四川省廣元市2021年中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

四川省廣元市2021中考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題.（每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題意的.每小題3分，共30分）

1.計(jì)算卜3|一（一2）的最后結(jié)果是（）

A.1B.-1C.5D.-5

【答案】C

【解析】

【分析】先計(jì)算絕對值，再將減法轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算即可得到最后結(jié)果.

【詳解】解：原式=3+2=5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值化簡和有理數(shù)的加減法運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是牢記絕對值定義與有理數(shù)運(yùn)算

法則，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生對概念的理解與應(yīng)用.

2.下列圖形均表示醫(yī)療或救援的標(biāo)識，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.

醫(yī)療廢物

中國紅十字會

國際急救

O醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)機(jī)構(gòu)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱及中心對稱圖形的定義逐一判斷即可得答案.

【詳解】A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意,

B.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意，

C.是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意，

D.既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對

稱軸折疊后能完全重合；中心對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱中心，圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°后，兩部分能夠

完全重合；熟練掌握定義是解題關(guān)鍵.

3.下列運(yùn)算正確的是()

=a~-B.(a+3)(a—3)=/—9

C.—2(九(+1)=-6iz—1D.(a+Z?)(a—2Z?)=a2—2b2

【答案】B

【解析】

【分析】分別根據(jù)完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算

即可判斷求解.

【詳解】解：A.a2-a+~,原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不合題意;

4

B.(a+3)(a-3)=〃—9,原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

C.-2(3。+1)=-6?！?,原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不合題意；

D.(a+b)(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=cr-ab-2b2,原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不合題意.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，乘法公式等知識，熟知乘法公式和整式的乘法法則是解題關(guān)鍵.

4.一組數(shù)據(jù)：1,2,2,3,若添加一個數(shù)據(jù)3,則不發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量是()

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義和公式求解即可.

【詳解】解：4、原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)是?+2+2+3=2,添加數(shù)字3后平均數(shù)為l+2+2+3+3=所

455

以平均數(shù)發(fā)生了變化，故4不符合題意；

B、原來數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2,添加數(shù)字3后中位數(shù)仍為2,故8與要求相符；

C、原來數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2,添加數(shù)字3后眾數(shù)為2和3,故C與要求不符；

D、原來數(shù)據(jù)的方差=4(1—2)2+(2-2>+(2—2)2+0-2)2]=L,

42

添加數(shù)字3后的方差=￡1(1—111)2,+(2—￡11)2,+(2—511)2,+(3-￡11)2,+(3-?11)2,]=1]4,故方差發(fā)生了變化,

故選項(xiàng)。不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關(guān)概念和公式是解題的關(guān)鍵.

5.下列命題中，真命題是()

A.2九=—

lx

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.順次連接矩形各邊中點(diǎn)的四邊形是正方形

D.已知拋物線了=》2一4%-5,當(dāng)一1<尤<5時，y<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)零次塞、菱形的判定、正方形的判定及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：A、2%-'=-,錯誤，故不符合題意；

X

B、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，錯誤，故不符合題意；

C、順次連接矩形各邊中點(diǎn)的四邊形是菱形，錯誤，故不符合題意；

D、由拋物線'=/一4%-5可得與無軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,0),(5,0),開口向上，然后可得當(dāng)一l<x<5時,

y<0,正確，故符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查零次累、菱形的判定、正方形的判定及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握零次基、

菱形的判定、正方形的判定及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.觀察下列作圖痕跡，所作線段CD為AABC的角平分線的是()

【解析】

【分析】根據(jù)角平分線畫法逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A：所作線段為4B邊上的高，選項(xiàng)錯誤；

以做圖痕跡為A8邊上的中垂線，CD為AB邊上的中線，選項(xiàng)錯誤；

C：CQ為NAC8的角平分線，滿足題意。

D；所作線段為4B邊上的高，選項(xiàng)錯誤

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離的畫法，角平分線的畫法，中垂線的畫法，能夠區(qū)別彼此之間的不同是解

題切入點(diǎn).

7.如圖，從一塊直徑是2的圓形鐵片上剪出一個圓心角為90°的扇形，將剪下來的扇形圍成一個圓錐.那

么這個圓錐的底面圓的半徑是（）

C.D.1

2

【答案】B

【解析】

【分析】先計(jì)算BC的長度，然后圍成的圓錐底面周長等同于8C的長度，根據(jù)公式計(jì)算即可.

