廣東省汕頭市潮陽區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省汕頭市潮陽區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A． B． C． D．2．某射擊選手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為A． B．C． D．3．若二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A． B． C．160 D．2404．已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知?jiǎng)t的最小值是()A． B．4 C． D．56．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形9．已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件為一級(jí)品的概率為（）A．75% B．96% C．72% D．78.125%10．將函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖像向左平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，則（）A． B． C． D．11．一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱的160人，具有中級(jí)職稱的320人，具有初級(jí)職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,612．從裝有3個(gè)白球,4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則=________.14．已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_____．15．已知，則_____．16．若的展開式中的第項(xiàng)等于，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=x（1）求不等式f(x)≤10的解集；（2）記f(x)的最小值為m，若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=m，求證：a+18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值.19．（12分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：一個(gè)袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎(jiǎng)勵(lì)元；共兩只球都是綠色，則獎(jiǎng)勵(lì)元；若兩只球顏色不同，則不獎(jiǎng)勵(lì)．（1）求一名顧客在一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得元的概率；（2）記為兩名顧客參與該摸獎(jiǎng)活動(dòng)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)總數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）有3名女生和5名男生，按照下列條件排隊(duì)，求各有多少種不同的排隊(duì)方法？(1)3名女生排在一起；(2)3名女生次序一定，但不一定相鄰；(3)3名女生不站在排頭和排尾，也互不相鄰；(4)每兩名女生之間至少有兩名男生；(5)3名女生中，A，B要相鄰，A，C不相鄰．21．（12分）從某班6名學(xué)生（其中男生4人，女生2人）中任選3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．設(shè)所選3人中女生人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知函數(shù)，，若在處與直線相切．（1）求的值；（2）求在上的極值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.【題目詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=10，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為10÷100=0.1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．2、A【解題分析】

由題意可知，選手射擊屬于獨(dú)立重復(fù)事件，屬于二項(xiàng)分布，按照二項(xiàng)分布求概率即可得到答案.【題目詳解】設(shè)為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則，從而這名射手在10次射擊中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為．選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率，考查二項(xiàng)分布公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

由二項(xiàng)式定義得到二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，由此得到，然后求通項(xiàng)，化簡得到常數(shù)項(xiàng)，即可得到答案.【題目詳解】由已知得到，所以，所以展開式的通項(xiàng)為，令，得到，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)以及特征項(xiàng)的求法，其中熟記二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

求出函數(shù)的解析式，并求出零點(diǎn)、關(guān)于的表達(dá)式，令，知，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即可作出的取值范圍．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，，由，得，，由，得，設(shè)，則，所以，，設(shè)，則，，，即函數(shù)在上是減函數(shù)，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)零點(diǎn)積的取值范圍，對(duì)于這類問題就是要利用函數(shù)的解析式求出函數(shù)零點(diǎn)的表達(dá)式，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來求出其范圍，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，考查分析問題的能力，屬于難題．5、C【解題分析】

由題意結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【題目詳解】由題意可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．6、C【解題分析】

試題分析：令，則，當(dāng)時(shí)，，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，在遞增，即有，則方程無解；當(dāng)時(shí)，成立，由，即，解得且；或解得，即為，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.考點(diǎn)：分段函數(shù)的綜合應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了分段函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，注重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及學(xué)生分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.7、A【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上遞增，而，由此將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，故不等式可化為，，得，解得．故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

由可判斷出四邊形為平行四邊形，由可得出，由此判斷出四邊形的形狀.【題目詳解】，所以，四邊形為平行四邊形，由可得出，因此，平行四邊形為矩形，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用向量關(guān)系判斷四邊形的形狀，判斷時(shí)要將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時(shí)也考查了推理能力，屬于中等題.9、C【解題分析】

不妨設(shè)出產(chǎn)品是100件，求出次品數(shù)，合格品中一級(jí)品數(shù)值，然后求解概率.【題目詳解】解：設(shè)產(chǎn)品有100件，次品數(shù)為：4件，合格品數(shù)是96件，合格品中一級(jí)品率為75%.則一級(jí)品數(shù)為：96×75%＝72，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一級(jí)品的概率為：.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的應(yīng)用，設(shè)出產(chǎn)品數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.10、B【解題分析】

