專題十五 平面向量填空題-2022屆天津市各區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題分類匯編

2022屆天津市各區(qū)高三二模數(shù)學(xué)分類匯編專題十五平面向量【2022和平二?！咳鐖D.在平面四邊形中，，___________；若點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則的最小值為___________.【2022南開二?！恳阎叫兴倪呅沃校?，，，則________；若，，則的最大值為________．【2022河西二模】如圖直角梯形中，，，，在等腰直角三角形中，，則向量在向量上的投影向量的模為____________；若，分別為線段，上的動點(diǎn)，且，則的最小值為_______．【2022河北二模】已知菱形ABCD的邊長為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．【2022河?xùn)|二?！吭谥?，點(diǎn)M，N是線段上的兩點(diǎn)，，，則_______________，的取值范圍是______________.【2020紅橋二?！恳阎獮榈冗吶切危?，設(shè)點(diǎn)，滿足，，，若，則（）A. B. C. D.【2022濱海新區(qū)二?！吭?022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形ABCDEF（如圖②）.已知正六邊形的邊長為1，點(diǎn)M滿足，則_________；若點(diǎn)P是線段EC上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值是___________.【2022部分區(qū)二?！吭谥?，，，，，，則_________，若是線段上的一個動點(diǎn)，則的最小值為_____________.【2022耀華中學(xué)二模】如圖，在中，，，，分別為，的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，且.若，則___________；若，，，則___________.【2022天津一中五月考】如圖,菱形ABCD的邊長為3,對角線AC與BD相交于O點(diǎn),||=2,E為BC邊(包含端點(diǎn))上一點(diǎn),則||的取值范圍是_____,的最小值為_____.專題十五平面向量（答案及解析）【2022和平二?！咳鐖D.在平面四邊形中，，___________；若點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則的最小值為___________.

【答案】①.2②.【分析】利用余弦定理可求，設(shè)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可用表示，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最小值.【詳解】連接，因?yàn)?，故，在中，，?所以，所以，所以，故，而，所以為等邊三角形，故且，延長交的延長線于，則設(shè)，則，故，，其中，故當(dāng)時，有最小值.故答案為：.【2022南開二?！恳阎叫兴倪呅沃?，，，，則________；若，，則的最大值為________．【答案】①.②.【分析】由求出，然后由平方后求得，把用表示后求數(shù)量積化為的函數(shù)可得最大值．【詳解】由已知，所以，所以，；因?yàn)?，，所以，，，所以時，取得最大值．故答案為：；．【2022河西二模】如圖直角梯形中，，，，在等腰直角三角形中，，則向量在向量上的投影向量的模為____________；若，分別為線段，上的動點(diǎn)，且，則的最小值為_______．【答案】①.②.##【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解投影向量的模；再設(shè)，，，進(jìn)而根據(jù)題意得，再根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，，所以，向量在向量上的投影向量為，故其模?因?yàn)?，分別為線段，上的動點(diǎn)，所以，設(shè)，，所以，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故答案為：；【2022河北二?！恳阎庑蜛BCD的邊長為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．【答案】【分析】由題意畫出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結(jié)合及基本不等式求得的最小值．【詳解】解：如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），的最小值為．故答案為：．【2022河?xùn)|二?！吭谥校c(diǎn)M，N是線段上的兩點(diǎn)，，，則_______________，的取值范圍是______________.【答案】①.；②..【分析】由題意，先算出的值，再根據(jù)，即可得的值；然后由向量數(shù)量積的定義及，可得，對點(diǎn)利用極端分析，算出，的值，即可得到的取值范圍．【詳解】解：由題意，，，，又，，，，由題意，，則為外接圓的圓心，則.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以①假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，與矛盾，所以②假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，，，，即，，假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，，此時，，綜上，，，，，，即，故答案為：；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)點(diǎn)在線段上，所以分點(diǎn)與三個特殊點(diǎn)、、重合進(jìn)行極端分析，從而求解.【2020紅橋二模】已知為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)，滿足，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】用、表示和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可求出結(jié)果.【詳解】,,,所以，得.故選：C.【2022濱海新區(qū)二?！吭?022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形ABCDEF（如圖②）.已知正六邊形的邊長為1，點(diǎn)M滿足，則_________；若點(diǎn)P是線段EC上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值是___________.

【答案】①.##0.5②.##-0.75【分析】根據(jù)題意，正六邊形各邊長為1，利用向量數(shù)量積即可求解；點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，故設(shè)，將用題目中已知向量表示，利用向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積進(jìn)行求解.【詳解】解：由題可知,,∴,∴.由題可知，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，故設(shè)，又,故，故,又，故當(dāng)時，取最小值為.【2022部分區(qū)二?！吭谥?，，，，，，則_________，若是線段上的一個動點(diǎn)，則的最小值為_____________.【答案】①.②.【分析】由，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和數(shù)量積定義可求得，知為等邊三角形，可得；設(shè)，由向量線性運(yùn)算可將所求數(shù)量積化為，從而將所求數(shù)量積化為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】由，知：為中點(diǎn)，為靠近的三等分點(diǎn)；

，，解得：，；又，為等邊三角形，；設(shè)，，，則當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面幾何中的向量數(shù)量積最值的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用平面向量的線性運(yùn)算將所求向量轉(zhuǎn)化為夾角與模長已知的向量的數(shù)量積，從而將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)最值求法可得結(jié)果.【2022耀華中學(xué)二?！咳鐖D，在中，，，，分別為，的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，且.若，則___________；若，，，則___________.【答案】①.②.【分析】利用平面向量基本定理求解出及，進(jìn)而利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行計算.【詳解】連接DF，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以是△ABC的中位線，所以，則，所以，所以；，故故答案為：，【2022天津一中五月考】如圖,菱形ABCD的邊長為3,對角線AC與BD相交于O點(diǎn),||=2,E為BC邊(包含端點(diǎn))上一點(diǎn),則||的取值范圍是_____,的最小值為_____.【答案】①.②..【分析】時，長度最短，與重合時，長度最長．然后以)以O(shè)為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，把向量數(shù)量積用坐標(biāo)表示后可求得最小值．【詳解】根據(jù)菱形性質(zhì)可得OC,則BO.(1)作AF⊥BC,則AF,此時AE最短,當(dāng)E與C重合時,AE最長,故,即||∈;(2)以