【詳解】解：如下圖：

連接8C,A0,

NBAC=90，

...8C是直徑，且BC=2,

又?:AB=AC,

AZABC^ZACB=45°,AO±BC,

nA

又???sin45o=t-,OA=-BC=1,

AB2

nOA2[T

AAB=--------=1x—==V2,

sin45°y/2

***BC的長度為：〃一乂兀義6=立~九，

1802

???圍成的底面圓周長為受萬，

2

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,

則：2萬r=71，

2

V21

r=——7tx——

22萬4

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長的計(jì)算，圓錐底面半徑的計(jì)算，解直角三角形等相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)條件計(jì)算出

扇形的半徑是解題的關(guān)鍵.

8,將二次函數(shù)y=-，+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示.當(dāng)直

線y=x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn)時，b的值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由二次函數(shù)解析式曠=-/+2*+3,可求與x軸的兩個交點(diǎn)A、B,直線y=x+b表示的圖像可

看做是直線y=x的圖像平移力個單位長度得到，再結(jié)合所給函數(shù)圖像可知，當(dāng)平移直線y=x經(jīng)過8點(diǎn)時,

恰與所給圖像有三個交點(diǎn)，故將8點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；當(dāng)平移直線y=x經(jīng)過c點(diǎn)時，恰與所給圖像有

三個交點(diǎn)，即直線y=x+人與函數(shù)、=一？+2》+3關(guān)于X軸對稱的函數(shù)y=——2x—3圖像只有一個交

點(diǎn)，即聯(lián)立解析式得到的方程的判別式等于0,即可求解.

【詳解】解：由y=-%2+2x+3知，當(dāng)y=0時，即

-X2+2x+3=0

解得：%=-1,*2=3

作函數(shù)y=x的圖像并平移至過點(diǎn)8時，恰與所給圖像有三個交點(diǎn)，此時有：

0=3+〃

/.b=—3

平移圖像至過點(diǎn)。時，恰與所給圖像有三個交點(diǎn)，即當(dāng)一1三工工3時，只有一個交點(diǎn)

當(dāng)一1WXW3的函數(shù)圖像由y=—/+2x+3的圖像關(guān)于x軸對稱得到

,當(dāng)一1WxV3時對應(yīng)的解析式為y^x2-2x-3

即匕二21，整理得：X2-3X-3-&=0

3)2-4x1x(-3-b)=21+4h=0

綜上所述匕=-3或-一

4

【點(diǎn)睛】本題主要考察二次函數(shù)翻折變化、交點(diǎn)個數(shù)問題、函數(shù)圖像平移的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方

程的關(guān)系等知識，屬于函數(shù)綜合題，中等難度.解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，從而找到滿足題意的

條件.

9.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，AE是以為直徑的半圓的切線，則圖中陰影部分的面積為

()

BA

CED

3+%5—乃

A.----B.71—2C.1D.----

22

【答案】D

【解析】

【分析】取8C的中點(diǎn)0,設(shè)AE與。。的相切的切點(diǎn)為連接OF、0E、0A,由題意可得08=0C=0A=l,

ZOFA^ZOFE=90°,由切線長定理可得4B=AF=2,CE=CF,然后根據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行求解陰影部分的面積即

可.

【詳解】解：取BC的中點(diǎn)0,設(shè)AE與00的相切的切點(diǎn)為F,連接。尸、0E、0A,如圖所示:

???四邊形A8C。是正方形，且邊長為2,

:.BC=AB=2,^ABC=XBCD=90°,

；AE是以8C為直徑的半圓的切線，

：.OB=OC=OF=\,ZOFA=ZOFE=90a,

：.AB=AF=2,CE=CF,

：04=04,

:.Rt叢ABO4Rt叢AFO(HL),

同理可證會△OFE,

ZAOB=ZAOF,ZCOE=ZFOE,

：.ZAOB+ZCOE=90°=ZAOB+ABAO,

4cOE=4BAO,

；?AABOS^OCE，

,PCCE

??—,

ABOB

CE=L

2

S陰影=S四邊形ABCE一S半圓=+2sqeE一S半圓=2+--y=——；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)定理、切線長定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌

握切線的性質(zhì)定理、切線長定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在AA6c中，ZACB=9Q°,AC=3C=4,點(diǎn)力是8。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個動

點(diǎn)，連接PD,以PO為邊在尸。的下方作等邊三角形P。。，連接CQ.則CQ的最小值是()

.4

A./3

B.1C.V2D.-

22

【答案】B

【解析】

【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,由題意易得PD=QD,進(jìn)而可得

△PCD9XQED,則有NPCD=NQEZ)=90°,然后可得點(diǎn)。是在QE所在直線上運(yùn)動，所以C。的最小值

為CQ_LQE時，最后問題可求解.

