2024屆江西省贛州市厚德外國語學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆江西省贛州市厚德外國語學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．名同學(xué)參加班長和文娛委員的競選，每個職務(wù)只需人，其中甲不能當(dāng)文娛委員，則共有（）種不同結(jié)果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．2．袋中有6個不同紅球、4個不同白球，從袋中任取3個球，則至少有兩個白球的概率是（）．A． B． C． D．3．已知集合，，若，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時，f(x)>1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為()A．2209 B．3029 C．4033 D．22496．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．4033 D．7．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù).正實(shí)數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項(xiàng)是()A． B．C． D．10．設(shè)，則（）A． B． C． D．11．袋中有大小完全相同的2個紅球和2個黑球，不放回地依次摸出兩球，設(shè)“第一次摸得黑球”為事件，“摸得的兩球不同色”為事件，則概率為()A． B． C． D．12．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．28二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四棱柱中，，則與平面所成角的正弦值為__________．14．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為______.15．在直角坐標(biāo)系中，若直線（為參數(shù)）過橢圓（為參數(shù)）的左頂點(diǎn)，則__________．16．已知點(diǎn)，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某小組10名學(xué)生參加的一次數(shù)學(xué)競賽的成績分別為：92、77、75、90、63、84、99、60、79、85，求總體平均數(shù)μ、中位數(shù)m、方差σ2和標(biāo)準(zhǔn)差σ；(列式并計(jì)算，結(jié)果精確到0.1)18．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時,．19．（12分）若函數(shù)，.（1）把化成或的形式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并求的最大值．20．（12分）已知矩形內(nèi)接于圓柱下底面的圓O，是圓柱的母線，若，，異面直線與所成的角為，求此圓柱的體積.21．（12分）甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2、3、4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3，某人用左手從甲袋中取球，用右手從乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出兩球，如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功．某人第一次左手先取兩球，第二次右手再取兩球，記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知函數(shù)為常數(shù)，且)有極大值，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先安排甲以外的一人擔(dān)任文娛委員，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長即可．【題目詳解】先從甲以外的三人中選一人當(dāng)文娛委員，有3種選法，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長，有3種選法，故共有種不同結(jié)果．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，然后利用古典概型的概率的計(jì)算公式可求出所求事件的概率．【題目詳解】事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個白球一個紅球”的概率為，事件“三個都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個球是白球”的概率為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，結(jié)合概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．3、D【解題分析】

由已知可得，則.【題目詳解】由，得或又由，得，則，即故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求得的范圍，利用臨界值可比較出大小關(guān)系.【題目詳解】；；且本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題，關(guān)鍵是能夠通過臨界值來進(jìn)行區(qū)分.5、C【解題分析】

因?yàn)樵擃}為選擇題，可采用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)滿足條件，可設(shè)函數(shù)為，從而求出，再利用題目中所給等式可證明數(shù)列為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列定義求出結(jié)果?！绢}目詳解】根據(jù)題意，可設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列數(shù)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故選C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查選擇題中的特殊法解決問題，對于選擇題則可以找到滿足題意的特殊值或者特殊函數(shù)直接代入進(jìn)行求解。6、C【解題分析】,選C.7、B【解題分析】

分別將兩個不等式解出來即可【題目詳解】由得由得所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【題目點(diǎn)撥】設(shè)命題p對應(yīng)的集合為A，命題q對應(yīng)的集合為B，若AB,則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的必要不充分條件，若A=B，則p是q的充要條件.8、A【解題分析】由題易知：，∴故選A點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。?、A【解題分析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點(diǎn)較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而通過解不等式解答.10、B【解題分析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比較的大小關(guān)系得解.詳解：由題得＜ln1=0,>.所以ab<0..所以，所以.故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查對數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本運(yùn)算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是對數(shù)的運(yùn)算.11、B【解題分析】

