福建省福州市長樂高中、城關(guān)中學(xué)、文筆中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

福建省福州市長樂高中、城關(guān)中學(xué)、文筆中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線和曲線圍成一個葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．2．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象有可能是（）A． B．C． D．3．若關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．4．如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機取出一個小正方體，記它的油漆面數(shù)為，則的均值（）A． B． C． D．5．2018年5月1日，某電視臺的節(jié)目主持人手里提著一個不透明的袋子，若袋中共有10個除顏色外完全相同的球，其中有7個白球，3個紅球，若從袋中任取2個球，則“取得2個球中恰有1個白球1個紅球”的概率為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是（）A． B．C． D．7．在中，，則的形狀為（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形8．函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是()A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)9．對變量進行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是（）A． B．C． D．10．已知展開式中常數(shù)項為1120，實數(shù)是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是A． B． C． D．11．(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．8012．已知函數(shù)，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為______.14．已知，在某一個最小正周期內(nèi)，函數(shù)圖象的一個最高點和最低點對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和，則______________.15．設(shè)向量，.其中.則與夾角的最大值為________.16．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8.高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為6.高為4的等腰三角形，則該幾何體的體積為______；側(cè)面積為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）盒子中有大小和形狀完全相同的個紅球、個白球和個黑球，從中不放回地依次抽取個球.（1）求在第次抽到紅球的條件下，第次又抽到紅球的概率；（2）若抽到個紅球記分，抽到個白球記分，抽到個黑球記分，設(shè)得分為隨機變量，求隨機變量的分布列.18．（12分）如圖，在中，，點在線段上.過點作交于點，將沿折起到的位置（點與重合），使得.（Ⅰ）求證：.（Ⅱ）試問：當(dāng)點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.19．（12分）本小題滿分13分）工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（2）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最小．20．（12分）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，求.（其中為虛數(shù)單位）21．（12分）已知函數(shù)是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意非零實數(shù)滿足，且當(dāng)時，有.（Ⅰ）判斷并證明的奇偶性；（Ⅱ）求證：函數(shù)在上為增函數(shù)，并求不等式的解集.22．（10分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點，船速為，再乘汽車至，車速為，設(shè).（1）用表示從海島到所用的時間，并指明的取值范圍；（2）登陸點應(yīng)選在何處，能使從到所用的時間最少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先作出兩個函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、C【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進而根據(jù)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．詳解：由的圖象易得當(dāng)時

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，f'（x）＜0，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故選：C．點睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．3、A【解題分析】

先將不等式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，只要小于的最大值即可【題目詳解】解：由，得，令，則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時，取最大值，所以故選：A【題目點撥】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題4、C【解題分析】分析：由題意知，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出.詳解：由題意知，；；；；.故選：C.點睛：正確找出所涂油漆的面數(shù)的正方體的個數(shù)及古典概型的概率計算公式、分布列與數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵.5、B【解題分析】

由組合數(shù)公式求出從10個球中任取2個球的取法個數(shù)，再求出有1個紅球1個白球的取法個數(shù)，即可求出結(jié)論.【題目詳解】從10個球中任取2個球共有種取法，其中“有1個紅球1個白球”的情況有（種），所以所求概率.故選:B.【題目點撥】本題考查利用組合數(shù)公式求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：由，得故選：D．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運算，屬基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，進而利用余弦定理化簡整理求得a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理判斷出三角形為直角三角形．【題目詳解】因為,，所以，有．整理得，故,的形狀為直角三角形．故選：B．【題目點撥】余弦的二倍角公式有三個，要根據(jù)不同的化簡需要進行選?。谂袛嗳切涡螤畹姆椒ㄖ?，一般有，利用正余弦定理邊化角，角化邊，尋找關(guān)系即可8、A【解題分析】

畫出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。【題目詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是故選【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題，在含有絕對值的題目時通常要經(jīng)過分類討論去絕對值。9、A【解題分析】