【詳解】解：以8為邊作等邊三角形CZ)E,連接E。，如圖所示:

???APOQ是等邊三角形,

NCED=ZPDQ=NCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

?.?/c。。是公共角，

/PDC=/QDE,

：./\PCD^/\QED(SAS),

VZACB=90°.AC=3C=4,點(diǎn)。是6c邊的中點(diǎn)，

：.ZPCD=ZQED=90Q,CD=DE=CE=-BC=2,

2

，點(diǎn)。是在0E所在直線上運(yùn)動，

.?.當(dāng)CQ_LQE時，CQ取的最小值，

ZQEC=90°-ZCED=30°,

CQ=；CE=1；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角

形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應(yīng)題目的橫線上.每小題4分，共24分）

11.的算術(shù)平方根是_____.

【答案】2

【解析】

【詳解】語=4,4的算術(shù)平方根是2,

，y/16的算術(shù)平方根是2.

【點(diǎn)睛】這里需注意：J證的算術(shù)平方根和16的算術(shù)平方根是完全不一樣的；因此求一個式子的平方根、

立方根和算術(shù)平方根時，通常需先將式子化簡，然后再去求，避免出錯.

12.中國雜交水稻之父、中國工程院院士、共和國勛章獲得者袁隆平于2021年5月22日因病去世，享年

91歲，袁隆平去世是中國乃至全世界的重大損失.袁隆平一生致力于水稻雜交技術(shù)研究，為提高我國水

稻畝產(chǎn)量做出了巨大貢獻(xiàn).截至2012年，“種三產(chǎn)四”豐產(chǎn)工程項(xiàng)目累計(jì)示范推廣面積達(dá)2000多萬畝，增

產(chǎn)20多億公斤.將20億這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】2xl09

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法要求，小數(shù)點(diǎn)在第一個不為零的整數(shù)后面，其他數(shù)為小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)移動位數(shù)等于募的

指數(shù)，向左移動，指數(shù)為正，向右移動，指數(shù)為負(fù).

【詳解】20X108=2X109

故答案為：2x10".

【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)相關(guān)原則進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵點(diǎn).

13.如圖，實(shí)數(shù)715.機(jī)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B,C,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為D若

機(jī)為整數(shù)，則小的值為________.

，?????一

DCAOB

【答案】-3

【解析】

【分析】先求出。點(diǎn)表示的數(shù)，再得到。的取值范圍，最后在范圍內(nèi)找整數(shù)解即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為。，點(diǎn)8表示的數(shù)為歷，

.?.點(diǎn)。表示的數(shù)為一岳，

:力點(diǎn)表示-石，C點(diǎn)位于2、。兩點(diǎn)之間，

-J15<m<—yfs>

?.777為整數(shù)，

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的特征，涉及到相反數(shù)的性質(zhì)、對無理數(shù)進(jìn)行估值、確定不等式組的整數(shù)解

等問題，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念和性質(zhì)，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

14.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn)A、B、C、D、0均在格點(diǎn)上，其中A、B、力又在。0上,

點(diǎn)E是線段C￡）與。。的交點(diǎn).則NBAS的正切值為

D

【答案后

【解

【分析】由題意易得B￡>=4,BC=2,ZDBC=90Q,NBAE=NBDC,然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：BD=4,BC=2,N。8c=90°,

,ZZBAE=ZBDC,

：.tanNBAE=tanNBDC=-=

BD2

故答案為!.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及圓周角定理，熟練掌握三角函數(shù)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)A（-2,2）在反比例函數(shù)>="的圖象上，點(diǎn)”在x軸的正半軸上，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上，

且OM=ON=5.點(diǎn)P（x,y）是線段MN上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A和P分別作X軸的垂線，垂足為點(diǎn)。和E,連

接OA、OP.當(dāng)時，X的取值范圍是一

【答案】l<x<4

【解析】

【分析】先求出反比例函數(shù)的解析式，再求出線段的解析式，最后聯(lián)立兩個解析式求出8和C兩個點(diǎn)

的坐標(biāo)，再根據(jù)”的幾何意義，確定尸點(diǎn)位置，即可得到相應(yīng)的x的取值范圍.

