2024屆湖北省武漢市漢口北高中數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆湖北省武漢市漢口北高中數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機各1臺,則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種2．在極坐標系中，圓ρ=2cosθ的圓心坐標為（）A．(1,π2) B．(-1,π3．若復數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．設平面向量，則與垂直的向量可以是（）A． B． C． D．5．恩格爾系數(shù),國際上常用恩格爾系數(shù)來衡量一個地區(qū)家庭的富裕程度，某地區(qū)家庭2018年底恩格爾系數(shù)為，剛達到小康，預計從2019年起該地區(qū)家庭每年消費支出總額增加，食品消費支出總額增加，依據(jù)以上數(shù)據(jù)，預計該地區(qū)家庭恩格爾系數(shù)滿足達到富裕水平至少經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：，,，）A．年 B．年 C．年 D．年6．“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．若復數(shù)是純虛數(shù)，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如圖，設區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機投一點，且投入到區(qū)域內(nèi)任一點都是等可能的，則點落到由曲線與所圍成陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A.B.C.D.9．已知展開式中項的系數(shù)為，其中，則此二項式展開式中各項系數(shù)之和是（）A． B．或 C． D．或10．從一口袋中有放回地每次摸出1個球，摸出一個白球的概率為0.4，摸出一個黑球的概率為0.5，若摸球3次，則恰好有2次摸出白球的概率為A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.29211．設函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．12．設集合，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲乙兩人組隊參加猜謎語大賽，比賽共兩輪，每輪比賽甲乙兩人各猜一個謎語，已知甲猜對每個謎語的概率為，乙猜對每個謎語的概率為，甲、乙在猜謎語這件事上互不影響，則比賽結(jié)束時，甲乙兩人合起來共猜對三個謎語的概率為__________14．在極坐標系中，若過點（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點，則="______________________."15．已知向量，則向量的單位向量______．16．已知棱長為的正方體，為棱中點，現(xiàn)有一只螞蟻從點出發(fā)，在正方體表面上行走一周后再回到點，這只螞蟻在行走過程中與平面的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設命題函數(shù)的值域為；命題對一切實數(shù)恒成立，若命題“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.19．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，已知點，直線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線的交點為，求的值.20．（12分）已知函數(shù)．(1)若，當時，求證：．(2)若函數(shù)在為增函數(shù)，求的取值范圍.21．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與直線（為參數(shù)，）交于點，與曲線交于點（異于極點），且，求.22．（10分）（1）當時，求證：；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個計數(shù)原理的應用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，快譯通2臺和錄音機1臺，取法有種；快譯通1臺和錄音機2臺，取法有種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種.故選：C.點睛：本題考查計數(shù)原理的應用，考查分類和分步的綜合應用，本題解題的關鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個中檔題目.2、D【解題分析】

把圓的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，求出圓心直角坐標即可．【題目詳解】由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，化簡為直角坐標方程為：x2+y2-2x=0，即x-12所以圓心（1，0），即圓心（1，0）的極坐標為（1，0）.故選：D．【題目點撥】本題考查圓的極坐標方程和直角坐標方程的互化，屬于基礎題．3、A【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算可求得；根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得到結(jié)果.【題目詳解】由題意得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查共軛復數(shù)的求解，關鍵是能夠利用復數(shù)的除法運算求得，屬于基礎題.4、D【解題分析】分析：先由平面向量的加法運算和數(shù)乘運算得到，再利用數(shù)量積為0進行判定．詳解：由題意，得，因為，，，，故選D．點睛：本題考查平面向量的坐標運算、平面向量垂直的判定等知識，意在考查學生的邏輯思維能力和基本計算能力．5、B【解題分析】

根據(jù)“每年消費支出總額增加，食品消費支出總額增加”以及列不等式，解不等式求得至少經(jīng)過的年份.【題目詳解】設經(jīng)過的年份為年，依題意有，即，兩邊取以為底的對數(shù)得，即，故至少經(jīng)過年，可使家庭恩格爾系數(shù)滿足達到富裕水平.故選B.【題目點撥】本小題主要考查指數(shù)不等式的解法，考查對數(shù)運算，考查實際生活中的函數(shù)運用，考查閱讀與理解能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】分析：首先求得復數(shù)z為純虛數(shù)時x是值，然后確定充分性和必要性即可.詳解：復數(shù)為純虛數(shù)，則：，即：，據(jù)此可知，則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的充要條件本題選擇C選項.點睛：本題主要考查充分必要條件的判斷，已知復數(shù)類型求參數(shù)的方法，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7、C【解題分析】

