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專題10余弦定理(4種題型)思維導(dǎo)圖核心考點聚焦題型一:已知兩邊及夾角解三角形.題型二:已知兩邊及一邊對角解三角形題型三:已知三邊解三角形題型四:判斷三角形形狀正弦定理刻畫了三角形中邊與角的正弦之間的關(guān)系.那么,三角形中邊與角的余弦之間存在什么關(guān)系呢?如圖,,,由兩點間的距離公式,得兩邊平方,得即.同理可得,,.這樣,我們就得到了余弦定理:在中,設(shè)角、及所對邊的邊長分別為、及,則有,,.余弦定理也可以表示成如下形式:,,.將余弦定理用于直角三角形,立即可得勾股定理.因此,勾股定理可視為余弦定理的特例.正弦定理和余弦定理都定量刻畫了三角形的邊角關(guān)系,是求解三角形的基本工具.題型一:已知兩邊及夾角解三角形.【例1】在△ABC中,已知a=2eq\r(2),b=2eq\r(3),C=15°,解此三角形?!咀兪健吭谥校阎?,,.求、及.題型二:已知兩邊及一邊對角解三角形.【例2】在△ABC中,已知b=3,c=3eq\r(3),B=30°,求A、C和a?!咀兪健吭谥?,已知,,.求、及.題型三:已知三邊解三角形【例3】在△ABC中,已知a=2eq\r(6),b=6+2eq\r(3),c=4eq\r(3),求A,B,C.【變式1】已知a=7,b=3,c=5,求△ABC的最大角和sinC;【變式2】在中,已知,,.求角的余弦值和的面積.題型四:判斷三角形形狀【例4】(1)在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判斷△ABC的形狀;(2)在△ABC中,若B=60°,b2=ac,判斷△ABC的形狀;(3)在△ABC中,若gsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,判斷△ABC的形狀;【變式1】.在△ABC中,角A、B、C所對邊分別為a、b、c.若,A=60°,求△ABC面積的最大值;并指出面積取最大時是什么三角形?【變式2】.已知方程的兩根之積等于兩根之和,且a、b為△ABC的兩邊,A、B為兩內(nèi)角,試判定這個三角形的形狀.【變式3】在中,已知,且.求證:為等邊三角形.一、填空題1、已知a,b,c為△ABC的三邊,B=120°,則a2+c2+ac-b2=________.2、已知在△ABC中,a=2,b=4,C=60°,則A=________.3、在△ABC中,若b=1,c=eq\r(3),C=eq\f(2π,3),則a=________.4、在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-eq\f(1,4),則b=________.5、在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC的大小為6、△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,b,c滿足b2=ac,且c=2a,則cosB=7、若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c滿足(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為8、△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c若B=60°,c=2,b=2eq\r(3),則a=________.9、已知是三邊長,若滿足,則10、在△ABC中,已知A=30°,且3a=eq\r(3)b=12,則c的值為11、在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則角A等于12、銳角△ABC中,b=1,c=2,則a的取值范圍是二、選擇題13、在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若A=eq\f(π,3),a=eq\r(3),b=1,則c等于()A.1B.2C.eq\r(3)-1 D.eq\r(3)14、在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=eq\f(1,3),則c等于()A.4B.eq\r(15)C.3 D.eq\r(17)15、在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a2=b2-c2+eq\r(2)ac,則角B的大小是()A.45°B.60°C.90°D.135°16、在△ABC中,若a=8,b=7,cosC=eq\f(13,14),則最大角的余弦值是()A.-eq\f(1,5)B.-eq\f(1,6)C.-eq\f(1,7) D.-eq\f(1,8)三、解答題17、在△ABC中,已知a=2eq\r(6),b=6+2eq\r(3),c=4eq\r(3),求A,B,C;18、在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,試判斷△ABC的形狀;19、已知在△ABC中,a∶b∶c=2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)+1),求△ABC各角的度數(shù).20.在中,已知,,且三角形面積.求.21.在△ABC中,角A、B、C所對邊分別為a、b、c.已知.(1)求證:;(2)求角B的取值范
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