浙江寧波市余姚中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

浙江寧波市余姚中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，則△ABC的內(nèi)切圓半徑為.將此結(jié)論類比到空間四面體：設(shè)四面體的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，體積為V，則四面體的內(nèi)切球半徑為r＝（）A． B．C． D．2．同時具有性質(zhì)“①最小正周期是”②圖象關(guān)于對稱；③在上是增函數(shù)的一個函數(shù)可以是（）A． B．C． D．3．某市通過隨機詢問100名不同年級的學(xué)生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列聯(lián)表：做不到能做到高年級4510低年級3015則下列結(jié)論正確的是（）附參照表：0.100.0250.012.7065.0246.635參考公式：，其中A．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過的前提下，“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低無關(guān)”C．有以上的把握認為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”D．有以上的把握認為“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低無關(guān)”4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C．48 D．5．二項式的展開式中的系數(shù)是（）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)的是（）A． B．C． D．7．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A． B． C． D．10．等差數(shù)列中，，為等差數(shù)列的前n項和，則()A．9 B．18 C．27 D．5411．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內(nèi)的一條動直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．12．在某次體檢中，學(xué)號為（）的四位同學(xué)的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學(xué)的體重所有可能的情況有（）A．55種 B．60種 C．65種 D．70種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中2只白球，2只紅球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率是_____________．14．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是_______．15．已知隨機變量ξ的分布列為ξ12345P0.10.20.40.20.1若η=2ξ﹣3，則η的期望為_______16．端午節(jié)小長假期間，張洋與幾位同學(xué)從天津乘到大連去旅游，若當(dāng)天從天津到大連的三列火車正點到達的概率分別為，，，假設(shè)這三列火車之間是否正點到達互不影響，則這三列火車恰好有兩列正點到達的概率是____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱的各棱長均為2，側(cè)面底面，側(cè)棱與底面所成的角為．（Ⅰ）求直線與底面所成的角；（Ⅱ）在線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．18．（12分）新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個月實際銷量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份編號t12345銷量（萬輛）0.50.611.41.7（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量（萬輛）與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；（2）2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程（新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：補貼金額預(yù)期值區(qū)間（萬元）206060302010將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取3人中對補貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬元的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，，②.19．（12分）已知函數(shù)，不等式的解集是.（1）求a的值；（2）若關(guān)于x的不等式的解集非空，求實數(shù)k的取值范圍.20．（12分）已知向量，設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（3）求在上的最大值和最小值21．（12分）如圖，在中，D是邊BC上一點，，，．（1）求DC的長；（2）若，求的面積．22．（10分）（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當(dāng)時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.【題目詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為：，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，屬于中檔題.2、B【解題分析】

利用所給條件逐條驗證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項驗證可得.【題目詳解】把代入A選項可得，符合；把代入B選項可得，符合；把代入C選項可得，不符合，排除C；把代入D選項可得，不符合，排除D；當(dāng)時，，此時為減函數(shù)；當(dāng)時，，此時為增函數(shù)；故選B.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).3、C【解題分析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式求得，參照臨界值表即可得到正確結(jié)論.詳解：由公式可得，參照臨界值表，，以上的把握認為，“學(xué)生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”，故選C.點睛：本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.4、B【解題分析】

由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計算表面積即可.【題目詳解】由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，則該幾何體的表面積為：.故選：B【題目點撥】本題主要考查了三視圖，空間幾何體的表面積計算，考查了學(xué)生的直觀想象能力.5、B【解題分析】

利用二項展開式的通項公式，令的冪指數(shù)等于，即可求出的系數(shù).【題目詳解】由題意，二項式展開式的通項公式為，令，解得，所以的系數(shù)為.故選：B【題目點撥】本題主要考查二項展開式的通項公式，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞減，再判斷其它選項錯誤,得到答案.【題目詳解】A.，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),正確\B.反比例函數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，但在上不單調(diào)，錯誤C.，在定義域內(nèi)先減后增，錯誤D.，雙勾函數(shù)，時先減后增，錯誤故答案選A【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題.7、A【解題分析】

求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．【題目詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)值的運算，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