由純虛數(shù)的定義和三角恒等式可求得，根據(jù)二倍角公式求得；根據(jù)復數(shù)的幾何意義可求得結(jié)果.【題目詳解】為純虛數(shù)，，即，，，，對應點的坐標為，位于第二象限.則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限故選：.【題目點撥】本題考查復數(shù)對應點的坐標的問題的求解，涉及到同角三角函數(shù)值的求解、二倍角公式的應用、復數(shù)的幾何意義等知識.8、B【解題分析】試題分析：圖中陰影面積可以用定積分計算求出，即，正方形OABC的面積為1，所以根據(jù)幾何概型面積計算公式可知，點落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率為。考點：1.定積分的應用；2.幾何概型。9、B【解題分析】

利用二項式定理展開通項，由項的系數(shù)為求出實數(shù)，然后代入可得出該二項式展開式各項系數(shù)之和.【題目詳解】的展開式通項為，令，得，該二項式展開式中項的系數(shù)為，得.當時，二項式為，其展開式各項系數(shù)和為；當時，二項式為，其展開式各項系數(shù)和為.故選B.【題目點撥】本題考查二項式定理展開式的應用，同時也考查了二項式各項系數(shù)和的概念，解題的關鍵就是利用二項式定理求出參數(shù)的值，并利用賦值法求出二項式各項系數(shù)之和，考查運算求解能力，屬于中等題.10、C【解題分析】

首先分析可能的情況：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后計算相應概率.【題目詳解】因為摸一次球，是白球的概率是，不是白球的概率是，所以，故選C.【題目點撥】本題考查有放回問題的概率計算，難度一般.11、A【解題分析】

根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可判斷出該函數(shù)在上為減函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)值的關系，根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關系從而解出不等式即可．【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，；當時，，；；在上單調(diào)遞減；，；由不等式得：；，且；；原不等式的解集為．故選：．【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)單調(diào)性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、B【解題分析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因為，所以,因此，，選B.點睛：集合的基本運算的關注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

找到滿足題意的所有情況，分別求得每種情況下的概率，由分類計數(shù)原理進行加法運算即可.【題目詳解】甲乙兩人合起來共猜對三個謎語的所有情況包括：甲猜對2個，乙猜對1個和甲猜對1個，乙猜對2個，若甲猜對2個，乙猜對1個，則有=，若甲猜對1個，乙猜對2個，則有，∴比賽結(jié)束時，甲乙兩人合起來共猜對三個謎語的概率為+.故答案為.【題目點撥】本題考查了相互獨立事件的概率的求法，考查了分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.14、【解題分析】

解：過點（3，0）且與極軸垂直的直線方程為x=3，曲線ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=215、【解題分析】

計算出，從而可得出，即可求出向量的坐標.【題目詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.【題目點撥】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標的計算，熟悉結(jié)論“與非零向量同向的單位向量為”的應用是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解題分析】分析：由題可知，螞蟻在正方體表面上行走一周的路線構(gòu)成與平面平行的平面，且圍成的圖形為菱形，從而求得答案.詳解：由題可知，螞蟻在正方體表面上行走一周的路線構(gòu)成與平面平行的平面，設、分別為、中點，連接，，和，則為螞蟻的行走軌跡.正方體的棱長為2，易得，，，四邊形為菱形，故答案為.點睛：本題考查面面平行和正方體截面問題的應用，正確理解與平面的距離保持不變的含義是解題關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】試題分析：分別求出命題，成立的等價條件，利用且為假．確定實數(shù)的取值范圍．試題解析：真時，合題意.時，．時，為真命題.真時：令，故在恒成立時，為真命題.為真時，.為假命題時，.考點：復合命題的真假.18、（1）（2）見解析【解題分析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進一步計算X的數(shù)學期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學期望是=【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學應用意識、基本運算求解能力等.19、（1）；（2）.【解題分析】分析：(1)直接代極坐標公式得到曲線的直角坐標方程.(2)把直線的參數(shù)方程代入，得,再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.詳解：（1）對于曲線，兩邊同乘以可得，即,所以它的直角坐標方程為.（2）把直線的參數(shù)方程代入，得,所以,因為點在直線上，所以,因為,所以,所以.點睛：（1）本題主要考查極坐標和直角坐標的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本運算能力.(2)過定點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.當動點在定點上方時,.當動點在定點下方時,.20、（1）見證明；（2）【解題分析】

(1)時，設,對函數(shù)求導得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值進而得證；（2）原函數(shù)單調(diào)遞增，即恒成立，變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【題目詳解】（1）時，設．則，在單調(diào)遞增．即.(2)恒成立，即對恒成立．∵時，（當且僅當取