2024屆西藏日喀則市南木林中學高二數學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆西藏日喀則市南木林中學高二數學第二學期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數在處取得極小值，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．62．若集合，則集合()A． B．C． D．3．記函數的定義域為，函數，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．平行于直線且與圓相切的直線的方程是（）A．或 B．或C．或 D．或5．如圖所示，這是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．若命題是真命題，則實數a的取值范圍是A． B．C． D．7．已知復數在復平面上對應的點為，則（）A． B． C．對應的向量為 D．是純虛數8．某國際會議結束后，中、美、俄等21國領導人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領導人站在前排正中間位置，美俄兩國領導人也站前排并與中國領導人相鄰，如果對其他國家領導人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種9．某生產廠家的年利潤（單位：萬元）與年產量（單位：萬件）的函數關系式為，則該生產廠家獲取的最大年利潤為（）A．300萬元 B．252萬元 C．200萬元 D．128萬元10．已知拋物線上一動點到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值為，F是拋物線的焦點，是坐標原點，則的內切圓半徑為A． B． C． D．11．一只袋內裝有個白球，個黑球，所有的球除顏色外完全相同，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了個白球，則下列概率等于的是（）A． B． C． D．12．復數z滿足z?i=1+2i(iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設數列的前項和為，已知，，，則______.14．某單位在周一到周六的六天中安排人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天，則不同的值班安排種數為______.（用數字作答）15．的展開式中的系數為______.16．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，這對對角線所成的角為的概率為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某醫(yī)藥開發(fā)公司實驗室有瓶溶液，其中瓶中有細菌，現需要把含有細菌的溶液檢驗出來，有如下兩種方案：方案一：逐瓶檢驗，則需檢驗次；方案二：混合檢驗，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結果不含有細菌，則瓶溶液全部不含有細菌；若檢驗結果含有細菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗，此時檢驗次數總共為.(1)假設，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定哪兩瓶溶液含有細菌的概率；(2)現對瓶溶液進行檢驗，已知每瓶溶液含有細菌的概率均為.若采用方案一.需檢驗的總次數為,若采用方案二.需檢驗的總次數為.(i)若與的期望相等.試求關于的函數解析式;(ii)若,且采用方案二總次數的期望小于采用方案一總次數的期望.求的最大值.參考數據：18．（12分）已知函數是奇函數（）.（1）求實數的值；（2）試判斷函數在上的單調性，并證明你的結論；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）已知過點A（0，2）的直線l與橢圓C：x2（1）若直線l的斜率為k，求k的取值范圍；（2）若以PQ為直徑的圓經過點E（1，0），求直線l的方程．20．（12分）已知函數．（1）當a＝3時，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數a的取值范圍．21．（12分）已知函數，且的解集為．（1）求的值；（2）若，且，求證：．22．（10分）已知.（1）求及；（2）試比較與的大小，并用數學歸納法證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先對函數求導，根據題意，得到，再用導數的方法研究函數單調性，進而可求出結果.【題目詳解】因為，所以，又函數在處取得極小值，所以，所以，因此，由得；由得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；所以；故選B【題目點撥】本題主要考查導數的應用，根據導數的方法研究函數的單調性，最值等，屬于?？碱}型.2、D【解題分析】試題分析：解：所以選D．考點：集合的運算．3、C【解題分析】

列不等式求出集合，設，可得既是奇函數又是增函數，故原題等價于，結合奇偶性和單調性以及分離參數思想可得在上恒成立，根據的范圍即可得結果.【題目詳解】由得，即設，，即函數在上為奇函數，又∵和為增函數，∴既是奇函數又是增函數由得，則，∴即在上恒成立，∵，∴，故選C.【題目點撥】本題主要考查了函數的奇偶性以及單調性的應用，恒成立問題，構造函數是解題的關鍵，屬于中檔題.4、A【解題分析】設所求直線為，由直線與圓相切得，，解得．所以直線方程為或．選A.5、A【解題分析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長、寬、高分別為的長方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個半圓柱，故其體積為，故選A.6、B【解題分析】因為命題是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當a＋2＝0時，不符合題意，故有，即，解得，則實數a的取值范圍是．故選：B．7、D【解題分析】

直接由復數的基本概念，對選項進行一一驗證，即可得答案．【題目詳解】復數在復平面上對應的點為，，，，是純虛數．故選：D．【題目點撥】本題考查了復數的基本概念，考查了復數模的求法，是基礎題．8、D【解題分析】

先排美國人和俄國人，方法數有種，剩下人任意排有種，故共有種不同的站法.9、C【解題分析】

求得函數的導數，得到函數的單調性，進而求解函數的最大值，即可得到答案.【題目詳解】由題意，函數，所以，當時，，函數為單調遞增函數；當時，，函數為單調遞減函數，所以當時，有最大值，此時最大值為200萬元，故選C.【題目點撥】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性與最值問題，其中解答中熟記函數的導數在函數中的應用，準確判定函數的單調性是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.10、D【解題分析】

由拋物線的定義將到準線的距離轉化為到焦點的距離，到其準線與到點M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當三點共線時取最小值．所以，解得，由內切圓的面積公式，解得．故選D．11、D【解題分析】

