寧夏回族自治區(qū)銀川市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

寧夏回族自治區(qū)銀川市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．242．若離散型隨機(jī)變量的分布列為則的數(shù)學(xué)期望（）A． B．或 C． D．3．已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)有相同的奇偶性和單調(diào)性，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（其中正視圖中的圓弧是半徑為2的半圓），則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．5．定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿(mǎn)足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是（）．A． B．C． D．7．若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件x-3y+4≥03x-y-4≤0x+y≥0，則A．-1 B．1C．10 D．128．已知函數(shù)，滿(mǎn)足和均為偶函數(shù)，且，設(shè)，則A． B． C． D．9．從裝有除顏色外完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取次，設(shè)摸得黑球的個(gè)數(shù)為，已知，則等于（）A． B． C． D．10．函數(shù)的極大值為（）A．3 B． C． D．211．若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）A． B．2 C．-3 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線(xiàn):的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別交于點(diǎn)、，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率是_________．14．球的半徑為8，經(jīng)過(guò)球面上一點(diǎn)作一個(gè)平面，使它與經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的半徑成45°角，則這個(gè)平面截球的截面面積為_(kāi)________________.15．已知函數(shù)，則_________16．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）觀察下列等式:；；；；；(1)猜想第n(n∈N*)個(gè)等式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.18．（12分）隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度．中華技術(shù)有限公司擬對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入x（億元與科技升級(jí)直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為．（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片科技升級(jí)的投入為17億元時(shí)的直接收益．回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)，）（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小．（附：用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)：，）（3）科技升級(jí)后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實(shí)際試驗(yàn)得X大致服從正態(tài)分布．公司對(duì)科技升級(jí)團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若芯片的效率不超過(guò)50%，不予獎(jiǎng)勵(lì)：若芯片的效率超過(guò)50%，但不超過(guò)53%，每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)2元；若芯片的效率超過(guò)53%，每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)4元記為每部芯片獲得的獎(jiǎng)勵(lì)，求（精確到0.01）．（附：若隨機(jī)變量，則，）19．（12分）某城市理論預(yù)測(cè)2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示年份2010+x（年）01234人口數(shù)y（十萬(wàn)）5781119(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；(2)據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)．20．（12分）甲、乙兩班進(jìn)行“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)或不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，用表示甲隊(duì)總得分.(1)求的概率；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率.21．（12分）已知函數(shù).（I）求不等式；（II）若不等式的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍..22．（10分）如圖，已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率都存在．（1）若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值；（2）若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，且，試探究是否為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：先排三個(gè)空位，形成4個(gè)間隔，然后插入3個(gè)同學(xué)，故有種考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題2、C【解題分析】

由離散型隨機(jī)變量的分布列，列出方程組，能求出實(shí)數(shù)，由此能求出的數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：由離散型隨機(jī)變量的分布列，知：

，解得，

∴的數(shù)學(xué)期望.

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

先判斷的奇偶性及單調(diào)性，即可由為奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性解不等式，結(jié)合定義域即可求解.【題目詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋粍t，即為奇函數(shù)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)單調(diào)遞減，由題意可得函數(shù)為在內(nèi)單調(diào)遞減的奇函數(shù)，所以不等式變形可得，即，則，解不等式組可得，即，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)應(yīng)用，由奇偶性及單調(diào)性解抽象不等式，注意定義域的要求，屬于中檔題.4、A【解題分析】

試題分析：由三視圖可知該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體體積和半個(gè)圓柱體積之和，．考點(diǎn)：三視圖與體積．5、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，并將所求不等式化為，利用單調(diào)性可解出該不等式.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，則，，可得，即，，因此，不等式的解集為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)不等式的求解，通過(guò)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.6、A【解題分析】

求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率,再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程即可.【題目詳解】由題.故.故曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.化簡(jiǎn)得.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

本題是簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的基本題型，根據(jù)“畫(huà)、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橐?-1,1),(1,-1),(2,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y經(jīng)過(guò)平面區(qū)域的點(diǎn)(2,2)時(shí)，【題目點(diǎn)撥】解答此類(lèi)問(wèn)題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過(guò)程中出錯(cuò).8、C【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案詳解：由題意可得：故，周期為故選點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，運(yùn)用周期性進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合已知條件求出結(jié)果，本題的解題方法需要掌握。9、C【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算，即可得出答案?！绢}目詳解】根據(jù)題意可得出，即所以故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布，屬于基礎(chǔ)題。10、B【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)集合的定義，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得或，令，即，解得，即函數(shù)在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及求解函數(shù)的極值問(wèn)題，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，以及極值的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

