江蘇省南通市如皋中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末質量檢測試題含解析

江蘇省南通市如皋中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)字組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，則5和6在兩端，1和2相鄰的六位數(shù)的個數(shù)是A．24 B．32 C．36 D．482．若隨機變量服從正態(tài)分布在區(qū)間上的取值概率是0.2，則在區(qū)間上的取值概率約是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.83．已知隨機變量X的分布列：02若，，則（）A． B． C． D．4．將兩顆骰子各擲一次，設事件A為“兩顆骰子向上點數(shù)不同”，事件B為“至少有一顆骰上點數(shù)為3點”則（）A． B． C． D．5．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為，則

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A．， B．， C．， D．，6．已知三棱錐的四個頂點在空間直角坐標系中的坐標分別為，，，，畫該三棱錐的三視圖的俯視圖時，以平面為投影面，得到的俯視圖可以為（）A． B． C． D．7．如圖所示，在一個邊長為2.的正方形AOBC內(nèi)，曲和曲線圍成一個葉形圖陰影部分，向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的，則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是（）A． B． C． D．8．已知隨機變量，，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.689．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y=3.4x+a，則實數(shù)ax23456y48111418A．2.6 B．-2.6 C．-2.8 D．-3.410．已知等差數(shù)列的前項和為，，且，則（）A．6 B．7 C．8 D．911．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A．2 B．1 C．?1 D．?212．已知為等腰三角形，滿足，，若為底上的動點，則A．有最大值 B．是定值 C．有最小值 D．是定值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．球的半徑為8，經(jīng)過球面上一點作一個平面，使它與經(jīng)過這點的半徑成45°角，則這個平面截球的截面面積為_________________.14．已知隨機變量，且，則__________．15．某小組共8人，若生物等級考成績?nèi)缦拢?人70分、2人67分、3人64分、1人61分，則該小組生物等級考成績的中位數(shù)為______.16．歐拉在1748年給出的著名公式(歐拉公式)是數(shù)學中最卓越的公式之一，其中,底數(shù)＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式，任何一個復數(shù)，都可以表示成的形式，我們把這種形式叫做復數(shù)的指數(shù)形式，若復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第________象限．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，且，，，、分別是、的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小.18．（12分）在棱長為的正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.19．（12分）如圖，在平行四邊形中，，將沿對角線折起，折后的點變?yōu)?，且?Ⅰ)求證：平面平面；(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值；（Ⅲ）E為線段上的一個動點，當線段的長為多少時，與平面所成的角正弦值為？20．（12分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的對稱中心和單調遞增區(qū)間．21．（12分）某企業(yè)響應省政府號召，對現(xiàn)有設備進行改造，為了分析設備改造前后的效果，現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質量指標值，若該項質量指標值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.如圖是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表是設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.表：設備改造后樣本的頻數(shù)分布表質量指標值頻數(shù)（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與設備改造有關；設備改造前設備改造后合計合格品不合格品合計（2）根據(jù)頻率分布直方圖和表提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較；（3）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對合格品進行登記細分，質量指標值落在內(nèi)的定為一等品，每件售價元；質量指標值落在或內(nèi)的定為二等品，每件售價元；其它的合格品定為三等品，每件售價元.根據(jù)表的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品，設其支付的費用為（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望.附：22．（10分）已知關于的不等式.（1）當時，解不等式；（2）如果不等式的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排，然后再分析剩余元素的排列.【題目詳解】先排，方法有：種；將捆綁在一起，方法有：種；將這個整體和以及全排列，方法有：種，所以六位數(shù)的個數(shù)為：個，故選：A.【題目點撥】本題考查排列組合的簡單應用，難度一般.在排列組合的過程中，一般我們要注意：特殊元素優(yōu)先排，相鄰元素捆綁排這樣一個原則.2、A【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，在區(qū)間上的取值概率是0.2，可得在區(qū)間上的取值概率是0.6，從而可得在區(qū)間上的取值概率?！绢}目詳解】解：據(jù)題設分析知，因為隨機變量服從正態(tài)分布且，根據(jù)對稱性可得，所求概率，故選A.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的應用，解題的關鍵是熟知正態(tài)曲線是關于對稱，在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1等正態(tài)密度曲線圖象的特征.3、B【解題分析】

