概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學(xué)-第四版-盛驟)-概率論部分

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(浙江大學(xué)_第四版--盛驟)——概率論部分匯報人：AA2024-01-20目錄CONTENTS概率論基本概念隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布隨機變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本概念與抽樣分布01概率論基本概念基本事件0102030405所有可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母S表示。樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的組合。包含樣本空間中所有樣本點的事件。只包含一個樣本點的事件。不包含任何樣本點的事件。樣本空間與事件事件樣本空間不可能事件必然事件表示事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，一般用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率定義概率性質(zhì)等可能概型幾何概型非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。每個基本事件發(fā)生的可能性相同。根據(jù)幾何圖形的度量（長度、面積、體積等）來計算概率。概率定義及性質(zhì)乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)。事件的獨立性如果兩個事件A和B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B是相互獨立的。條件概率在已知某個事件B發(fā)生的條件下，另一個事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率與獨立性全概率公式與貝葉斯公式全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個完備事件組，且都有正概率，則對任意一個事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。貝葉斯公式在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。02隨機變量及其分布定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)。稱X=X(e)為隨機變量。分類隨機變量主要分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量兩類。隨機變量定義及分類VS全部可能取到的值是有限個或可列無限多個的隨機變量稱為離散型隨機變量。分布律離散型隨機變量的概率分布通常用一個概率分布列來表示，即列出隨機變量X取各個可能值的概率。定義離散型隨機變量及其分布律連續(xù)型隨機變量及其分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的取值是連續(xù)不斷的，不能一一列出。其概率分布通常用概率密度函數(shù)來描述。定義連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)，表示隨機變量X落在某一區(qū)間內(nèi)的概率。分布函數(shù)設(shè)X是一個隨機變量，g(X)是X的函數(shù)，那么g(X)也是一個隨機變量，其分布稱為隨機變量函數(shù)的分布。定義求隨機變量函數(shù)的分布通常有兩種方法，一種是直接法，即先求出g(X)的分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到概率密度函數(shù)；另一種是公式法，即利用已知的隨機變量分布和公式，通過變換得到g(X)的分布。求法隨機變量函數(shù)的分布03多維隨機變量及其分布二維隨機變量的定義設(shè)$X$和$Y$是兩個隨機變量，則稱$(X,Y)$為二維隨機變量。聯(lián)合分布函數(shù)對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$稱為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合概率密度函數(shù)如果存在非負(fù)可積函數(shù)$f(x,y)$，使得對于任意實數(shù)$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，則稱$f(x,y)$為二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)。二維隨機變量及其聯(lián)合分布邊緣分布函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)條件分布函數(shù)條件概率密度函數(shù)邊緣分布與條件分布如果$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度函數(shù)為$f(x,y)$，則$X$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的邊緣概率密度函數(shù)為$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。二維隨機變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=P{Xleqx}$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=P{Yleqy}$。在給定$X=x$的條件下，$Y$的條件概率密度函數(shù)定義為$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。設(shè)二維隨機變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，邊緣分布函數(shù)分別為$F_X(x)$和$F_Y(y)$。在給定$X=x$的條件下，$Y$的條件分布函數(shù)定義為$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$。如果對于任意實數(shù)$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，則稱二維隨機變量$(X,Y)$是相互獨立的。二維隨機變量$(X,Y)$是相互獨立的充要條件是它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為兩個邊緣概率密度函數(shù)的乘積，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。相互獨立的定義相互獨立的充要條件相互獨立隨機變量多維隨機變量函數(shù)的定義多維隨機變量函數(shù)的分布求法多維隨機變量函數(shù)的分布多維隨機變量函數(shù)的分布可以通過求解其分布函數(shù)或概率密度函數(shù)得到。具體方法包括直接法、變換法和卷積法等。其中，卷積法適用于求解兩個相互獨立隨機變量之和的分布。設(shè)$(X_1,X_2,ldots,X_n)$是$n$維隨機變量，如果存在一個實值函數(shù)$Z=g(X_1,X_2,ldots,X_n)$，則稱$Z$為多維隨機變量的函數(shù)。04隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)數(shù)學(xué)期望是隨機變量取值的平均值，具有線性性質(zhì)、常數(shù)性質(zhì)、獨立性等。方差的定義和性質(zhì)方差是隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的平均值，表示隨機變量取值的離散程度。常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差如二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等。數(shù)學(xué)期望與方差030201相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差與兩隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差乘積的比值，消除了量綱的影響，更加客觀地反映兩隨機變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的計算和檢驗可以通過樣本數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)，并進行假設(shè)檢驗判斷其顯著性。協(xié)方差的定義和性質(zhì)協(xié)方差表示兩個隨機變量變化趨勢的相似程度，正值表示同向變化，負(fù)值表示反向變化。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩、協(xié)方差矩陣和特征函數(shù)矩是描述隨機變量分布形態(tài)的重要數(shù)字特征，包括原點矩和中心矩。協(xié)方差矩陣的定義和性質(zhì)對于多維隨機變量，協(xié)方差矩陣表示各分量之間的線性相關(guān)程度，是一個對稱矩陣。特征函數(shù)的定義和性質(zhì)特征函數(shù)是描述隨機變量分布特性的另一種方式，包括特征函數(shù)和逆特征函數(shù)。對于某些難以用分布函數(shù)或密度函數(shù)描述的隨機變量，特征函數(shù)可能更加有效。矩的定義和性質(zhì)05大數(shù)定律與中心極限定理弱大數(shù)定律（辛欽大數(shù)定律）揭示了大量隨機變量之和近似服從正態(tài)分布的規(guī)律，是概率論中討論隨機變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律之一。強大數(shù)定律是一種比弱大數(shù)定律更精細(xì)的收斂性質(zhì)，它要求隨機變量序列的算術(shù)平均值不僅依概率收斂到某個常數(shù)，而且?guī)缀醣厝坏厥諗康竭@個常數(shù)。伯努利大數(shù)定律是概率論中的一個重要定律，指出在n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的頻率依概率收斂于事件A發(fā)生的概率。010203大數(shù)定律中心極限定理給出了判斷獨立隨機變量序列之和的分布函數(shù)是否收斂到正態(tài)分布的充分條件，這些條件比林德伯格條件更易于驗證。李雅普諾夫中心極限定理表明當(dāng)獨立隨機變量的數(shù)量足夠大時，它們的標(biāo)準(zhǔn)化和的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，無論這些隨機變量本身服從什么分布。獨立同分布的中心極限定理（林德伯格-列維定理）是二項分布以正態(tài)分布為極限分布的一種特殊情形德莫佛-拉普拉斯定理06數(shù)理統(tǒng)計基本概念與抽樣分布總體與個體在數(shù)理統(tǒng)計中，研究對象的全體稱為總體，而組成總體的每個基本單元稱為個體。