根據(jù)殘差的特點，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．即可得到答案．【題目詳解】用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．故選：．【題目點撥】本題考查了殘差分析，了解殘差分析的原理及特點是解決問題的關(guān)鍵，本題屬基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】分析：由展開式通項公式根據(jù)常數(shù)項求得，再令可得各項系數(shù)和．詳解：展開式通項為，令，則，∴，，所以展開式中各項系數(shù)和為或．故選C．點睛：賦值法在求二項展開式中系數(shù)和方面有重要的作用，設(shè)展開式為，如求所有項的系數(shù)和可令變量，即系數(shù)為，而奇數(shù)項的系數(shù)和為，偶數(shù)項系數(shù)為，還可以通過賦值法證明一些組合恒等式．11、C【解題分析】，由展開式的通項公式可得：當(dāng)時，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)時，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.12、B【解題分析】

對任意的，恒成立對任意的，恒成立，對任意的，恒成立，參變分離得到恒成立，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出在上的最小值即可．【題目詳解】解：對任意的，，即恒成立對任意的，恒成立，對任意的，恒成立，恒成立，又由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，，，即．故選：．【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，恒成立問題的基本處理方法，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，可得，即，代入，得到，于是與的夾角為.【題目點撥】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力.14、1【解題分析】

由函數(shù)圖象的一個最高點和最低點對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和求得周期，再由周期公式求解即可.【題目詳解】由函數(shù)圖象的一個最高點和最低點對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和，得，所以，所以，即.故答案為：1【題目點撥】本題主要考查正弦型函數(shù)周期的求法和周期公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由兩向量中的已知坐標(biāo)和未知坐標(biāo)間的關(guān)系，得出兩向量的終點的軌跡，運用向量的夾角公式求解.【題目詳解】向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；且為圓與圓的距離為1，如圖所示，兩向量的夾角最大，為.【題目點撥】本題考查動點的軌跡和空間直角坐標(biāo)系中向量的夾角，屬于中檔題.16、64【解題分析】

根據(jù)三視圖可得該幾何體表示一個四棱錐，且四棱錐的底面是一個長為8，寬為6的矩形，其中高為4，即可利用體積公式和表面積公式求解，得到答案.【題目詳解】由題意可知，這個幾何體是一個四棱錐，且四棱錐的底面是一個長為8，寬為6的矩形，四棱錐高為4，所以四棱錐的體積為，四棱錐的側(cè)面為等腰三角形，底邊長分別為，斜高分別為，所以側(cè)面積為.【題目點撥】本題主要考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用，以及四棱錐的體積與側(cè)面積的計算，其中解答中根據(jù)幾何體的三視圖得到幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）設(shè)“第1次抽到紅球”為事件A，“第2次抽到紅球”事件B，則“第1次和2次都抽到紅球”就是事件AB，利用條件概率計算公式能求出在第1次抽到紅球的條件下，第2次又抽到紅球的概率．（2）隨機變量X可能取的值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列【題目詳解】（1）設(shè)“第次抽到紅球”為事件，“第次抽到紅球”事件，則“第次和次都抽到紅球”就是事件．（2）隨機變量可能取的值為，，，，，，，，，.隨機變量的分布列為【題目點撥】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列，考查條件概率計算公式、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．18、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（1）由已知條件，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到.（2）過點作，則，，兩兩垂直，以B為坐標(biāo)原點，以，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，應(yīng)用空間向量，分別求得兩平面的法向量，計算兩平面法向量夾角，證明點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.詳解：證明：（Ⅰ）在中，因為，所以，所以，，又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點作于點，由（Ⅰ）知平面，所以，又因為，平面，所以平面.在平面內(nèi)過點作直線，則平面.如圖所示，以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，又因為，所以，.在中，，所以，，所以，所以，，.從而，.設(shè)是平面的一個法向量，所以，即，所以，取，得是平面的一個法向量.又平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則.因此當(dāng)點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.點睛：點睛：用空間向量求二面角問題的解題步驟：右手定則建立空間直角坐標(biāo)系，寫出關(guān)鍵點坐標(biāo)設(shè)兩平面的法向量，兩法向量夾角為，求法向量及兩向量夾角的余弦；當(dāng)兩法向量的方向都向里或向外時，則二面角；當(dāng)兩法向量的方向一個向里一個向外時，二面角為.19、（1）不變化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙時,均值（數(shù)字期望）達到最小【解題分析】

（1）按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為．若甲在先,丙次之,乙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為，發(fā)現(xiàn)任務(wù)能完成的概率是一樣.同理可以驗證，不論如何改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率不發(fā)生變化.（2）由題意得可能取值為∴，∴其分布列為:

．（3）,∴要使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最小,則只能先派甲、乙中的一人.∴