延安中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

延安中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．2．若1-2x2019=a0+A．2017 B．2018 C．2019 D．20203．若，則m等于()A．9 B．8 C．7 D．64．某教師有相同的語文參考書本，相同的數(shù)學(xué)參考書本，從中取出本贈送給位學(xué)生，每位學(xué)生本，則不同的贈送方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種5．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．72種 B．52種 C．36種 D．24種6．函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．關(guān)于直線x=π12對稱 B．關(guān)于直線C．關(guān)于點(diǎn)π12，0對稱 D．7．已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）A．2019 B．1 C．0 D．-19．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且.已知，則函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.200010．已知定義在上的函數(shù)滿足：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)成立(是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),若，，,則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．11．半徑為2的球的表面積為（）A． B． C． D．12．如圖所示是一個幾何體的三視圖，則其表面積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是月日，張老師把告訴了甲，把告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇:2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲說“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”．請問張老師的生日是_______．14．設(shè)的三邊長分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個結(jié)論可知：四面體的四個面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則__________．15．三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的體積為_____.16．設(shè)集合，，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中求的值；求使不等式成立的的取值范圍.18．（12分）已知拋物線：，點(diǎn)為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，（1）證明，，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；（2）已知當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時，，求此時拋物線的方程；（3）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，其中點(diǎn)滿足，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程；（Ⅱ）當(dāng)時，不等式恒成立，求的最小值.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（包括兩個端點(diǎn)）運(yùn)動．（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.21．（12分）(本小題滿分12分)某校為了解高一期末數(shù)學(xué)考試的情況，從高一的所有學(xué)生數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取份試卷進(jìn)行成績分析，得到數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績在，的學(xué)生人數(shù)為1．頻率/組距頻率/組距0.0120.0160.018分8060507090100x0.024（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅱ）試估計所抽取的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)；（Ⅲ）試根據(jù)樣本估計“該校高一學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績”的概率．22．（10分）已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，，△ABC的面積為，求a的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先用基本不等式求時函數(shù)的值域，然后利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到整個函數(shù)的值域.【題目詳解】當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，,則的值域?yàn)?故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查利用基本不等式求函數(shù)最值問題，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

通過對等式中的x分別賦0，1，求出常數(shù)項和各項系數(shù)和得到要求的值.【題目詳解】令x=0，得a0令x=1，得-1=a所以a0故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有二項展開式中系數(shù)和的有關(guān)運(yùn)算問題，涉及到的知識點(diǎn)有應(yīng)用賦值法求二項式系數(shù)和與常數(shù)項，屬于簡單題目.3、C【解題分析】分析：根據(jù)排列與組合的公式，化簡得出關(guān)于的方程，解方程即可.詳解：，，即，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查排列公式與組合公式的應(yīng)用問題，意在考查對基本公式掌握的熟練程度，解題時應(yīng)熟記排列與組合的公式，屬于簡單題.4、B【解題分析】若本中有本語文和本數(shù)學(xué)參考，則有種方法，若本中有本語文和本參考，則有種方法，若本中有語文和本參考，則有種方法，若本都是數(shù)學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有有，故選B.5、C【解題分析】

當(dāng)丙在第一或第五位置時，有種排法；當(dāng)丙在第二或第四位置時，有種排法；當(dāng)丙在第三或位置時，有種排法；則不同的排法種數(shù)為36種.6、B【解題分析】

求出函數(shù)的解析式，然后判斷對稱中心或?qū)ΨQ軸即可．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數(shù)f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當(dāng)k＝0時，函數(shù)的對稱軸為：x=π故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題7、B【解題分析】分析：當(dāng)x≤2時，檢驗(yàn)滿足f（x）≥1．當(dāng)x＞2時，分類討論a的范圍，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．詳解：由于函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[1，+∞），故當(dāng)x≤2時，滿足f（x）=6﹣x≥1．①若a＞1，f（x）=3+logax在它的定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2時，由f（x）=3+logax≥1，∴l(xiāng)ogax≥1，∴l(xiāng)oga2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）=3+logax在它的定義域上單調(diào)遞減，f（x）=3+logax＜3+loga2＜3，不滿足f（x）的值域是[1，+∞）．綜上可得，1＜a≤2，故答案為：B點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，屬于中檔題．分段函數(shù)的值域是將各段的值域并到一起，分段函數(shù)的定義域是將各段的定義域并到一起，分段函數(shù)的最值，先取每段的最值，再將兩段的最值進(jìn)行比較，最終取兩者較大或者較小的.8、C【解題分析】

根據(jù)題意推導(dǎo)出函數(shù)的對稱性和周期性，可得出該函數(shù)的周期為，于是得出可得出答案．【題目詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的周期為，且，，，，，，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)求值問題，求值要結(jié)合題中的基本性質(zhì)和相應(yīng)的等式進(jìn)行推導(dǎo)出其他性質(zhì)，對于自變量較大的函數(shù)值的求解，需要利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．9、C【解題分析】圖象不經(jīng)過第二象限，，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限的概率為，故選C.10、A【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出當(dāng)x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=xf（x）單調(diào)遞減．由此能求出結(jié)果．【題目詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴關(guān)于軸對稱，∴函數(shù)為奇函數(shù).因?yàn)?，∴?dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.，，，，故選A【題目點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等11、D【解題分析】

