湖南省株洲市醴陵市四中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省株洲市醴陵市四中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．1+x-x210A．10 B．30 C．45 D．2102．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為A． B． C． D．3．設(shè)隨機變量ξ～N（μ，σ2），函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點的概率是0.5，則μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能確定4．若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．5．已知向量，，且，若實數(shù)滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．在中，若，，，則此三角形解的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．不能確定7．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)8．已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．9．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則等于（）A．0 B．2 C．4 D．810．在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有A．3項 B．4項 C．5項 D．6項11．函數(shù)導(dǎo)數(shù)是()A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果三個球的表面積之比是，那么它們的體積之比是__________．14．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為____．15．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，則取得最小值的值為________．16．若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求的極值；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）若對任意的，，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.19．（12分）設(shè)相互垂直的直線，分別過橢圓的左、右焦點，，且與橢圓的交點分別為、和、.（1）當?shù)膬A斜角為時，求以為直徑的圓的標準方程；（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（Ⅰ）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)點，直線與曲線相交于，兩點，且，求實數(shù)的值．21．（12分）設(shè)曲線．（Ⅰ）若曲線表示圓，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當時，若直線與曲線交于兩點，且，求實數(shù)的值．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ1-cos2θ，直線l（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于兩點A，B，且線段AB的中點為M2,2，求α

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】1+x-x210=（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10

的展開式的通項公式為C10rC10-rkx210-r-k-1k2、C【解題分析】試題分析：由三角形面積為，，所以陰影部分面積為，所求概率為考點：定積分及幾何概型概率3、B【解題分析】試題分析：由題中條件：“函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點”可得ξ＞4，結(jié)合正態(tài)分布的圖象的對稱性可得μ值．解：函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點，即二次方程x2+4x+ξ=0無實根得ξ＞4，∵函數(shù)f（x）=x2+4x+ξ沒有零點的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正態(tài)曲線的對稱性知μ=4，故選B．考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．4、C【解題分析】點是曲線上任意一點,所以當曲線在點P的切線與直線平行時，點P到直線的距離的最小，直線的斜率為1，由，解得或（舍）.所以曲線與直線的切點為.點到直線的距離最小值是.選C.5、A【解題分析】分析：根據(jù)，得到，直線的截距為，作出不等式表示的平面區(qū)域，通過平推法確定的取值范圍.詳解：向量，，且，，整理得，轉(zhuǎn)換為直線滿足不等式的平面區(qū)域如圖所示.畫直線，平推直線，確定點A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,分別將點A、B坐標代入，得，故選A.點睛：本題主要考查兩向量垂直關(guān)系的應(yīng)用，以及簡單的線性規(guī)劃問題，著重考查了分析問題和解答問題的能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.目標函數(shù)型線性規(guī)劃問題解題步驟：（1）確定可行區(qū)域（2）將轉(zhuǎn)化為，求z的值，可看做求直線，在y軸上截距的最值．（3）將平移，觀察截距最大（小）值對應(yīng)的位置，聯(lián)立方程組求點坐標．（4）將該點坐標代入目標函數(shù)，計算Z．6、C【解題分析】

判斷的大小關(guān)系，即可得到三角形解的個數(shù).【題目詳解】,,即，有兩個三角形.故選C.【題目點撥】本題考查判斷三角形解的個數(shù)問題，屬于簡單題型.7、A【解題分析】

畫出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間?！绢}目詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是故選【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題，在含有絕對值的題目時通常要經(jīng)過分類討論去絕對值。8、B【解題分析】

設(shè)切點分別為和(s，t)，再由導(dǎo)數(shù)求得斜率相等，得到構(gòu)造函數(shù)由導(dǎo)數(shù)求得參數(shù)的范圍?！绢}目詳解】的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點為與曲線相切的切點為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有即為令則，當時，遞減，當時，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，故選B．【題目點撥】可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在處的切線斜率,這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線切線方程時,要注意區(qū)分“在某點處的切線”與“過某點的切線”,已知y=f(x)在處的切線是,若求曲線y=f(x)過點(m,n)的切線,應(yīng)先設(shè)出切點,把(m,n)代入,求出切點，然后再確定切線方程.而對于切線相同，則分別設(shè)切點求出切線方程，再兩直線方程系數(shù)成比例。9、C【解題分析】