【詳解】解：???點(diǎn)A（-2,2）

Z=2x（-2）=-4,

4

所以反比例函數(shù)的解析式為：y=-一,

x

因?yàn)镺M=ON=5,

...M（5,0）,N（0,-5）,

設(shè)線段MV解析式為：>=px+q（OWx<5）,

5p+q=0

q=-5

.P=1

??1，

q=-5

，線段“N解析式為：>=x-5（0KxW5）,

=%-5

聯(lián)立以上兩個解析式得：\4，

y=—

I%

x=11x=4

解得：\/或《「經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；

〔廣-4[y=-l

由圖可知，兩個函數(shù)的圖像交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C,

.,.5（1,-4）,C（4,-l）,

SgAD<S.OPE>

.??P點(diǎn)應(yīng)位于B和C兩點(diǎn)之間，

??l<x<4,

故答案為：l<x<4.

【點(diǎn)睛】本題涉及到了動點(diǎn)問題，考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、k的幾何意義、待定系數(shù)法等內(nèi)容，解

決本題的關(guān)鍵是牢記反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，理解k的幾何意義，以及能聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式求交點(diǎn)坐

標(biāo)等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

16.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)。是對角線80的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段0。上，連接”并延長交。。于

點(diǎn)E,過點(diǎn)P作小戶交6c于點(diǎn)尸，連接A/、EF，AF交BD于G,現(xiàn)有以下結(jié)論：@AP=PF；

②DE+BF=EF；③PB-PD=6BF；④5?門為定值；⑤S四邊形正柘=.以上結(jié)論正確的有

（填入正確的序號即可）.

B

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】由題意易得/A尸F(xiàn)=NABC=NA￡>￡■=NC=9（r,AD=AB,ZABD=45a,對于①：易知點(diǎn)A、B、F、

尸四點(diǎn)共圓，然后可得NAFP=N48D=45°,則問題可判定；對于②：把繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90°得

至必48”，則有DE=BH,NDAE=NBAH,然后易得尸絲△AHF,則有HF=EF,則可判定；對于③：

連接AC,在BP上截取BM=DP,連接AM,易得08=。。，OP=OM,然后易證△4OPszMBF,進(jìn)而問題

可求解；對于④：過點(diǎn)A作ANLEF于點(diǎn)M則由題意可得AN=4B,若△AEF的面積為定值，則EF為定

值，進(jìn)而問題可求解；對于⑤由③可得絲=—,進(jìn)而可得△APGsAA尸瓦然后可得相似比為絲=旦,

AF2AF2

最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解.

【詳解】解：；四邊形A8CO是正方形，PFA.AP,

：.ZAPF^ZABC=ZADE=ZC=90°,AD=AB,ZABD=45",

①???ZABC+ZAPF=180°,

由四邊形內(nèi)角和可得ZBAP+NBFP=180°,

...點(diǎn)A、B、F、尸四點(diǎn)共圓，

NAFP=/AB￡>=45°,

.?.△AP尸是等腰直角三角形，

AP=PF,故①正確；

②把△AEZ）繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABH,如圖所示：

AD

：.DE=BH,NDAE=NBAH,NHAE=90°,AH=AE,

：.ZHAF=ZEAF=45°,

U：AF=AF,

：.^AEF^/XAHF(SAS),

:,HF=EF,

,/HF=BH+BF，

/.DE+BF=EF，故②正確；

③連接AC,在BP上截取BM=DP,連接AM,如圖所示:

丁點(diǎn)。是對角線的中點(diǎn)，

：.OB=OD,BD±AC,

：,OP=OM,ZVIOB是等腰直角三角形，

；?AB=CAO,

由①可得點(diǎn)A、B、F、尸四點(diǎn)共圓，

ZAPO^ZAFB,

,：ZABF=ZAOP=9Q°,

：.XAOPsMABF,

.OPOAAPy/2

??f

BFABAF2

OP=—BF，

2

BP—DP=BP-BM=PM=2OP,

二PB-PD=垃BF，故③正確；

④過點(diǎn)A作AN_LEF于點(diǎn)M如圖所示:

AD

由②可得N4FB=NARV,

?：/ABF=/ANF=90°,AF=AFf

：./XABF^AANF(A45),

：.AN=ABf

若△4￡：尸的面積為定值，則￡產(chǎn)為定值,

??,點(diǎn)戶在線段0。上，

???斯的長不可能為定值，故④錯誤；

⑤由③可得”=也，

AF2

?：/AFB=/AFN=/APG,ZFAE=APAG,

：.AAPG^AAFE,

.GPAP血

??---=---------,

EFAF2

.S?GP_(&]_1

??—―,

S△AEF\272

SjGP=萬S^AEF，

S四邊形P￡FG=S-4PG，故⑤正確;

綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤;

故答案為①②③⑤.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握

正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(96分)要求寫出必要的解答步驟或證明過程

17.解方程：—+—=4.

