專題10余弦定理（4種題型）（原卷版）

專題10余弦定理（4種題型）思維導(dǎo)圖核心考點聚焦題型一：已知兩邊及夾角解三角形．題型二：已知兩邊及一邊對角解三角形題型三：已知三邊解三角形題型四：判斷三角形形狀正弦定理刻畫了三角形中邊與角的正弦之間的關(guān)系.那么，三角形中邊與角的余弦之間存在什么關(guān)系呢？如圖，，，由兩點間的距離公式，得兩邊平方，得即.同理可得，，.這樣，我們就得到了余弦定理：在中，設(shè)角、及所對邊的邊長分別為、及，則有，，.余弦定理也可以表示成如下形式：，，.將余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理.因此，勾股定理可視為余弦定理的特例.正弦定理和余弦定理都定量刻畫了三角形的邊角關(guān)系，是求解三角形的基本工具.題型一：已知兩邊及夾角解三角形．【例1】在△ABC中，已知a＝2eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，C＝15°，解此三角形?！咀兪健吭谥校阎?，，.求、及.題型二：已知兩邊及一邊對角解三角形．【例2】在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求A、C和a?！咀兪健吭谥?，已知，，.求、及.題型三：已知三邊解三角形【例3】在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C.【變式1】已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC；【變式2】在中，已知，，.求角的余弦值和的面積.題型四：判斷三角形形狀【例4】（1）在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判斷△ABC的形狀；（2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判斷△ABC的形狀；（3）在△ABC中，若gsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，判斷△ABC的形狀；【變式1】.在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c.若，A＝60°，求△ABC面積的最大值；并指出面積取最大時是什么三角形？【變式2】.已知方程的兩根之積等于兩根之和，且a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判定這個三角形的形狀.【變式3】在中，已知，且.求證：為等邊三角形.一、填空題1、已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.2、已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，則A＝________.3、在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，則a＝________.4、在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，則b＝________.5、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC的大小為6、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝7、若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為8、△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c若B＝60°，c＝2，b＝2eq\r(3)，則a＝________.9、已知是三邊長，若滿足，則10、在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，則c的值為11、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，則角A等于12、銳角△ABC中，b＝1，c＝2，則a的取值范圍是二、選擇題13、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若A＝eq\f(π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，則c等于()A．1B．2C.eq\r(3)－1 D．eq\r(3)14、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，則c等于()A．4B．eq\r(15)C．3 D．eq\r(17)15、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq\r(2)ac，則角B的大小是()A．45°B．60°C．90°D．135°16、在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝eq\f(13,14)，則最大角的余弦值是()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(1,6)C．－eq\f(1,7) D．－eq\f(1,8)三、解答題17、在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C；18、在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷△ABC的形狀；19、已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC各角的度數(shù)．20.在中，已知，，且三角形面積.求.21.在△ABC中，角A、B、C所對邊分別為a、b、c.已知.（1）求證：；（2）求角B的取值范