2024屆廣東省佛山市莘村中學高二數學第二學期期末質量檢測試題含解析

2024屆廣東省佛山市莘村中學高二數學第二學期期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布，從中隨機取一件.其長度誤差落在區(qū)間內的概率為（）(附:若隨機變量服從正態(tài)分布N，則，)A． B． C． D．2．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3043．已知在上的可導函數的導函數為，滿足，且為偶函數，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．已知函數，則曲線在處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．5．拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于、兩點，點為軸正半軸上任意一點，則（）A． B． C． D．6．已知點與拋物線的焦點的距離是，則的值是（）A． B． C． D．7．在建立兩個變量與的回歸模型時，分別選擇了4個不同的模型，這四個模型的相關系數分別為0.25、0.50、0.98、0.80，則其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型48．已知點和，若某直線上存在點P，使得，則稱該直線為“橢型直線”，現有下列直線：①；②；③；④．其中是“橢型直線”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④9．函數的圖象大致是A． B． C． D．10．在復平面內，復數的對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．德國數學家狄利克在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數，”這個定義較清楚地說明了函數的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應就行了，不管這個對應的法則是公式、圖象，表格述是其它形式已知函數f（x）由右表給出，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．312．下列表格可以作為ξ的分布列的是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的不同正約數共有______個．14．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(X>2)＝____________.15．設函數，若對任意的實數都成立，則的最小值為__________．16．已知f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上周期為2的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）＝2x﹣1，則f（log23）＝_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，且在第一象限內，直線與軸相交于點，若以為直徑的圓經過點，證明：點在直線上.18．（12分）已知函數.（1）若是的一個極值點，判斷的單調性；（2）若有兩個極值點，，且，證明：.19．（12分）已知點為拋物線上異于原點的任意一點，為拋物線的焦點，連接并延長交拋物線于點，點關于軸的對稱點為.（1）證明：直線恒過定點；（2）如果，求實數的取值范圍.20．（12分）最新研究發(fā)現，花太多時間玩手機游戲的兒童，患多動癥的風險會加倍．青少年的大腦會很快習慣閃爍的屏幕、變幻莫測的手機游戲，一旦如此，他們在教室等視覺刺激較少的地方，就很難集中注意力．研究人員對110名年齡在7歲到8歲的兒童隨機調查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們在1個月里玩手機游戲的習慣．同時，教師記下這些孩子出現的注意力不集中問題．統(tǒng)計得到下列數據：注意力不集中注意力集中總計不玩手機游戲204060玩手機游戲302050總計5060110（1）試估計7歲到8歲不玩手機游戲的兒童中注意力集中的概率；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為玩手機游戲與注意力集中有關系？附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8405.0246.6357.87910.828．21．（12分）某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當中（）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受影響，恒為分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：（1）當在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？（2）求該地上班族的人均通勤時間的表達式；討論的單調性，并說明其實際意義．22．（10分）已知函數，.（1）解關于的不等式；（2）若函數在區(qū)間上的最大值與最小值之差為5，求實數的值；（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用原則，分別求出的值，再利用對稱性求出.【題目詳解】正態(tài)分布中，，所以，，所以，故選B.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布知識，考查利用正態(tài)分布曲線的對稱性求隨機變量在給定區(qū)間的概率.2、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個二項式的乘積的形式，利用兩個二項式的通項公式，就可以求出的會下，最后可以計算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設的通項公式為：，則常數項、的系數、的系數分別為：；設的通項公式為：，則常數項、的系數、的系數分別為：，，所以，故本題選A.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，正確求出通項公式是解題的關鍵.3、A【解題分析】

分析：構造新函數，利用已知不等式確定的單調性，詳解：設，則，由已知得，∴是減函數．∵是偶函數，∴的圖象關于直線對稱，∴，，的解集為，即的解集為．故選A．點睛：本題考查用導數研究函數的單調性，解題關鍵是是構造新函數，對于含有的已知不等式，一般要構造新函數如，，，等等，從而能利用已知條件確定的單調性，再解出題中不等式的解集．4、B【解題分析】

求得的導數，可得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得所求傾斜角．【題目詳解】函數的導數為，可得在處的切線的斜率為，即，為傾斜角，可得．故選：B．【題目點撥】本題主要考查了導數的幾何意義，函數在某點處的導數即為曲線在該點處的切線的斜率，是解題的關鍵，屬于容易題．5、B【解題分析】

分析：設，則，由利用韋達定理求解即可.詳解：設，的焦點，設過點的直線為，，，，，故選B.點睛：本題主要考查平面向量數量積公式、平面向量的運算、直線與拋物線的位置關系，意在考查綜合運用所學知識解決問題的能力，考查轉化與劃歸思想以及計算能力，屬于中檔題.6、B【解題分析】

利用拋物線的焦點坐標和兩點間的距離公式，求解即可得出的值.【題目詳解】由題意可得拋物線的焦點為，因為點到拋物線的焦點的距離是5.所以解得.故選:B.【題目點撥】本題主要考查拋物線的標準方程和性質，還結合兩點間距離公式求解.7、C【解題分析】