由，可得，由隨機變量分布列的期望、方差公式，聯(lián)立即得解.【題目詳解】由題意，且，又聯(lián)立可得：故選：B【題目點撥】本題考查了隨機變量分布列的期望和方差，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.4、D【解題分析】

用組合數(shù)公式計算事件A和事件AB包含的基本事件個數(shù)，代入條件概率公式計算．【題目詳解】解：兩顆骰子各擲一次包含的基本事件的個數(shù)是1．事件A包含的基本事件個數(shù)有，則．事件AB包含的基本事件個數(shù)為10，則．所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為：，故選：D．【題目點撥】本題考查條件概率，屬于基礎題．5、B【解題分析】

試題分析：由表格數(shù)據(jù)的變化情況可知回歸直線斜率為負數(shù)，中心點為，代入回歸方程可知考點：回歸方程6、C【解題分析】點在的投影為，點在的投影為，在的投影為，在的投影為，連接四點，注意實線和虛線，得出俯視圖，選C7、C【解題分析】

欲求所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率，須結合定積分計算葉形圖（陰影部分）平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率計算公式求解．【題目詳解】聯(lián)立得.由圖可知基本事件空間所對應的幾何度量，滿足所投的點落在葉形圖內(nèi)部所對應的幾何度量：（A）．所以（A）．故選：．【題目點撥】本題綜合考查了幾何概型及定積分在求面積中的應用，考查定積分的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8、D【解題分析】

先由對稱性求出，再利用即得解.【題目詳解】由于隨機變量，關于對稱，故故選：D【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，考查了學生概念理解，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

根據(jù)最小二乘法：a=y-b【題目詳解】由題意得：x=2+3+4+5+6∴a=11-3.4×4=-2.6本題正確選項：B【題目點撥】本題考查利用最小二乘法求解回歸直線問題，關鍵在于明確回歸直線必過x,y，因此代入點x,10、D【解題分析】分析：設等差數(shù)列的公差為d，由且，可得，，解出即可得出.詳解：設等差數(shù)列的公差為d，由且，，，解得，則.故選：D.點睛：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．11、D【解題分析】

本題考察的是對投影的理解，一個向量在另一個向量上的投影即一個投影在另一個投影方向上的長度．【題目詳解】在上的投影方向相反，長度為2，所以答案是.【題目點撥】本題可以通過作圖來得出答案．12、D【解題分析】

設是等腰三角形的高.將轉化為，將轉化為，代入數(shù)量積公式后，化簡后可得出正確選項.【題目詳解】設是等腰三角形的高，長度為.故.所以選D.【題目點撥】本小題主要考查向量的線性運算，考查向量的數(shù)量積運算，還考查了化歸與轉化的數(shù)學思想方法.屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先求出截面圓的半徑，再算截面面積?！绢}目詳解】截面圓半徑為，截面面積為。【題目點撥】先求出截面圓的半徑，再算截面面積。14、128【解題分析】分析：根據(jù)二項分布的期望公式，求得，再根據(jù)方差公式求得，再根據(jù)相應的方差公式求得結果.詳解：隨機變量，且，所以，且，解得，所以，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關二項分布的期望和方差的問題，在解題的過程中，注意對二項分布的期望和方差的公式要熟記，正確求解p的值是解題的關鍵.15、65.5【解題分析】

把8人的生物等級考成績從小到大排列,最后按照中位數(shù)的定義可以計算出該小組生物等級考成績的中位數(shù).【題目詳解】8人的生物等級考成績從小到大排列如下：,所以該小組生物等級考成績的中位數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查了中位數(shù)的計算方法,考查了數(shù)學運算能力.16、四【解題分析】