根據(jù)題目可知，求出事件A的概率，事件AB同時發(fā)生的概率，利用條件概率公式求得，即可求解出答案．【題目詳解】依題意，，，則條件概率．故答案選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用條件概率的公式計(jì)算事件的概率，解題時要理清思路，注意的求解．12、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意：，故選C.考點(diǎn)：排列組合.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1與面BB1D1D所成角的正弦值．詳解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．設(shè)AB=1，則D（1，1，1），A（1，1，1），B（1，1，1），C（1，1，1），D1（1，1，2），A1（1，1，2），B1（1，1，2），C1（1，1，2）．設(shè)AD1與面BB1D1D所成角的大小為θ，=（﹣1，1，2），設(shè)平面BB1D1D的法向量為=（x，y，z），=（1，1，1），=（1，1，2），則x+y=1，z=1．令x=1，則y=﹣1，所以=（1，﹣1，1），sinθ=|cos＜，＞|=，所以AD1與平面BB1D1D所成角的正弦值為．故答案為.點(diǎn)睛：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系．求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．14、【解題分析】

令，由導(dǎo)函數(shù)得最小值為，且端點(diǎn)處函數(shù)值.再由時，；時，，可得表達(dá)式，問題可得解.【題目詳解】則，由得當(dāng)時，當(dāng)時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.最小值為，又，，且當(dāng)時，即，解得，；當(dāng)時，即由，得，.綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取最小值為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了絕對值函數(shù)，還考查了分類討論思想，屬于難題.15、.【解題分析】分析：直接化參數(shù)方程為普通方程，得到直線和橢圓的普通方程，求出橢圓的左頂點(diǎn)，代入直線的方程，即可求得的值.詳解：由已知可得圓（為參數(shù)）化為普通方程，可得，故左頂點(diǎn)為，直線（為參數(shù)）化為普通方程，可得，又點(diǎn)在直線上，故，解得，故答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程的問題，在解題的過程中，需要將參數(shù)方程化為普通方程，所以就需要掌握參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化-----消參，之后要明確橢圓的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，以及點(diǎn)在直線上的條件，從而求得參數(shù)的值.16、5【解題分析】分析：運(yùn)用向量坐標(biāo)的求法以及向量的模長公式即可.詳解：點(diǎn)，，，.故答案為5.點(diǎn)睛：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，，，【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式求得結(jié)果，根據(jù)中位數(shù)的定義可排列順序后求得.【題目詳解】平均數(shù)名學(xué)生按成績自低到高排列為：則中位數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差【題目點(diǎn)撥】本題考查已知數(shù)據(jù)求解平均數(shù)、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）見證明【解題分析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，可知，即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）設(shè)，，因?yàn)槎魏瘮?shù)，，所以恒成立.則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；又，所以，即，故當(dāng)時，.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力與推理能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．最大值為.【解題分析】

（1）利用輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡為；（2）由計(jì)算出，分別令，可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，再由函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)的最大值.【題目詳解】（1）；（2）∵，∴，令，則在上單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．令，得.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)，函數(shù)有最大值.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵在于將三角函數(shù)解析式利用三角恒等變換思想化簡，并利用正弦或余弦函數(shù)的性質(zhì)求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、【解題分析】

根據(jù)底面圓的內(nèi)接矩形的長和寬求出圓的半徑，再由母線垂直于底面和“異面直線與所成的角為”求出母線長，代入圓柱的體積公式求出值．【題目詳解】解：設(shè)圓柱下底面圓的半徑為，連，由矩形內(nèi)接于圓，可知是圓的直徑，，得，由，可知就是異面直線與所成的角，即，．在直角三角形中，，圓柱的體積．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓柱的體積求法，主要根據(jù)圓內(nèi)接矩形的性質(zhì)、母線垂直于底面圓求出它的底面圓半徑和母線，即關(guān)鍵求出半徑和母線長即可．21、（1）；（1）分布列詳見解析，．【解題分析】試題分析：本題主要考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，在總數(shù)中去掉左右手各取一球，所取顏色相同的情況，即所取顏色均為紅色，均為黑色、均為白色的情況；第二問，先分別求出左右手所取的兩球顏色相同的概率，再利用獨(dú)立事件計(jì)算兩次取球的獲得成功的次數(shù)為0次、1次、1次的概率，列出分布列，利用計(jì)算數(shù)學(xué)期望．試題解析：（1）設(shè)事件為“兩手所取的球不同色”，則依題意，的可能取值為0，1，