相關系數的絕對值越靠近1，擬合效果越好，據此得到答案.【題目詳解】四個模型的相關系數分別為0.25、0.50、0.98、0.80相關系數的絕對值越靠近1，擬合效果越好故答案選C【題目點撥】本題考查了相關系數，相關系數的絕對值越靠近1，擬合效果越好.8、C【解題分析】

先確定動點的軌跡為橢圓，再考慮各選項中的直線與橢圓是否有公共點后可得正確的選項.【題目詳解】由橢圓的定義知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其方程為．對于①，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線”；對于②，把代入，整理得，所以是“橢型直線”；對于③，把代入，整理得，由，知是“橢型直線”；對于④，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線”．故②③是“橢型直線”．故：C．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的位置關系，此類問題一般聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去一個變量后通過方程的解的個數來判斷位置關系，本題屬于基礎題.9、D【解題分析】

利用函數的奇偶性、特殊值判斷函數圖象形狀與位置即可．【題目詳解】函數y=是奇函數，所以選項A，B不正確；當x=10時，y=＞0，圖象的對應點在第一象限，D正確；C錯誤．故選D．【題目點撥】本題考查函數的圖象的判斷，一般利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、對稱性、特殊值等方法判斷．10、D【解題分析】

化簡復數，再判斷對應象限.【題目詳解】，對應點位于第四象限.故答案選D【題目點撥】本題考查了復數的計算，屬于簡單題.11、D【解題分析】

采用逐層求解的方式即可得到結果.【題目詳解】∵，∴，則，∴，又∵，∴，故選D．【題目點撥】本題主要考查函數的基礎知識，強調一一對應性，屬于基礎題．12、C【解題分析】

根據分布列的性質以及各概率之和等于1，能求出正確結果．【題目詳解】根據分布列的性質以及各概率之和等于1，在中，各概率之和為，故錯誤；在中，，故錯誤；在中，滿足分布列的性質以及各概率之和等于1，故正確；在中，，故錯誤．故選：．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的分布列的判斷，考查分布列的性質以及各概率之和等于1等基礎知識，考查運用求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將進行質因數分解為，然后利用約數和定理可得出的不同正約數個數.【題目詳解】將進行質因數分解為，因此，的不同正約數共有.故答案為：.【題目點撥】本題考查合數的正約數個數的計算，一般將合數質因數分解，并利用約數和定理進行計算，也可以采用列舉法，考查計算能力，屬于中等題.14、0.1【解題分析】隨機變量服從正態(tài)分布，且，故答案為.15、【解題分析】

根據題意取最大值，根據余弦函數取最大值條件解得的表達式，進而確定其最小值.【題目詳解】因為對任意的實數x都成立，所以取最大值，所以，因為，所以當時，取最小值為.【題目點撥】函數的性質（1）.（2）周期（3）由求對稱軸，最大值對應自變量滿足，最小值對應自變量滿足，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.16、【解題分析】

利用周期及奇偶性可將f（log23）化為，而，則答案可求．【題目詳解】∵f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上周期為2的偶函數，∴f（log23）＝f（﹣log23）＝f（﹣log23+2），∵，且當x∈[0，1]時，f（x）＝2x﹣1，∴．故答案為：．【題目點撥】本題考查函數的奇偶性及周期性的應用，考查指數及對數的運算，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）設，由，得，且，得，，，∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當時，，即點，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經過點，∴，∴，化簡得，又∵為橢圓上一點，且在第一象限內，∴，，，由①②，解得，，∴，即點在直線上．18、（1）在單調遞減，在單調遞增.（2）見解析【解題分析】

（1）求出導函數，由極值點求出參數，確定的正負得的單調性；（2）求出，得極值點滿足：所以，由（1）即，不妨設.要證，則只要證，而，因此由的單調性，只要能證，即即可．令，利用導數的知識可證得結論成立．【題目詳解】（1）由已知得.因為是的一個極值點，所以，即，所以，令，則，令，得，令，得；所以在單調遞減，在單調遞增，又當時，，，所以當時，，當時，；即在單調遞減，在單調遞增.（2），因此極值點滿足：所以由（1）即，不妨設.要證，則只要證，而，因此由的單調性，只要能證，即即可．令，則，當時，，，，所以，即在單調遞增，又，所以，所以，即，又，，在單調遞增，所以，即.【題目點撥】本題考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性、極值、最值等問題，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想、有限與無限思想，體現綜合性、應用性與創(chuàng)新性，導向對發(fā)展數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養(yǎng)的關注.19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）設，計算得到，直線的方程為，得到答案.（2）計算，設，討論，，三種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】（1）設，因為，所以，由三點共線得，化簡得，即，由此可得，所以直線的方程為，即，因此直線恒過定點.（2），，令，如果，則；如果，則，當時，，時等號成立，從而，即；當時，函數在上單調遞減，當時，，故，故，所以，故.綜上，實數的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了拋物線中直線過定點問題，求參數范圍，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1）（2）在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為玩手機游戲與注意力集中有關系．【解題分析】

（1）利用頻率表示概率即得解；（2）根據題目所給的數據計算的值，對照表格中的數據，可得出結論.【題目詳解】（1）根據題設數據，可得7歲到8歲不玩手機游戲的兒童中注意力集中的概率為．（2）根據表格中的數據，．可見，，所以在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為玩手機游戲與注意力集中有關系．【題目點撥】本題考查了頻