由方程的解與函數(shù)圖象的交點關(guān)系得：方程有五個不同的實數(shù)根等價于的圖象與的圖象有5個交點，作圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可。利用導(dǎo)數(shù)求過某點的切線方程得：過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，得解．【題目詳解】設(shè)，則的圖象與的圖象關(guān)于原點對稱，方程有五個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)的圖象與的圖象有5個交點，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個交點即可，設(shè)過原點的直線與切于點，，由，則過原點的直線與相切，，又此直線過點，所以，所以，即（e），即過原點的直線與相切的直線方程為，即所求的取值范圍為，故選．【題目點撥】本題主要考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題的關(guān)系應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程。9、D【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)解得【題目詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)故答案選D【題目點撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算，把握函數(shù)里面是一個常數(shù)是解題的關(guān)鍵.10、A【解題分析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a5，再由考查等差數(shù)列的前n項和公式求S2．【題目詳解】在等差數(shù)列{an}中，由a2+a5+a8＝3，得3a5＝3，即a5＝2．∴S2．故選：A．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當(dāng)直線與異面垂直時，所成角的正弦值最大.【題目詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內(nèi)的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內(nèi)直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B【題目點撥】本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.12、D【解題分析】

根據(jù)中等號所取個數(shù)分類討論，利用組合知識求出即可.【題目詳解】解：當(dāng)中全部取等號時，情況有種；當(dāng)中有兩個取等號，一個不取等號時，情況有種；當(dāng)中有一個取等號，兩個不取等號時，情況有種；當(dāng)中都不取等號時，情況有種；共種.故選：D.【題目點撥】本題考查分類討論研究組合問題，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可．【題目詳解】解：由題意，根據(jù)古典概型的概率計算公式得所求概率為，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題．14、-1【解題分析】

由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，化簡得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為．【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的分類，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運算，正確化簡、運算復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的概念求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、3【解題分析】解：Eξ=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2Eη=2Eξ-3=316、【解題分析】設(shè)當(dāng)天從天津到大連的三列火車正點到達的事件分別為A，B，C，則，事件A，B，C相互獨立，∴這三列火車恰好有兩列正點到達的概率：，故答案為：0.398.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示平面的法向量和直線的斜向量，進而利用向量的夾角公式得到線面角的求解．（2）假設(shè)存在點滿足題意，然后利用向量的垂直關(guān)系，得到點的坐標(biāo)．解：（1）作于，∵側(cè)面平面，則,,,,,∴,又底面的法向量設(shè)直線與底面所成的角為，則,∴所以，直線與底面所成的角為．（2）設(shè)在線段上存在點，設(shè)=，,則設(shè)平面的法向量令設(shè)平面的法向量令要使平面平面，則考點：本題主要是考查線面角的求解，以及面面垂直的探索性命題的運用．點評：解決該試題的關(guān)鍵是合理的建立空間直角坐標(biāo)系，正確的表示點的坐標(biāo)，得到平面的法向量和斜向量，進而結(jié)合數(shù)量積的知識來證明垂直和求解角的問題．18、（1）約為2萬輛；（2）見解析【解題分析】

(1)利用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程為，再令得到2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量.(2)先分析得到～，再根據(jù)二項分布求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）易知，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時，，即2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量約為2萬輛.（2）根據(jù)給定的頻數(shù)表可知，任意抽取1名擬購買新能源汽車的消費者，對補貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬元的概率為，由題意可知～，的所有可能取值為0,1,2,3的分布列為：，，0123所以【題目點撥】（1）本題主要考查回歸方程的求法，考查二項分布，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是，（）．正好是二項式的展開式的第項.所以記作～，讀作服從二項分布，其中為參數(shù).19、（1）2；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)絕對值不等式的解法，結(jié)合不等式的解集建立方程關(guān)系進行求解即可．（2）利用解集非空轉(zhuǎn)化為存在使得成立，利用絕對值三角不等式找到的最小值，即可得解．【題目詳解】解：（1）由，得，即，當(dāng)時，，因為不等式的解集是，所以，解得，當(dāng)時，，因為不等式的解集是，所以，該式無解，所以.（2）因為，所以要使存在實數(shù)解，只需，即實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，利用解集非空轉(zhuǎn)化為有解問題是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）；（3）最大值為1，最小值為【解題分析】

（1）先根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式得，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期，（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性得，解得結(jié)果，（3）先根據(jù)自變量范圍得，再根據(jù)得最值.【題目詳解】解：（1）由題意得【題目點撥】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式再借