23

【答案】x=7

【解析】

【分析】根據(jù)整式方程的計(jì)算過程，去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,就可以得到結(jié)果.

【詳解】解：去分母得：3(x-3)+2(x-l)=24,

去括號得：3元—9+2x—2=24,

移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得：5x=35,

系數(shù)化為1得：x=7,

故答案為：x=7.

【點(diǎn)睛】本題考查整式方程的計(jì)算，注意每個步驟的要求是解題的關(guān)鍵.

(11\1

18.先化簡，再求值：——+——--——.其中y=l.

—yx+y)_T+肛

【答案】—)472+4

x—y

【解析】

【分析】先算括號內(nèi)的，再進(jìn)行分式的除法運(yùn)算進(jìn)行化簡，然后再代值求解即可.

x+y+x-y/、2x2

【詳解】解：原式=7~~~^xx-(x+y)=----,

(x+y)(x-y)x-y

把》=夜，y=l代入得：原式=2x(3)=4914,

垃-1

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握分式的化簡求值及二次根式的運(yùn)算是

解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為。。邊的中點(diǎn)，連接AE,若AE的延長線和5c的延長線相交

于點(diǎn)F.

DE

（1）求證：BC=CF；

（2）連接AC和班相交于點(diǎn)為G,若AGEC的面積為2,求平行四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）24.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)E是邊OC的中點(diǎn)，可以得到。E=CE,再根據(jù)四邊形ABC。是平行四邊形，可以得到

ZADE=AECF,再根據(jù)/4￡￡>=/。石尸，即可得到也AECE,則答案可證；

AGAB1

（2）先證明ACEG"ABG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出S.A8G=8，k=一=—，進(jìn)而得出S?BGC=4,

GCCE2

由S-ABC=SAABG+SQBCG得=12,則答案可解?

【詳解】（1）證明：?..四邊形A8C。是平行四邊形，

AD//BC,AD^BC,

ZADE=NECF,

?.,點(diǎn)E為。C的中點(diǎn)，

DE-CE,

在AAOE和戶中

ZADE=NECF

<DE=CE

NAED=ZCEF

：.AADE^AECF(ASA),

...AD=CF,

：.BC=CF；

(2)?.?四邊形A8CZ)是平行四邊形，點(diǎn)E為0c的中點(diǎn),

AAB//DC,AB=2EC,

:.ZGEC=ZABG,ZGCE=ZGAB,

:?ACEG~AABG,

VAGEC的面積為2,

'AB、22i

工=—?即JBG

S=4SAC￡G=4X2=8,

S^CEGlCH)4

ACEGfABG

.AGAB1

??__—___—_

GCCE2

**,S.BGC~SA48G=/*8=4，

/.S-S+S=8+4=12,

^/AlRoCARrADCORCC

^oABCD=2sM=2x12=24.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的

關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

20.為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，豐富學(xué)生課余活動，學(xué)校決定添置一批籃球和足球.甲、乙兩家商場以相同的價格出

售同種品牌的籃球和足球，已知籃球價格為200元/個，足球價格為150元/個.

（1）若學(xué)校計(jì)劃用不超過3550元的總費(fèi)用購買這款籃球和足球共20個，且購買籃球的數(shù)量多于購買足球

2

數(shù)量的一.學(xué)校有哪幾種購買方案？

3

（2）若甲、乙兩商場各自推出不同的優(yōu)惠方案：甲商場累計(jì)購物超過500元后，超出500元的部分按90%

收費(fèi)；乙商場累計(jì)購物超過2000元后，超出2000元的部分按80%收費(fèi).若學(xué)校按（1）中的方案購買，學(xué)

校到哪家商場購買花費(fèi)少？

【答案】（1）有三種方案，為：①購買9個籃球，11個足球；②10個籃球，10個足球；③11個籃球，9個

足球；（2）學(xué)校購買9個籃球，11個足球到甲商場購買花費(fèi)少；購買10個籃球，10個足球和11個籃球，9

個足球到乙商場購買花費(fèi)少.