將條件轉(zhuǎn)化為有解，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊函數(shù)的值域即可.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)所以有解即有解令，則因?yàn)?，且由圖象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以且當(dāng)時(shí)所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A【題目點(diǎn)撥】1.本題主要考查函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.2.若方程有根，則的范圍即為函數(shù)的值域12、A【解題分析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到、的值，可得答案【題目詳解】第1次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第2次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第3次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第4次執(zhí)行循環(huán)體后：，；經(jīng)過(guò)4次循環(huán)后，可以得到周期為4，因?yàn)?，所以輸出的值為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖的問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是找出循環(huán)的周期，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)，由定義得，由余弦定理得的方程求解即可【題目詳解】根據(jù)，由雙曲線(xiàn)定義得，又直線(xiàn)的斜率為，故，中由余弦定理得故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線(xiàn)定義及幾何性質(zhì)，余弦定理，運(yùn)用定義得是本題關(guān)鍵，是中檔題14、【解題分析】

先求出截面圓的半徑，再算截面面積。【題目詳解】截面圓半徑為，截面面積為?！绢}目點(diǎn)撥】先求出截面圓的半徑，再算截面面積。15、3【解題分析】

判斷，再代入，利用對(duì)數(shù)恒等式，計(jì)算求得式子的值為.【題目詳解】因?yàn)?，所以，故?【題目點(diǎn)撥】在計(jì)算的值時(shí)，先進(jìn)行冪運(yùn)算，再進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算，能使運(yùn)算過(guò)程更清晰.16、【解題分析】

由題意畫(huà)出可行域，令，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【題目詳解】由題意畫(huà)出可行域，如圖，令，則，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取最小值，由可得點(diǎn)，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)(i)當(dāng)時(shí),等式顯然成立；(ii)見(jiàn)證明；【解題分析】

（1）猜想第個(gè)等式為.（2）先驗(yàn)證時(shí)等式成立，再假設(shè)等式成立，并利用這個(gè)假設(shè)證明當(dāng)時(shí)命題也成立.【題目詳解】（1）猜想第個(gè)等式為.（2）證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，故原等式成立；②設(shè)時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，命題也成立，由數(shù)學(xué)歸納法可以原等式成立.【題目點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)歸納法可用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，一般有2個(gè)基本的步驟：（1）歸納起點(diǎn)的證明即驗(yàn)證命題成立；（2）歸納證明：即設(shè)命題成立并證明時(shí)命題也成立，此處的證明必須利用假設(shè)，最后給出一般結(jié)論.18、（1）見(jiàn)解析（2）技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．（3）2.27元【解題分析】

（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，轉(zhuǎn)化，利用相關(guān)指數(shù)的定義即得解；（2）當(dāng)時(shí)，由已知可得，可得，可得y與x滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程，代入計(jì)算即得結(jié)論；（3）由，，所以，即得解.【題目詳解】解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)，，所以，所以．可見(jiàn)模型①的相關(guān)指數(shù)小于模型②的相關(guān)指數(shù)．所以回歸模型②的擬合效果更好．所以當(dāng)億元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為（億元）．（2）當(dāng)時(shí)，由已知可得．．所以．所以當(dāng)時(shí)，y與x滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為．當(dāng)時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為億元．當(dāng)億元時(shí)，實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為億元億元，所以技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大．（3）因?yàn)?，，所以；．所以（元）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)性回歸方程、回歸系數(shù)，正態(tài)分布等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）196萬(wàn).【解題分析】試題分析：（1）先求出五對(duì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，求出年份和人口數(shù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，把所給的數(shù)據(jù)代入公式，利用最小二乘法求出線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)，再求出a的值，從而得到線(xiàn)性回歸方程；（2）把x=5代入線(xiàn)性回歸方程，得到，即2015年該城市人口數(shù)大約為19.6（十萬(wàn)）.試題解析：解：（1），=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，=故y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為（2）當(dāng)x=5時(shí)，，即據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)約為196萬(wàn).考點(diǎn)：線(xiàn)性回歸方程.20、（1）；（2）.【解題分析】

(1)ξ＝2，則甲隊(duì)有兩人答對(duì)，一人答錯(cuò)，計(jì)算得到答案.(2)甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4，則甲可以得1,2,3分三種情況，計(jì)算其概率，再根據(jù)條件概率公式得到結(jié)果，【題目詳解】(1)ξ＝2，則甲隊(duì)有兩人答對(duì)，一人答錯(cuò)，故.(2)設(shè)甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4為事件A，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高為事件B.設(shè)乙隊(duì)得分為η，則η～，，，，，，，∴所求概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算和條件概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用零點(diǎn)分類(lèi)討論法解不等式；（Ⅱ）即在恒成立，即，即，再化為在恒成立解答即可.【題目詳解】解：（Ⅰ）.當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，即，解得.綜上，不等式的解集為.（Ⅱ）對(duì)，恒成立，即在恒成立，即，，在恒成立，.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.22、（1）見(jiàn)解析（2），詳見(jiàn)解析【解題分析】

（1）設(shè)，，由橢圓對(duì)稱(chēng)性得，把點(diǎn)，的