2024屆湖南省常寧一中數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆湖南省常寧一中數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．內(nèi)接于半徑為的半圓且周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為（）．A．和 B．和 C．和 D．和2．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對(duì)角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有（）A． B． C． D．3．如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，是的極大值點(diǎn)B．，是的極小值點(diǎn)C．，不是的極值點(diǎn)D．，是是的極值點(diǎn)4．小明同學(xué)喜歡籃球，假設(shè)他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A． B． C． D．5．已知，則A． B． C． D．6．甲射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率為，乙射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率為，則甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，則該目標(biāo)被擊中的概率為（）A． B． C． D．7．已知圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（）A． B． C． D．8．若角的終邊上有一點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．9．周末，某高校一學(xué)生宿舍甲乙丙丁四位同學(xué)正在做四件事情，看書、寫信、聽(tīng)音樂(lè)、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽(tīng)音樂(lè)；③如果甲不在聽(tīng)音樂(lè)，那么丁也不在看書；④丙不在看書，也不寫信.已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，請(qǐng)問(wèn)乙同學(xué)正在做的事情是（）A．玩游戲B．寫信C．聽(tīng)音樂(lè)D．看書10．設(shè)P，Q分別是圓和橢圓上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A． B．C． D．11．已知奇函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且滿足，其中為的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)___．14．已知直線的極坐標(biāo)方程為，為極點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段上的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為_(kāi)______________.15．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中,，且，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè).16．五名畢業(yè)生分配到三個(gè)公司實(shí)習(xí)，每個(gè)公司至少一名畢業(yè)生，甲、乙兩名畢業(yè)生不到同一個(gè)公司實(shí)習(xí)，則不同的分配方案有__種．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)）.（1）寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷它們的位置關(guān)系；（2）將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，設(shè)曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，求的取值范圍.18．（12分）某校為了了解學(xué)生對(duì)電子競(jìng)技的興趣，從該校高二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行檢查，已知這人中有名男生對(duì)電子競(jìng)技有興趣，而對(duì)電子競(jìng)技沒(méi)興趣的學(xué)生人數(shù)與電子競(jìng)技競(jìng)技有興趣的女生人數(shù)一樣多，且女生中有的人對(duì)電子競(jìng)技有興趣.在被抽取的女生中與名高二班的學(xué)生，其中有名女生對(duì)電子產(chǎn)品競(jìng)技有興趣，先從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求其中至少有人對(duì)電子競(jìng)技有興趣的概率；完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“電子競(jìng)技的興趣與性別有關(guān)”.有興趣沒(méi)興趣合計(jì)男生女生合計(jì)參考數(shù)據(jù)：參考公式：19．（12分）已知知x為正實(shí)數(shù)，n為正偶數(shù)，在的展開(kāi)式中，（1）若前3項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值及展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；（2）求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，并比較它們的大小.20．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與相交于兩點(diǎn)，求過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21．（12分）如圖，在中，，D是AE的中點(diǎn)，C是線段BE上的一點(diǎn)，且，，將沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求證：CD平面PAB；（2）求直線PE與平面PCD所成角的正切值．22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；（Ⅱ）若函數(shù)，的零點(diǎn)為x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

作出圖像,設(shè)矩形,圓心為,,再根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系表達(dá)矩形的長(zhǎng)寬,進(jìn)而列出周長(zhǎng)的表達(dá)式,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】如圖所示：設(shè)矩形,,由題意可得矩形的長(zhǎng)為,寬為,故矩形的周長(zhǎng)為,其中,.故矩形的周長(zhǎng)的最大值等于,此時(shí),.即,再由可得,故矩形的長(zhǎng)為,寬為,故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)角度表達(dá)幾何中長(zhǎng)度的關(guān)系再求最值的問(wèn)題,需要根據(jù)題意設(shè)角度,結(jié)合三角函數(shù)與圖形的關(guān)系求出邊長(zhǎng),再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于中檔題.2、B【解題分析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個(gè)有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問(wèn)題，還需考慮和兩種特殊情況.【題目詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個(gè)圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點(diǎn))，，，當(dāng)且時(shí)，與等腰中，為公共邊，，,.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,綜上，。C.D選項(xiàng)比較與的大小關(guān)系，如圖即比較與的大小關(guān)系，根據(jù)特殊值驗(yàn)證：又當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，都不正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角的相關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點(diǎn)是在動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達(dá)到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項(xiàng).3、B【解題分析】