運(yùn)用三角函數(shù)的圖像變換，可得，再由余弦函數(shù)的對(duì)稱性，可得，計(jì)算可得所求值.【題目詳解】函數(shù)圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則可得，再把得到的圖像向左平移個(gè)單位長度，則可得，因?yàn)樗煤瘮?shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，所以，即，解得：，所以：故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的圖像變換以及余弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于一般題.11、D【解題分析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，中級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，初級(jí)職稱抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點(diǎn)：分層抽樣．【方法點(diǎn)睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據(jù)此在已知每層間的個(gè)體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個(gè)時(shí)，就可以求出第三個(gè)．12、C【解題分析】分析：根據(jù)古典概型計(jì)算恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.故答案為:C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】試題分析：把給出的函數(shù)求導(dǎo)，在其導(dǎo)函數(shù)中取x=1，則f′（1）可求．解：由f（x）=x1+3xf′（1），得：f′（x）=1x+3f′（1），所以，f′（1）=1×1+3f′（1），所以，f′（1）=﹣1．故答案為﹣1．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．14、【解題分析】

先求得的零點(diǎn)，由此判斷出方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖像求得的取值范圍.【題目詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，畫出圖像如下圖所示，依題意恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由圖可知，故的取值范圍為．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)圖像以及方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

令分別代入等式的兩邊，得到兩個(gè)方程，再求值.【題目詳解】令得：，令得：，.【題目點(diǎn)撥】賦值法是求解二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的常用方法.16、【解題分析】

先根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得,然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求和,再求極限即可得到答案.【題目詳解】由的展開式的通項(xiàng)公式,得,依題意可得,解得,所以.故答案為:1【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的求和公式,求極限,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）[-2,8];（Ⅱ）見解析.【解題分析】試題分析:（Ⅰ）利用絕對(duì)值的意義，寫出分段函數(shù)，即可求不等式f（x）≤10的解集；（Ⅱ）利用絕對(duì)值不等式，求出m，再利用柯西不等式進(jìn)行證明．試題解析：（Ⅰ）f當(dāng)x≤0時(shí)，由-2x+6≤10，解得-2≤x≤0；當(dāng)0<x≤6時(shí)，因?yàn)?<10，所以0<x≤6；當(dāng)x>6時(shí)，由2x-6≤10，解得6<x≤8綜上可知，不等式fx≤10的解集為（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx的最小值為6，即m=6.（或者x+x-6≥由柯西不等式可得a+b+c1+2+3=a2+因此a+2b+18、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再由及d求得通項(xiàng)公式即可．（2）利用前n項(xiàng)和公式直接求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及項(xiàng)數(shù)的求法，考查了前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．19、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式可求得結(jié)果；（2）分別求出一名顧客摸球中獎(jiǎng)元和不中獎(jiǎng)的概率；確定所有可能的取值為：，，，，，分別計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列；利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求解期望即可.【題目詳解】（1）記一名顧客摸球中獎(jiǎng)元為事件從袋中摸出兩只球共有：種取法；摸出的兩只球均是紅球共有：種取法（2）記一名顧客摸球中獎(jiǎng)元為事件，不中獎(jiǎng)為事件則：，由題意可知，所有可能的取值為：，，，，則；；；；隨機(jī)變量的分布列為：【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率問題求解、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)通過積事件的概率公式求解出每個(gè)隨機(jī)變量的取值所對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列.20、（1）4320（2）6720（3）2880（4）2880（5）5760【解題分析】

(1)根據(jù)題意，用捆綁法分2步分析：①，3名女生看成一個(gè)整體，②，將這個(gè)整體與5名男生全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；(2)根據(jù)題意，先計(jì)算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；(3)根據(jù)題意，分2步分析：①，將5名男生全排列，②，將3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；(4)根據(jù)題意，分2種情況討論：①，兩名女生之間有3名男生，另兩名女生之間有2名男生，②，任意2名女生之間都有2名男生，分別求出每種情況下的排法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案；(5)根據(jù)題意，分2種情況討論：①，A、B、C三人相鄰，則B在中間，A、C在兩邊，②，A、B、C三人不全相鄰，分別求出每種情況下的排法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】(1)根據(jù)題意，分2步分析：①，3名女生看成一個(gè)整體，考慮其順序有A3②，將這個(gè)整體與5名男生全排列，有A6則3名女生排在一起的排法有6×720=4320種；(2)根據(jù)題意，將8人排成一排，有A8由于3名女生次序一定，則有A8(3)根據(jù)題意，分2步分析：①，將5名男生全排列，有A5②，除去兩端，有4個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排3名女生，有A4則3名女生不站在排頭和排尾，也互不相鄰的排法有120×24=2880種；(4)根據(jù)題意，將3名女生排成一排，有A33=6①，兩名女生之間有3名男生，另兩名女生之間有2名男生，將5名男生分成3、2的兩組，分別安排在3名女生之間，有6×C②，任