由歐拉公式求出，再由復數(shù)的乘除運算計算出，由此求出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在幾象限．【題目詳解】因為，所以，所以，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限．【題目點撥】本題考查復數(shù)的基本計算以及復數(shù)的幾何意義，屬于簡單題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明過程詳見解析；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）已知SB、AB、BC兩兩互相垂直，故可建立空間直角坐標系如下圖．根據(jù)線段長度可求出相應點的坐標，從而可推出，則，所以平面平面BCD．（Ⅱ）求出兩個平面的法向量，利用法向量夾角與二面角平面角的關系求出平面角的大?。绢}目詳解】（Ⅰ）．又因，所以建立如上圖所示的坐標系．所以A（2，0，0），，，D（1，0，1），，S（0，0，2）易得，，，又，又又因，所以平面平面BCD．（Ⅱ）又設平面BDE的法向量為，則,即所以又因平面SBD的法向量為所以由圖可得二面角為銳角，所以二面角的平面角的大小為．考點：?平面與平面的垂直的證明?二面角大小的求法．18、（1）（2）λ＝2【解題分析】分析：以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點的坐標，

（1）求出異面直線與1的方向向量用數(shù)量積公式兩線夾角的余弦值（或補角的余弦值）

（2）求出兩個平面的法向量，由于兩個平面垂直，故它們的法向量的內(nèi)積為0，由此方程求參數(shù)的值即可．詳解：(1)以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系．則A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為.（2）設平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).………8分由D1E＝λEO，則E，=.10分又設平面CDE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).12分因為平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得．點睛：本題查了異面直線所成的角以及兩個平面垂直的問題，本題采用向量法來研究線線，面面的問題，這是空間向量的一個重要運用，大大降低了求解立體幾何問題的難度．19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

（Ⅰ）由已知條件得知，再利用勾股定理證明，結合直線與平面垂直的判定定理證明平面，最后利用平面與平面的判定定理可證明出結論；（Ⅱ）以點為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量法計算異面直線和所成角的余弦值；（Ⅲ）設，將向量的坐標用實數(shù)表示，求出平面的一個法向量，由題中條件得求出的值，于此可求出的長度．【題目詳解】（Ⅰ）在中，.四邊形是平行四邊形，又，又平面又平面，平面平面；（Ⅱ）如圖，過作的垂線，以點為原點建立空間直角坐標系,則,從而,異面直線與所成角的余弦值等于.；（Ⅲ）.設則取平面的一個法向量為，記與平面所成的角為，則，，解得，即【題目點撥】本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線所成的角以及直線與平面所成角的探索性問題，在求解空間角時，一般利用空間向量來進行求解，解題時注意將空間角轉化為相應向量的夾角來計算，屬于中等題．20、(1).(2)，；，.【解題分析】分析：（1）分別利用兩角和的正弦、余弦公式及二倍角正弦公式化簡函數(shù)式，然后利用用公式求周期即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質，求出函數(shù)f（x）的對稱中心與單調增區(qū)間．詳解：（1）∵．∴．（2）令得：，所以對稱中心為：，令解得單調遞增區(qū)間為：，.點睛：函數(shù)的性質(1).(2)周期(3)由求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.21、(1)列聯(lián)表見解析；有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與設備改造有關．(2)設備改造后性能更優(yōu)．(3)分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）根據(jù)設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表完成列聯(lián)表，求出，與臨界值比較即可得結果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，可得到設備改造前產(chǎn)品為合格品的概率和設備改造后產(chǎn)品為合格品的概率，從而可得結果；（3）隨機變量的取值為：，利用古典概型概率公式，根據(jù)獨立重復試驗概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數(shù)學期望.詳解：（1）根據(jù)設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表．完成下面的列聯(lián)表：設備改造前設備改造后合計合格品不合格品合計將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得：∵，∴有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與設備改造有關．（2）根據(jù)設備改造前的樣本的頻率分布直方圖和設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表．可知，設備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為設備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為設備改造后產(chǎn)品合格率更高，