由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【題目詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題通過(guò)圖象考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析圖象不難求解.4、D【解題分析】分析：利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

根據(jù)已知求出，再求.【題目詳解】因?yàn)?，故，從?故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

記事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，該目標(biāo)被擊中，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出事件的對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式可得出事件的概率.【題目詳解】記事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，該目標(biāo)被擊中，則事件甲乙兩人各自射擊同一目標(biāo)一次，兩人都未擊中目標(biāo)，由獨(dú)立事件的概率乘法公式得，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，解題時(shí)要弄清楚各事件之間的關(guān)系，可以采用分類討論，本題采用對(duì)立事件求解，可簡(jiǎn)化分類討論，屬于中等題.7、B【解題分析】

由題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，求出的關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的離心率，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)雙曲線的漸近線方程為．根據(jù)圓的圓心到切線的距離等于半徑1，可得，整理得，即，又由，則，可得即雙曲線的離心率為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．8、A【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出的值.【題目詳解】解：若角的終邊上有一點(diǎn)，則

，

∴.

故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】由①知甲在聽(tīng)音樂(lè)或玩游戲，由②知乙在看書或玩游戲，由④知丙在聽(tīng)音樂(lè)或玩游戲，由③知，丁在看書，則甲在聽(tīng)音樂(lè)，丙在玩游戲，乙在看書，故選D.10、C【解題分析】

求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點(diǎn)間的最大距離.【題目詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設(shè)，則，即，∴當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外任意一點(diǎn)到圓的最大距離是這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之和，根據(jù)圓外點(diǎn)在橢圓上，即可列出橢圓上一點(diǎn)到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大值.11、A【解題分析】

將不等式變形，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)可判斷在時(shí)的取值情況；根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，即可判斷當(dāng)時(shí)的符號(hào)，進(jìn)而得解.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，即；令，則，由題意可知，即在時(shí)單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，由于此時(shí)，則不合題意；當(dāng)時(shí)，，由于此時(shí)，則不合題意；由以上可知時(shí)，而是上的奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以使成立的的取值范圍為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用構(gòu)造函數(shù)法分析函數(shù)單調(diào)性，奇函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于中檔題.12、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【題目詳解】解：令，則，在上單調(diào)遞增，又，，即，即故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2；【解題分析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【題目詳解】因?yàn)?，方?【題目點(diǎn)撥】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.14、【解題分析】

設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線上得出，由，得，得，代入后化簡(jiǎn)看得出答案?！绢}目詳解】設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為.所以,,且.由得，即.故答案為：。【題目點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，考查相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，解本題的關(guān)鍵在于弄清楚主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)兩點(diǎn)之間極徑與極角之間的關(guān)系，并用這種相互關(guān)系進(jìn)行替換，考查推理能力，屬于中等題。15、【解題分析】

根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等正根，即有兩個(gè)不等正根，從而可得；采用換元的方式可知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與和共有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題；通過(guò)確定和的范圍可確定大致圖象，從而通過(guò)與和的交點(diǎn)確定實(shí)根的個(gè)數(shù).【題目詳解】有兩個(gè)極值點(diǎn)有兩個(gè)不等正根即有兩個(gè)不等正根且，令，則方程的判別式方程有兩解，且，由得：，又且根據(jù)可得簡(jiǎn)圖如下：可知與有個(gè)交點(diǎn)，與有個(gè)交點(diǎn)方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為：個(gè)本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查方程解的個(gè)數(shù)的求解問(wèn)題，解決此類問(wèn)題常用的方法是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線與平行于軸直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行求解；本題解題關(guān)鍵是能夠確定極值的大致取值范圍，從而確定函數(shù)的圖象.16、1．【解題分析】