根據(jù)球的表面積公式，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以該球的表面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查球的表面積，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可得對應(yīng)的三棱錐，逐個計算其側(cè)面積和底面積可得其表面積.【題目詳解】將三視圖復(fù)原后得到的幾何體即為如圖所示的三棱錐，其中是棱長為4的正方體的頂點(diǎn)，為正方體的底面中心，注意到所以，，，因此該三棱錐的表面積等于.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖，要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，注意復(fù)原前后點(diǎn)、線、面的關(guān)系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3月2日【解題分析】

甲說“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五個日期，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，再排除2個日期，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】甲只知道生日的月份，而給出的每個月都有兩個以上的日期，所以甲說“我不知道”，根據(jù)甲說“我不知道，但你一定也不知道”，而5月、7月中8日6日是唯一的，所以5月、7月不正確，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，而剩余的5個日期中乙能確定生日，說明一定不是7日，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”，可排除2月5日2月9日，現(xiàn)在可以得知張老師生日為3月2日.【題目點(diǎn)撥】本題考查推理能力，考查進(jìn)行簡單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠根據(jù)敘述合理運(yùn)用排除法進(jìn)行求解.14、.【解題分析】

根據(jù)平面和空間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形面積的求法求出三棱錐的體積，進(jìn)而求出內(nèi)切球的半徑為.【題目詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個面的距離都為，所以四棱錐的體積等于以為頂點(diǎn)，四個面為底面的四個小三棱錐的體積之和，則四面體的體積為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了類比推理.類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知一類的數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去.15、【解題分析】

畫出示意圖，根據(jù)“球心與任意小圓面的圓心的連線垂直于小圓圓面、球心與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦”確定外接球的球心所在位置，最后計算出體積.【題目詳解】如圖所示：為等腰直角三角形，所以的外接圓圓心即為中點(diǎn)，過作一條直線，平面，則圓心在直線上，過的中點(diǎn)作，垂足為，此時可知：，故即為球心，所以球的半徑，所以球的體積為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查外接球的體積計算,難度一般.求解外接球、內(nèi)切球的有關(guān)問題，第一步先確定球心，第二步計算相關(guān)值.其中球心的確定有兩種思路：（1）將幾何體放到正方體或者長方體中直接確定球心；（2）根據(jù)球心與小圓面的圓心、弦中點(diǎn)等的位置關(guān)系確定球心.16、【解題分析】

先求，再求.【題目詳解】,故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算，屬于簡單題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），.（2）【解題分析】

（1）根據(jù)，可化簡為，已知，解出的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，解不等式，求的取值范圍.【題目詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以對定義域內(nèi)任意的恒成立即化簡得故，，解得，.由知由，得解得綜上，滿足題意的的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查了對數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)求參數(shù)取值的問題，屬于基礎(chǔ)題型，當(dāng)對數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)時，經(jīng)常利用，計算求解.18、(1)證明見解析；(2)；(3)存在一點(diǎn)滿足題意.【解題分析】

(1)設(shè),對求導(dǎo),則可求出在,處的切線方程,再聯(lián)立切線方程分析即可.

(2)根據(jù)(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯(lián)立拋物線求弦長列式求解即可.(3)分情況,當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)與兩種情況,求出點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,再利用與垂直進(jìn)行求解分析是否存在即可.【題目詳解】(1)設(shè),對求導(dǎo)有,故在處的切線方程為,即,又,故同理在處的切線方程為,聯(lián)立切線方程有,化簡得,即的縱坐標(biāo)為,因?yàn)椋?,三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列.

(2)同(1)有在處的切線方程為,因?yàn)?所以,即,又切線過,則,同理,故均滿足直線方程,即故直線,聯(lián)立,則,即,解得,故拋物線：.(3)設(shè),由題意得,則中點(diǎn),又直線斜率,故設(shè).又的中點(diǎn)在直線上,且中點(diǎn)也在直線上,代入得.又在拋物線上,則.所以或.即點(diǎn)或(1)當(dāng)時,則,此時點(diǎn)滿足(2)當(dāng)時,對,此時,則.又.,所以,不成立,對,因?yàn)?此時直線平行于軸,又因?yàn)?故直線與直線不垂直,與題設(shè)矛盾,故時,不存在符合題意的點(diǎn).綜上所述,僅存在一點(diǎn)滿足題意.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線的雙切線問題,需要求出在拋物線上的點(diǎn)的切線方程,再根據(jù)拋物線雙切線的性質(zhì)進(jìn)行計算,同時要靈活運(yùn)用拋物線的方程,屬于難題.19、（Ⅰ）即；（Ⅱ）0.【解題分析】

（Ⅰ）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程；（Ⅱ）不等式恒成立，可以轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，得到，再構(gòu)造一個新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，由的單調(diào)性，可以求出的最小值.【題目詳解】（I）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以，得，因?yàn)?，所以，故l的方程為即.（II）不等式恒成立，即恒成立，記，則，當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，則，即，則，記，則，令，得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，則，得的最小值為，所以的最小值為1，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.20、（1）①見解析；②；（2）.【解題分析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直和計算二面角．（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得范圍．【題目詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，則①因?yàn)樗约储谝驗(yàn)樵O(shè)平面的一個法向量為由可得，取，則所以又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€法向量，設(shè)平面與平面所成的