湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中,方程表示在x軸、y軸上的截距分別為的直線,類比到空間直角坐標系中,在軸、軸、軸上的截距分別為的平面方程為()A． B．C． D．2．已知函數(shù)，若是圖象的一條對稱軸的方程，則下列說法正確的是（）A．圖象的一個對稱中心 B．在上是減函數(shù)C．的圖象過點 D．的最大值是3．在正四面體中，點，分別在棱，上，若且，，則四面體的體積為（）A． B． C． D．4．某市委積極響應十九大報告提出的“到2020年全面建成小康社會”的目標，鼓勵各縣積極脫貧，計劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現(xiàn)突出，B縣有3人表現(xiàn)突出，現(xiàn)分別從A，B兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是（）A． B． C． D．5．已知，，，則下列三個數(shù)，，（）A．都大于 B．至少有一個不大于C．都小于 D．至少有一個不小于6．設函數(shù)，若a=),，則（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S的值為3，則判斷框中填入的條件可以是（）A． B． C． D．8．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中“開立圓術”曰:置積尺數(shù),以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積,求其直徑的一個近似公式,人們還用過一些類似的近似公式,根據(jù)判斷,下列近似公式中最精確的一個是（）A． B． C． D．9．已知復數(shù)，則的虛部是（）A． B． C．-4 D．410．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．21011．在平面幾何中有如下結論：正三角形的內切圓面積為，外接圓面積為，則，推廣到空間中可以得到類似結論：已知正四面體的內切球體積為，外接球體積為，則為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的準線與圓相切，則的值為__________．14．已知向量與的夾角為120°，且，，則__________．15．在全運會期間，4名志愿者被安排參加三個不同比賽項目的接待服務工作，則每個項目至少有一人參加的安排方法有____________．16．若對于任意實數(shù)x，都有，則的值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在的展開式中,求：(1)第3項的二項式系數(shù)及系數(shù)；(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和；(3)求系數(shù)絕對值最大的項.18．（12分）《中華人民共和國道路交通安全法》第47條的相關規(guī)定：機動車行經(jīng)人行橫道時，應當減速慢行；遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規(guī)定：對不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設備所抓拍的5個月內駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù)：月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009085（Ⅰ）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程并預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；（Ⅱ）交警從這5個月內通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人，調查駕駛員不“禮讓斑馬線”行為與駕齡的關系，得到如下列聯(lián)表：不禮讓斑馬線禮讓斑馬線合計駕齡不超過1年22830駕齡1年以上81220合計302050能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關？參考公式：，，（其中）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個零點，且，證明：.20．（12分）某村計劃建造一個室內面積為800平米的矩形蔬菜溫室，在溫室內沿左右兩側與后墻內側各保留1米的通道，沿前側內墻保留3米寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大的種植面積是多少？21．（12分）已知函數(shù)，，若且對任意實數(shù)均有成立．（1）求表達式；（2）當時，是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，根據(jù)下列條件分別求實數(shù)的值.（Ⅰ）復數(shù)是純虛數(shù)；（Ⅱ）復數(shù)在復平面內對應的點在直線上.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是.【題目詳解】由類比推理得：若平面在軸、軸、軸上的截距分別為，則該平面的方程為：，故選A.【題目點撥】平面中的定理、公式等類比推理到空間中時，平面中的直線變?yōu)榭臻g中的直線或平面，平面中的面積變?yōu)榭臻g中的體積.類比推理得到的結論不一定正確，必要時要對得到的結論證明.如本題中，可令，看是否為.2、A【解題分析】

利用正弦函數(shù)對稱軸位置特征，可得值，從而求出解析式，利用的圖像與性質逐一判斷即可．【題目詳解】∵是圖象的一條對稱軸的方程，∴，又，∴，∴.圖象的對稱中心為，故A正確；由于的正負未知，所以不能判斷的單調性和最值，故B，D錯誤；，故C錯誤.故選A.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質．3、C【解題分析】

由題意畫出圖形，設，，，由余弦定理得到關于，，的方程組，求解可得，的值，然后分別求出三角形的面積及A到平面的高，代入棱錐體積公式得答案．【題目詳解】如圖，設，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，則，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距離．∴，故選C．【題目點撥】本題考查棱柱、棱錐、棱臺體積的求法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．4、B【解題分析】

由古典概型及其概率計算公式得：有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是，得解．【題目詳解】由已知有分別從，兩個縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現(xiàn)突出，且縣選取的人表現(xiàn)不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選：B．【題目點撥】本題考查條件概率的計算，考查運算求解能力，求解時注意與古典概率模型的聯(lián)系.5、D【解題分析】分析：利用基本不等式可證明，假設三個數(shù)都小于，則不可能，從而可得結果.詳解：，假設三個數(shù)都小于，則，所以假設不成立，所以至少有一個不小于，故選D.點睛：本題主要考查基本不等式的應用，正難則反的思想，屬于一道基礎題.反證法的適用范圍：（1）否定性命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復雜，而反面情況較少．6、D【解題分析】