【解析】

【分析】（1）設(shè)學(xué)校購買籃球x個，購買足球（20.）個，根據(jù)“學(xué)校計(jì)劃用不超過3550元的總費(fèi)用購買”

2

和“購買籃球的數(shù)量多于購買足球數(shù)量的一”列出不等式組，求解即可；

3

（2）設(shè)學(xué)校購買籃球x個，購買足球（20-x）個，分別計(jì)算出在甲，乙兩商場的費(fèi)用列出不等式求解即可.

【詳解】解：（1）設(shè)學(xué)校購買籃球x個，購買足球（20-x）個，根據(jù)題意得，

200%+150（20-%）<3550

■2

x>—（20-x）

、3

解得，8<%<11

是整數(shù)，

：.x=9,10或11

.,.20-412,10或9

故有三種方案，為：①購買9個籃球，11個足球；②10個籃球，10個足球；③11個籃球，9個足球；

（2）設(shè)學(xué)校購買籃球x個，購買足球（20-x）個，

在甲商場花費(fèi)：［200x+150(20-x)-500］x90%+500=(45x+2750)元；

在乙商場花費(fèi)：［200x+150(20-x)-20001x80%+2000=(40%+2800)元；

.?.要使學(xué)校到甲商場花費(fèi)最少，則有：

45x+2750<40x+2800

解得，xV10

V8<x<ll,且x是整數(shù)，

.?.k9,

即：學(xué)校購買9個籃球，11個足球到甲商場購買花費(fèi)少；購買10個籃球，10個足球和11個籃球，9個足球

到乙商場購買花費(fèi)少.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根

據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出不等式，再求解.

21.“此生無悔入華夏，來世再做中國人！”自疫情暴發(fā)以來，我國科研團(tuán)隊(duì)經(jīng)過不懈努力，成功地研發(fā)出

了多種“新冠”疫苗，并在全國范圍內(nèi)免費(fèi)接種.截止2021年5月18日16：20,全球接種“新冠”疫苗

的比例為18.29%；中國累計(jì)接種4.2億劑，占全國人口的29.32%.以下是某地甲、乙兩家醫(yī)院5月份某天

各年齡段接種疫苗人數(shù)的頻數(shù)分布表和接種總?cè)藬?shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖：

甲醫(yī)院乙醫(yī)院

年齡段頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率

18—29周歲9000.154000.1

30—39周歲a0.2510000.25

40—49周歲2100bC0.225

50—59周歲12000.212000.3

60周歲以上3000.055000.125

(1)根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題:

①填空：a=，b=

②在甲、乙兩醫(yī)院當(dāng)天接種疫苗的所有人員中，40—49周歲年齡段人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角為

(2)若A、8、C三人都于當(dāng)天隨機(jī)到這兩家醫(yī)院接種疫苗，求這三人在同一家醫(yī)院接種的概率.

甲、乙兩醫(yī)院各年齡段接種總?cè)藬?shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖

【解析】

【分析】（1）①分別用甲、乙兩醫(yī)院18-29周歲的年齡段的頻數(shù)除以頻率即可求出接種總?cè)藬?shù)，然后根據(jù)頻

數(shù)與頻率的關(guān)系求出相應(yīng)的值；②甲、乙兩醫(yī)院當(dāng)天接種疫苗的所有人員中，40—49周歲年齡段人數(shù)與接

種總?cè)藬?shù)的百分比乘以360°即可得到在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角；

（2）畫出樹狀圖，得出所有等可能的結(jié)果數(shù)與三人在同一家醫(yī)院接種的結(jié)果數(shù)，運(yùn)用概率公式求解即可.

【詳解】解：（1）①900+0.15=6000（人），400-0.1=4000（人）

?=6000-900-2100-1200-300=1500

b=1-0.15-0.25-0.2-0.05=0.35

c=4000-400-l000-1200-500=900

故答案為：1500,0.35,6=900；

2100+900

②360°x=108°

6000+4000

故答案為：108。；

（2）畫樹狀圖為:

開始

???所有等可能的結(jié)果共有8種情況，而同在一所醫(yī)院接種的有2種結(jié)果數(shù)，

21

...三人在同一家醫(yī)院接種的概率

o4

【點(diǎn)睛】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖以及概率的計(jì)算，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要

的信息是解決問題的關(guān)鍵.當(dāng)有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.

22.如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度。點(diǎn)處時，無人機(jī)測得操控

者A的俯角為75°,測得小區(qū)樓房頂端點(diǎn)C處的俯角為45°.已知操控者A和小區(qū)樓房6。之間的距

離為45米，小區(qū)樓房8C的高度為15百米.