因為，所以是奇函數(shù)，則由奇函數(shù)的性質(zhì)，又因為，，即，，故，即，應(yīng)選答案C．10、D【解題分析】

根據(jù)題目，寫出二次項展開式的通項公式，即可求出的冪指數(shù)是整數(shù)的項的個數(shù)?！绢}目詳解】由題意知，要使的冪指數(shù)是整數(shù)，則必須是的倍數(shù)，故當滿足條件。即的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有項，故答案選D?！绢}目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟記二項展開式的公式。11、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則求導(dǎo)即可．【題目詳解】，故選：A．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】∵三個球的表面積之比是，∴三個球的半徑之比是，∴三個球的體積之比是．14、2；【解題分析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【題目詳解】因為，方差.【題目點撥】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.15、2【解題分析】

求出數(shù)列的首項和公差，求出的表達式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號成立時的值，于此可得出答案．【題目詳解】設(shè)等等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，所以，，等號成立，當且僅當時，等號成立，但，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當或時，取最小值，當時，；當時，，，因此，當時，取最小值，故答案為．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數(shù)求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個條件，在等號不成立時，則應(yīng)考查雙勾函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分析能力與計算能力，屬于中等題．16、【解題分析】

由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集為（m，1）可知：x＝m，x＝1是方程2x2﹣3x+a＝0的兩根．根據(jù)韋達定理便可分別求出m和a的值．【題目詳解】由題意得：1為的根，所以，從而故答案為【題目點撥】本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）【解題分析】

試題分析：第一問，將代入中確定函數(shù)的解析式，對進行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時，函數(shù)有極小值，但無極大值，在解題過程中，注意函數(shù)的定義域；第二問，對求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對和的大小進行3種情況的討論；第三問，由第二問可知，當時，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來，因為對任意的恒成立，所以，將的最大值代入后，，又是一個恒成立，整理表達式，即對任意恒成立，所以再求即可.試題解析：（1）當時，由,解得.∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).∴的極小值為，無極大值.（2）.①當時，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②當時，在上是減函數(shù)；③當時，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).（3）當時，由（2）可知在上是減函數(shù)，∴.由對任意的恒成立，∴即對任意恒成立，即對任意恒成立，由于當時，，∴.考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；4.不等式的性質(zhì).18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證明，，再證明平面；（2）連接，求出AC,CB的長，再求四棱錐的體積.【題目詳解】（1）證明：因為，，所以，即，同理可得，因為，所以平面.（2）解：連接，，，..【題目點撥】本題主要考查線面垂直關(guān)系的證明，考查錐體的體積是計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，詳見解析【解題分析】

（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算出線段的中點坐標，利用弦長公式計算出，于此得出圓心坐標和半徑長，再寫出圓的標準式方程；（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，分別計算出和，可計算出的值，在直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及韋達定理計算出，同理計算出，代入題中等式計算出的值，從而說明實數(shù)存在．【題目詳解】（1）由題意可設(shè)的方程為，代入可得．所以，的中點坐標為．又，所以，以為直徑的圓的方程為．（2）假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立．①當與軸垂直或與軸垂直時，；②設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．將的方程代入得：．由韋達定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查弦長公式、圓的標準方程，計算量大，解題的易錯點就是計算，計算時可充分利用因式分解等一些常規(guī)步驟來操作，另外在設(shè)直線方程時也可以掌握一些技巧，降低運算量．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或或【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程互化原則、極坐標與直角坐標互化原則可直接求得結(jié)果；（Ⅱ）為直線上一點，以為定點可寫出直線參數(shù)方程標準形式，將直線參數(shù)方程代入曲線的普通方程進行整理，從而利用參數(shù)的幾何意義可構(gòu)造方程，從而得到關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）由得：即曲線的普通方程為：由，得：直線的直角坐標方程為：，即（Ⅱ）直線的參數(shù)方程可以寫為：（為參數(shù)）設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程可得：即：，解得：或或【題目點撥】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標方程化直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將距離之和轉(zhuǎn)變?yōu)轫f達定理的形式，從而可構(gòu)造出關(guān)于所求變量的方程，屬于?？碱}型.21、(1)或.(2).【解題分析】分析：（Ⅰ）根據(jù)圓的一般方程的條件列不等式求出的范圍；

（Ⅱ）利用垂徑定理得出圓的半徑，從而得出的值．詳解：(Ⅰ)曲線C變形可得：，由可得或(Ⅱ)因為a=3，所以C的方程為即，所以圓心C（3,0），半徑,因為所以C到直線AB的距離,解得..點睛：本題考查了圓的標準方程，考查圓的弦長的求法