把化成,利用對數(shù)函數(shù)的性質可得再利用指數(shù)函數(shù)的性質得到最后根據(jù)的單調性可得的大小關系.【題目詳解】因為且,故,又在上為增函數(shù),所以即.故選:.【題目點撥】本題考查對數(shù)的大小比較,可通過尋找合適的單調函數(shù)來構建大小關系,如果底數(shù)不統(tǒng)一,可以利用對數(shù)的運算性質統(tǒng)一底數(shù),不同類型的數(shù)比較大小,應找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關系的傳遞,難度較易.7、B【解題分析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件．【題目詳解】程序運行中，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿足，，判斷循環(huán)條件，滿足，……，，判斷循環(huán)條件，滿足，，，判斷循環(huán)條件，這里應不滿足，輸出．故條件為．判斷框中填入，故選：B.【題目點撥】本題考查程序框圖，解題時可模擬程序運行，根據(jù)輸出結論確定循環(huán)條件．8、B【解題分析】

利用球體的體積公式得，得出的表達式，再將的近似值代入可得出的最精確的表達式.【題目詳解】由球體的體積公式得，，，，，，與最為接近，故選C.【題目點撥】本題考查球體的體積公式，解題的關鍵在于理解題中定義，考查分析問題和理解問題的能力，屬于中等題．9、A【解題分析】

利用復數(shù)運算法則及虛部定義求解即可【題目詳解】由，得，所以虛部為.故選A【題目點撥】本題考查復數(shù)的四則運算，復數(shù)的虛部，考查運算求解能力.10、C【解題分析】

由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可．【題目詳解】（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系數(shù)是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系數(shù)是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系數(shù)是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故選C．【題目點撥】本題考查二項式定理系數(shù)的性質，二項式定理的應用，考查計算能力．11、B【解題分析】

平面圖形類比空間圖形,二維類比三維,類比平面幾何的結論,確定正四面體的外接球和內切球的半徑之比,即可求得結論.【題目詳解】設正四面體P-ABC的邊長為a，設E為三角形ABC的中心，H為正四面體P-ABC的中心，則HE為正四面體P-ABC的內切球的半徑r,BH=PH且為正四面體P-ABC的外接球的半徑R，所以BE=，所以在中，，解得，所以R=PE-HE=，所以，根據(jù)的球的體積公式有，，故選：B.【題目點撥】本題考查類比推理，常見類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數(shù)與實數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.12、C【解題分析】

先求導，得到函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，即導數(shù)的零點在上，計算得到答案.【題目詳解】設函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點，且滿足：即故答案選C【題目點撥】本題考查了函數(shù)的最大值和最小值問題，將最值問題轉為二次函數(shù)的零點問題是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】拋物線的準線為，與圓相切，則，．14、7【解題分析】由題意得，則715、36【解題分析】

由題意結合排列組合公式整理計算即可求得最終結果.【題目詳解】每個項目至少有一人參加，則需要有一個項目2人參加，其余的兩個項目每個項目一人參加，結合排列組合公式可知，滿足題意的安排方法共有：種.【題目點撥】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．16、【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，求出其展開式，可得為其展開式中含項的系數(shù)，由二項式定理求出項，分析可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，，其展開式的通項為，又由，則為其展開式中含項的系數(shù)，令可得：；即；故答案為：．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，注意二項式定理的形式，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)；(3).【解題分析】

寫出二項式的通項公式.(1)根據(jù)二項式的通項公式可以求出此問；(2)根據(jù)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和公式可以直接求出此問題；(3)設出系數(shù)絕對值最大的項為第（r+1）項,根據(jù)二項式的通項公式,列出不等式組,解這個不等式組即可求出此問題.【題目詳解】二項式的通項公式為：.(1)第3項的二項式系數(shù)為,第三項的系數(shù)為；(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和；(3)設系數(shù)絕對值最大的項為第（r+1）項,則,又,所以r=2.∴系數(shù)絕對值最大的項為．【題目點撥】本題考查了二項式通項公式的應用,考查了奇數(shù)項的二項式系數(shù)和公式,考查了數(shù)學運算能力.18、（Ⅰ）66人；（Ⅱ）能.【解題分析】

（I）利用所給數(shù)據(jù)，求出線性回歸方程，令即可得出答案。（Ⅱ）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算出觀測值，與臨界值比較即可。【題目詳解】（I）利用所給數(shù)據(jù)，計算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝×（120+105+100+90+85）＝100；==＝100﹣（﹣8.5）×3＝125.5；∴與之間的回歸直線方程；當時，，即預測該路口7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員有66人；（II）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算，由此能判斷有97.5%的把握認為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關．【題目點撥】本題考查線性回歸方程與獨立性檢驗，考查學生的理解計算能力，屬于簡單題。19、(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解題分析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調性可得函數(shù)的極值；（2），為函數(shù)零點，可得，要證，只需證，，令，在上是增函數(shù)，∴，∴，從而可得結論.詳解：（1）函數(shù)的定義域為..當時，，在上是減函數(shù)，所以在上無極值；當時，若，，在上是減函數(shù).當，，在上是增函數(shù)，故當時，在上的極小值為.（2）證明：當時，，可證明由（1）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，是極值點，又，為函數(shù)零點，所以，要證，只需證.∵，又∵，∴，令，則，∴在上是增函數(shù)，∴，∴，∴，即得證.點睛：本題是以導數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數(shù)的幾何意義；第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內容和傳統(tǒng)內容中有關不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調性有機結合，設計綜合題.20、當矩形溫室的左側邊長為40m，后側邊長為20m時，花卉種植面積達到最大，最大面積為648m【解題分析】解：設溫室的邊長分別為：x，y則：xy=800………………（1分）