￡

□

□

□

□

□

□

□

AB

（1）求此時無人機(jī)的高度；

（2）在（1）條件下，若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于A3的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行.問:

經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線？（假定點(diǎn)A,B,C,。都在同一平面內(nèi).參考數(shù)據(jù)：

tan75°=2+6，tan15°=2—計(jì)算結(jié)果保留根號）

【答案】（1）（156+30）米；（2）（6g+6）秒

【解析】

【分析】（1）通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可求出QE的值，進(jìn)而得到。”的值；

（2）先利用特殊角的三角函數(shù)值求出N8AC的度數(shù)，接著求出NGE4的度數(shù)，作輔助線構(gòu)造直角三角形求

出Z）G和GF,進(jìn)而得到￡＞尸的值，最后除以無人機(jī)速度即可.

【詳解】解：如圖1,過。點(diǎn)作垂足為點(diǎn)”，過C點(diǎn)作CE，。，，垂足為點(diǎn)E,

r

-

g

□

□

□

□

□

□

可知四邊形EHBC為矩形，

；.EH=CB,CE=HB,

?..無人機(jī)測得小區(qū)樓房BC頂端點(diǎn)C處的俯角為45°,測得操控者A的俯角為75°,DM//AB,

NEC￡）=45°,ND48=75°,

；.NCDE=NECD=45°,

：.CE=DE,

設(shè)CE=DE=HB=x,

：.AH^5-x,DH=DE+EH=x+15^，

在RMOA”中，OH=tan75°xA”=（2+6）（45-x）,

即x+15/=（2+班）（45-x）,

解得：x=30,

:?DH=15百+30

此時無人機(jī)的高度為（1573+30）米；

（2）如圖2所示，當(dāng)無人機(jī)飛行到圖中尸點(diǎn)處時，操控者開始看不見無人機(jī)，此時A尸剛好經(jīng)過點(diǎn)C,

過A點(diǎn)作AGLOF,垂足為點(diǎn)G,此時，由（1）知，AG=15V3+30（米），

圖2

AG30+15w

DG==15；

tan752+6

tan"必修?

AB453

???NG43=30°

'CDF/ZAB,

???/￡＞吐NCAB=30°,

GF=-^-

=30百+45,

tan30

DF=GF-DG=30百+30,

因?yàn)闊o人機(jī)速度為5米/秒，

所以所需時間30者+30=66+6（秒）；

所以經(jīng)過（66+6）秒時，無人機(jī)剛好離開了操控者的視線.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及到了等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、特

殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形等知識，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，能從題意與圖形中找出隱含條件,

能構(gòu)造直角三角形求解等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

23.如圖，直線丁=辰+2與雙曲線,=”相交于點(diǎn)A、B,已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

X

（1）求直線y=kx+2的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）以線段A3為斜邊在直線A3的上方作等腰直角三角形A8C.求經(jīng)過點(diǎn)C的雙曲線的解析式.

【答案】（1）產(chǎn)-0.5x+2；點(diǎn)B坐標(biāo)為（3,0.5）；（2）過點(diǎn)C的雙曲線解析式為y=

x

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)A橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入），=依+2可求出直線解析式,

聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式即可得點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（"?，n）,過點(diǎn)C的雙曲線解析式為丁=人，根據(jù)點(diǎn)A、B坐標(biāo)可求出A8的長，根據(jù)等

X

6

腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC=?A8,根據(jù)兩點(diǎn)間距離個數(shù)求出相、”的值即可得點(diǎn)C坐標(biāo)，代入反

2

比例函數(shù)解析式求出％值即可得答案.

【詳解】（1）1?點(diǎn)A在雙曲線＞=亞上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,

X

/.當(dāng)x=\時,y=1.5,

???點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1.5）,

?.?直線y=丘+2與雙曲線丁=絲相交于點(diǎn)A、B,

X

???2+2=1.5,

解得：A=-0.5,

???直線y=履+2的解析式為y=-0.5x+2,

y=-0.5x4-2

聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式得\1.5

y=-

玉=3

解得：〈（舍去）,

x=0.532=L5

:.點(diǎn)B坐標(biāo)為（3,0.5）.

（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m,〃），過點(diǎn)C的雙曲線解析式為y=K,

VA(1,1.5),B(3,0.5),

AB=J(3-Ip+(1.5-0.5)2=6,

「△ABC等腰直角三角形，

；.AC=BC=-AB=^-，

=(/〃-3)一+

整理得：〃=2加一3,

???（7M-1）2+（2加一3—|）2=（萼）2，

53

解得：加=二或一，

22

〃=2加-3=2或0（舍去），

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為（2.5,2）,

k

把點(diǎn)C坐標(biāo)代入雙曲線解析式得：2=—,

2.5

解得：2=5,

過點(diǎn)C的雙曲線解析式為y=

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵.

