12、B【解題分析】

利用等比數(shù)列的前項和公式求出公比，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】∵為等比數(shù)列的前項和，，，∴，解得，∴，故選B．【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及其的前項和等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

解出集合中的方程，然后直接求【題目詳解】解：由已知，故答案為：【題目點撥】本題考查集合的交集運算，是基礎題.14、【解題分析】

根據(jù)拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，且過點,可以設出拋物線的標準方程,代入后可計算得,再根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得答案.【題目詳解】因為拋物線C的頂點在平面直角坐標系原點，焦點在x軸上，且過點,所以可設拋物線的標準方程為:,將代入可得,解得,所以拋物線的焦點到準線的距離為.故答案為:.【題目點撥】本題考查了求拋物線的標準方程,考查了拋物線的焦準距,屬于基礎題.15、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出之間的關系，從而可求得取值范圍．【題目詳解】設，則與的圖象的交點的橫坐標依次為（如圖），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案為．【題目點撥】本題考查函數(shù)零點與方程根的分布，解題關鍵是確定之間的關系及范圍．如本題中可結(jié)合圖象及函數(shù)解析式得出．16、至少有個交點【解題分析】分析：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變。詳解：命題：“定義在實數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個交點”時，結(jié)論的反面為“與軸至少有個交點”。點睛：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變，至多只有個理解為，故否定為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當時，函數(shù)沒有極值點，當時，函數(shù)有一個極值點．（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)的取值范圍是；（3）原問題等價于，繼而證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增即可.試題解析：（1），當時，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又∵，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴，即，∴在上單調(diào)遞增，即，∴當時，有．點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．18、（1）（2）見解析，【解題分析】

設表示2名女性觀眾中認為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認為好看的人數(shù)，可得，.（1）設事件表示“這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多”，利用互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式即可得出．（2）的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，，，，，，，，，，利用互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式即可得出概率、分布列及其數(shù)學期望．【題目詳解】解：設表示2名女性觀眾中認為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認為好看的人數(shù)，則，.（1）設事件A表示“這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多”，則.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，，∴的分布列為：01234所以【題目點撥】本題考查了用頻率估計概率、隨機變量的數(shù)學期望、二項分布列的性質(zhì)、互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、見證明【解題分析】

運用基本不等式即可證明【題目詳解】證明：因為，是正數(shù)，所以.所以.即.當且僅當，時取等號【題目點撥】本題考查了基本不等式，較為簡單，注意需要滿足“一正二定三相等”的條件20、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）【解題分析】

（1）將