當時，前2個拿出白球的取法有種，再任意拿出1個黑球即可，有種取法，在這3次拿球中可以認為按順序排列，由此能求出結果．【題目詳解】當時，即前2個拿出的是白球，第3個是黑球，前2個拿出白球，有種取法，再任意拿出1個黑球即可，有種取法，而在這3次拿球中可以認為按順序排列，此排列順序即可認為是依次拿出的球的順序，即，．故選：D．【題目點撥】本題考查超幾何分布概率模型，考查運算求解能力，屬于基礎題.12、D【解題分析】

利用復數的四則運算法則，可求出z=1+2ii【題目詳解】由題意，z=1+2ii=1+2【題目點撥】本題考查了復數的四則運算，考查了學生對復數知識的理解和掌握，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先計算，歸納猜想【題目詳解】由，，，可得，，歸納猜想：故答案為【題目點撥】本題考查了數列通項公式的歸納猜想，意在考查學生的歸納猜想能力.14、【解題分析】

依題意，先求出相鄰2天的所有種數，再選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天利用分步乘法計數原理即可求得答案．【題目詳解】單位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天．故相鄰的有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6種情形，選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天，故有種，故答案為：144.【題目點撥】本題主要考查了求事件的排列數，解題關鍵是理解題意結合排列數公式進行求解，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.15、56【解題分析】

利用二項式展開式的通項公式，即可容易求得結果.【題目詳解】的展開式的通項公式為.令，解得，故其系數為.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用二項式通項公式求指定項系數，屬基礎題.16、【解題分析】

正方體的面對角線共有12條，能夠數出每一條對角線和另外的8條構成8對直線所成角為60°，得共有12×8對對角線所成角為60°，并且容易看出有一半是重復的，得正方體的所有對角線中，所成角是60°的有48對，根據古典概型概率公式求解即可．【題目詳解】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與上平面A1B1C1D1中一條對角線A1C1成60°的直線有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八對直線，總共12條對角線；∴共有12×8＝96對面對角線所成角為60°，而有一半是重復的；∴從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有48對．而正方體的面對角線共有12條，所以概率為：故答案為【題目點撥】本題考查正方體面對角線的關系，考查了古典概型的概率問題，而對于本題知道96對直線中有一半是重復的是求解本題的關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（?。╥i）8【解題分析】

（1）對可能的情況分類：<1>前兩次檢驗出一瓶含有細菌第三次也檢驗出一瓶含有細菌，<2>前三次都沒有檢驗出來，最后就剩下兩瓶含有細菌；（2）(i)根據，找到與的函數關系；(ii)根據得到關于的不等式式，構造函數解決問題.【題目詳解】解：（1）記所求事件為，“第三次含有細菌且前2次中有一次含有細菌”為事件，“前三次均不含有細菌”為事件，則，且互斥，所以（2），的取值為，，所以，由得，所以；（ii）,所以，所以，所以設，，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減又，所以的最大值為8【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的均值以及隨機事件的概率計算，難度較難.計算兩個事件的和事件的概率，如果兩個事件互斥，可將結果寫成兩個事件的概率之和；均值（或期望）的相關計算公式要熟記..18、（1）（2）單調遞增，見解析（3）【解題分析】

（1）根據函數是定義在上的奇函數，由求得的值.（2）由（1）求得的解析式，利用單調性的定義，任取，計算，由此證得在上遞增.（3）根據的單調性和奇偶性化簡不等式，得到對任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負數列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】（1）∵是奇函數在原點有定義：∴，∴；經驗證滿足題意（2）在上單調遞增，證明如下：設，則：；∵，∴，；∴；∴是上的增函數；（3）由（1）、（2）知，是上的增函數，且是奇函數；∵，∴；∴；即對任意恒成立；只需；解之得；∴實數的取值范圍為.【題目點撥】本小題主要考查根據函數的奇偶性求參數，考查利用函數單調性的定義證明函數的單調性，考查利用函數的奇偶性和單調性解不等式，考查一元二次不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解題分析】試題分析：（1）由題意設出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程后由判別式大于求得的取值范圍；（2）設出的坐標，利用根與系數的關系得到的橫坐標的和與積，結合以為直徑的圓經過點，由EP·EQ=0求得值，則直線l方程可求.試題解析：（1）依題意，直線l的方程為y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0,則P(0,1),Q(0,-1),此時以為直徑的圓過點E(1,0)，滿足題意.直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2EP=(k2+1)因為以直徑的圓過點E(1,0)，所以EP·EQ=0，即12k+143k2故直線l的方程為y=-76x+2.綜上，所求直線l的方程為x=0考點：1.直線與橢圓的綜合問題；2.韋達定理.【方法點睛】本題主要考查的是橢圓的簡單性質，直線與圓錐曲線位置關系的應用，體現了設而不求的解題思想方法，是中檔題，本題（1）問主要是聯(lián)立直線與橢圓方程，化成一元二次方程的判別式大于求出的取值范圍，（2）利用EP·EQ=0求出值，進而求出直線方程,因此解決直線與圓錐曲線位置關系時應該熟練運用韋達定理解題.20、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由a＝3可得，去絕對值，分類討論解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由題意可得有解，運用絕對值不等式的性質可得此不等式左邊的最小值，解a的不等式可得所求范圍．【題目詳解】（1）當a＝3時，即為，等價于或或，解得或或，則原不等式的解集為；（2）不等式的解集非空等價于有解．由，（當且僅當時取得等號），所以，解得，故a的取值范圍是．【題目點撥】本題考查分類討論