24.如圖，在Ri△ABC中，NACB=90°,AD是NBAC的平分線，以AO為直徑的。。交AB邊于點(diǎn)E，

連接CE，過點(diǎn)D作DF//CE,交A3于點(diǎn)F.

(1)求證：OF是0。的切線；

3

(2)若BD=5,sinZB-j,求線段OE的長.

【答案】(1)證明見詳解；(2)垣.

2

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)圓周角定理、角平分線定義、平行線性質(zhì)證明/EA慶NFDE,再根據(jù)AO為。。直徑,

得到NAQE+NOAE=90°,進(jìn)而得到A￡?_LFZ),問題得證；

(2)先求出。E=3,證明△AEQg/XACO,得至iJOE=QC=3,BC=BD+CD=8,解RtAAfiC中求出AC=6,

r)p□R

進(jìn)而得至|JAE=6,求出4。=3遂,證明44。E6/^1尸。，得到一=一，即可求出產(chǎn)。=吧.

FDAD2

【詳解】解：⑴證明:連接OE,

DC=DC

：.ZCAD=ZCED,

*/是NS4C的平分線,

：.ZCAD=ZEAD,

：.ZCED=ZEAD,

,?DF!ICE,

：.ZCED=ZFDE,

：.ZEAD=ZFDE,

為O。直徑，

Z.ZAED=ZACD=90°,

ZADE+ZDAE=90°,

:.NADE+/FDE=9Q°,

即ADLFD,

又：AO為。。直徑,

???。/是。0的切線；

（2）VZAED=90°,

；?NBED=90°,

_3

:.DE—BZ）*sin/B=5x—=3,

5

VZAED=ZACDfZDAE=ZDAC,AD=ADf

：.AAED^AACD,

:?DE=DC=3,

:?BC=BD+CD=8,

3

在Rt△ABC中，VsinZB=-,

???設(shè)4C=3JGAB=5xf

???（5X）2-（3X）2=82,

\'x>0,

.*.x=2,

.*.AB=5x=10,AC=3x=6f

???AAED^AACD,

.\AE=AC=6f

???在RtZVlOE中，AD7AE、DE2=34,

VZEAD=ZDAF,ZAED=ZADF=90°,

???/\ADE^/\AFD9

.DEAE

?_?_—__—__，

FDAD

36

即---二—廣，

FD3也

.RN3A/5

??FD=------?

2

【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,

根據(jù)題意添加輔助線，熟知圓的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵.

25.如圖1,在△ABC中，NAC3=90°，AC=BC，點(diǎn)。是AB邊上一點(diǎn)（含端點(diǎn)A、8）,過點(diǎn)8作跖

垂直于射線CO,垂足為E,點(diǎn)F在射線CD上，且EF=BE,連接A/、BF.

圖1圖2

（1）求證：AABFS^CBE；

（2）如圖2,連接AE，點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE、EF的中點(diǎn)，連接PM、MN、PN.求/PMN

MN

的度數(shù)及——的值；

PM

（3）在（2）的條件下，若BC=垃,直接寫出APMN面積的最大值.

MNr1

【答案】（1）證明見解析；（2）NPMN=135°;——=，2；（3）-

PM4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等判定即可.

MN

（2）NPMN的值可以根據(jù)中位線性質(zhì)，進(jìn)行角轉(zhuǎn)換，通過三角形內(nèi)角和定理求解即可，——的比值轉(zhuǎn)換

PM

Ap

為k的比值即可求得.

CE

（3）過點(diǎn)P作P。垂直于MW的延長線于點(diǎn)Q,S&pMN=gMN?PQ,將相關(guān)線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為CE,可得

關(guān)系SAPMN=』CE2,觀察圖象，當(dāng)CE=8C=&時，可得最大值.

8

【詳解】（1）證明：???NACB=90°,AC=BC

???AB=母BC，ZABC=ABAC=45°

:破垂直于射線co,

ZBEF=9Q°,

又?：EF=BE

???FB=6EB，/FBE=NEFB=45°

,/ZABC+ZABE=ZABE+NFBE

即：ZABF=NCBE

又???金生=a

CBBE

:?AABFSVBE

（2）解：?.?點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE>E廠的中點(diǎn)

PM//CN,MNHAF,「加=；CE,MN