將5人按照1,1,3和2,2,1分組，分別得到總的分組數(shù)，再減去甲乙在同一組的分組數(shù)，然后在對(duì)所得到的的分組情況進(jìn)行全排列，得到答案.【題目詳解】先將五名畢業(yè)生分成3組，按照1,1,3的方式來(lái)分，有，其中甲乙在同一組的情況有，所以甲乙不在同一組的分法有種，按照2,2,1的方式來(lái)分，有，其中甲乙在同一組的情況有，所以甲乙不在同一組的分法有種，所以符合要求的分配方案有種，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合中的分組問(wèn)題，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；；直線和曲線相切.(2).【解題分析】

（I）直線的一般方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)?，所以直線和曲線相切.（II）曲線為.曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線的方程為，則點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，所以的取值范圍為.18、；列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有.【解題分析】

（1）計(jì)算出從名學(xué)生中隨機(jī)抽取人的可能，再計(jì)算出抽到的人中至少有人對(duì)電子競(jìng)技有興趣的可能，利用古典概型公式即得答案；（2）先填寫列聯(lián)表，然后計(jì)算，與比較大小即可得到答案.【題目詳解】從名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，共有種不同的抽取方案；抽到的人中至少有人對(duì)電子競(jìng)技有興趣的方案數(shù)有：種抽取人中至少有人對(duì)電子競(jìng)技有興趣的概率為.設(shè)對(duì)電子競(jìng)技沒(méi)興趣的學(xué)生人數(shù)為，對(duì)電子競(jìng)技沒(méi)興趣的學(xué)生人數(shù)與對(duì)電子競(jìng)技有興趣的女生人數(shù)一樣多由題，解得.又女生中有的人對(duì)電子競(jìng)技有興趣，女生人數(shù)為男生人數(shù)為，其中有人對(duì)電子競(jìng)技沒(méi)興趣得到下面列聯(lián)表沒(méi)用的把握認(rèn)為“對(duì)電子競(jìng)技的興趣與性別有關(guān)”.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型，獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)案例，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，難度不大.19、（1），有理項(xiàng)有三項(xiàng)，分別為：；（2）128,128,相等【解題分析】

（1）首先找出展開(kāi)式的前3項(xiàng)，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可列出等式，求出n，于是求出通項(xiàng)，再得到有理項(xiàng)；（2）分別計(jì)算偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，比較大小即可.【題目詳解】（1）二項(xiàng)展開(kāi)式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為：，而前三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，故，解得或（舍去）；所以，當(dāng)時(shí)，為有理項(xiàng)，又且，所以符合要求；故有理項(xiàng)有三項(xiàng)，分別為：；（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：，故奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和，注意二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和的區(qū)別，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析能力，難度中等.20、（1）曲線的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用消參和極坐標(biāo)公式，化參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程為普通方程；（2）直線和橢圓相交，聯(lián)立求中點(diǎn)即為圓心，弦長(zhǎng)即為直徑，所以過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．試題解析：（1）由消去參數(shù)，得，即曲線的普通方程為，由，得，即，即．即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓是以線段為直徑的圓，令．由，得，所以，所以圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)榘霃?，所以過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．21、（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解題分析】分析：（1）推導(dǎo)出是的斜邊上的中線，從而是的中點(diǎn)，由此能證明平面；（2）三棱錐的體積為，由此能求出結(jié)果．詳解：（1）因?yàn)?，所以，又，，所以，又因?yàn)椋允堑男边吷系闹芯€，所以是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)．所以是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）據(jù)題設(shè)分析知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立如圖所示