四川省廣安、眉山、內(nèi)江、遂寧2023年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.2020年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級

響應(yīng)，全國人心抗擊疫情.下圖表示1月21日至3月7日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下

列中表述鐐誤的是（）

15000TMI---------------------------------------

抬賢受抬抬腎寺期

A.2月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢

B.隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，2月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)

C.2月1（）日至2月14日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大

D.我國新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在2月12日左右達(dá)到峰值

2.在等腰直角三角形ABC中，NC=C,C4=20,。為AB的中點(diǎn)，將它沿CO翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離

2

為2石，此時(shí)四面體ABCQ的外接球的表面積為（）.

A.5n型與C.12%D.20%

3.已知函數(shù)關(guān)于X的方程/2（x）+（m+l）/（x）+m+4=0伽GR）有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則加的取值范圍

是（）

A.1一百B.（T-3）

Ax-l,x>0,

4.己知函數(shù)〃力=<若函數(shù)/（X）的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對，則實(shí)數(shù)女的取值范圍是（)

-ln(-x),x<0,

A.(f，O)B.(0,1)C.(0，+8)D.

5.已知a,b￡R,3+cii=h—(2a—T)i,則()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.h=12a

22

6.設(shè)雙曲線「一當(dāng)=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C

ab

分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于a+，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(^0,-1)I(1,+8)

C.(-72,0)(0,72)

D.(-^,-72)0(72,+oo)

[x],x>0

7.已知函數(shù)/(x)=(i([月表示不超過x的最大整數(shù))，若/(%)—以=()有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

21「12、「23、(23'

(23j[23)L34；(34」

8.某公園新購進(jìn)3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現(xiàn)將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊,

任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種

A.96B.120C.48D.72

9.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為s“，若8。刈9+。2016=0,則率的值為()

33

39

1C7

A.2-B.2-8-D.8-

10.設(shè)a,b9。為正數(shù)，貝！!“〃+/?>?！笔?/TAc?”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不修要條件

1_;

1L已知復(fù)數(shù)2=有（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

a

-mB.d）c,（i[D,（-|4）

12.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)〃x）=（x2—?”,的圖象大致是（）

14.在AABC中，內(nèi)角A8,C所對的邊分別是a,6,c.若Z?sinA=asinC,c=\,則人=_,AABC面積的最大值

為一

15.已知平面向量”，。的夾角為9，&=（6/），且|&一切=百，則|/2|=一

16.已知不等式上+2|+同〈。的解集不是空集,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_；若不等式

\x2+x-\\+\x2+x+\\>J—樣——對任意實(shí)數(shù)a恒成立，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是—

11\a\

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通

過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,KX))

頻數(shù)2515020025022510050

（1）已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N（〃,210）,〃近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求P（36<ZW79.5）；

（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.

(i)得分不低于〃的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);

(ii)每次贈送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.

贈送的隨機(jī)話費(fèi)/元2040

3

概率

44

現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：7^15x14.5,若XN(〃,cy2),則P(H—b<XW〃+b)=0.6827,P(jU-2a<X<p+2a)=0.9545,

P(M-3cr<XW〃+3b)=0.9973.

3萬

18.(12分)在平面四邊形ABC。中，已知NABC=—,AB±AD,AB=1.

(1)若AC=5,求A8C的面積；

(2)若si〃NCA￡>=嘖,AO=4,求CO的長.

19.(12分)已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S,,,且點(diǎn)(〃,5“)(〃6^^)在函數(shù),丫=2的一2的圖像上；

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足：4=0,%+bn=an,求也｝的通項(xiàng)公式；

(3)在第(2)間的條件下，若對于任意的〃eN*,不等式勿<4。川恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍;

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-2|+|2x+，〃|,(meR).

(1)若〃z=4時(shí)，解不等式/(x)<6；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)S2x-5|在xe[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=」-x+alnx.

(1)若/(力在(0,+。)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍：

（2）若還＜aW2,記/（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為演，馬,記，（王）―）（々）的最大值與最小值分別為M,孫求M—加

22%一馬

的值.

22.（10分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把ARC,。四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用

（1）在一次全民健身活動(dòng)中，四個(gè)籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從45,C,。四場館的使用場數(shù)中依次

抽取q,%,%,%共25場，在中隨機(jī)取兩數(shù)，求這兩數(shù)和4的分布列和數(shù)學(xué)期望；

t場數(shù)

（2）設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為X,其相應(yīng)維修費(fèi)用為），元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下表的數(shù)據(jù):

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

z=0.Ie4343+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求］與x的回歸直線方程；

②高叫做籃球館月惠值‘根據(jù)①的結(jié)論'試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)”的值

_77X)(Z,.一Z)

參考數(shù)據(jù)和公式：1=4.5,￡(七一62=700，Z(x,—6(z,.一辦=70]=20匕=--------——，=^-bx

?tfa-Ia

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；

根據(jù)2月10日至2月14日新增確診曲線的走勢可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.

綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

對于A選項(xiàng)，由圖象可知，2月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢，A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，2月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)，由圖象可知，2月10日至2月14日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)，在2月16日及以前，我國新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國新型冠狀病毒肺炎累

計(jì)確診人數(shù)不在2月12日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

如圖，將四面體ABCQ放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.

【詳解】

△AfiC中，易知AB=4,CD-AD-BD-2

翻折后AB=26

22+22-2V3)1

cosZADB=-------i——=——

2x2x22

ZADB=120，

設(shè)AAD8外接圓的半徑為「，

^^=2x4‘"=2‘

如圖：易得平面將四面體ABCD放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體

外接球的半徑為R,

=r2+l2=22+12=5，

四面體ABCD的外接球的表面積為S=4萬穴2=20萬.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長方體,

比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.

3.A

【解析】

e

—,x>0

/W=w=,，當(dāng)x>0時(shí)f(力=今辿=0,尤=1"€(0,1)時(shí),/(%)單調(diào)遞減,xe(l,+⑹時(shí),/(力

單調(diào)遞增，且當(dāng)xw(O,l)時(shí),/(x)e(e,+81當(dāng)xe(l,+<x>)時(shí),.f(x)?e,+(?),當(dāng)x<0時(shí)，/〈上一，」>o恒

成立，%€(-8,0)時(shí),/(力單調(diào)遞增且/(%)€(0,+8),方程/2(力+(加+1)/(力+加+4=0(加€2有四個(gè)相異的

實(shí)數(shù)根.令/(%)=，,r+(根+l)r+m+4=0貝IJ

22

0<t]<e,t2>e,:.e+(/w+l)e+/w+4<0,J3.0+(w+l)0+m+4>0,BP——.

4.B

【解析】

考慮當(dāng)x〉0時(shí)，"-l=lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令〃(x)=lnx-"+1,則〃(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和

零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)?(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對，

所以x>0時(shí)，a-l=lnx有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

令〃(x)=lnx-"+1,則可力在(0,+。)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

又“(x)=y,

當(dāng)Z40時(shí)，hf(x)>0,故〃(x)在(0,+力)上為增函數(shù)，

〃(x)在(0,+。)上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.

當(dāng)攵>0時(shí)，

若則”(x)>0,〃(x)在(0,￡|上為增函數(shù)；

若尤貝〃(x)在上為減函數(shù);

yrv7/v

因?yàn)?z(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以ln\>0,解得?！醋?lt;1.

K

0,故〃(x)在(o,j上存在一個(gè)零點(diǎn).

又當(dāng)0<%<1時(shí)，!〈，且〃<

ek

又〃?-2+1=2+2111.-/，其中r=J>1.

令g(f)=2+21nt—々，則=

當(dāng)f>l時(shí)，g'(f)<0,故g⑺為(1，內(nèi))減函數(shù),

所以g(r)<g(l)=2_e<0即％<0.

+8)上也存在一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)橛?gt;標(biāo)>%,所以〃(x)在

綜上，當(dāng)0<%<1時(shí)，〃(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說

明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.

5.C

【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對應(yīng)相等.

【詳解】

由3+ai=b—(2“一1?,

(3=〃I

得<,c，即。=W，b=l.

a=l-2a3

'.b—9a.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

.2?2

由題意,4(〃.0).8(*-)，

aa

根據(jù)雙曲線的對稱性知。在％軸上，設(shè)。(再0),則由

b2b2

皿AB得：q_］t._A，

c-xc-aa2(a-c)

因?yàn)?。到直線BC的距離小于a++廿，所以

h/2.)b,2，,

c-x=----------<a+ya*+",r<L-L

a*(a-c)a

6h

即0〈一<1,所以雙曲線漸近線斜率2=土一€(—l,0)u(0,l),故選A.

aa

7.A

【解析】

根據(jù)［x］的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用

數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)O?x<l時(shí)，[x]=0,

當(dāng)lWx<2時(shí)，［x］=l,

當(dāng)2?x<3時(shí)，［司=2,

當(dāng)3WJC<4時(shí)，［x］=3,

若/(同一以=0有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

則等價(jià)為/(%)=以有且僅有3個(gè)根，

即“X)與8(力=依有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)/(x)和g(尤)的圖象如圖，

當(dāng)a=l時(shí)，8(引=了與/(可有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過點(diǎn)A(2,l)時(shí)，即g(2)=2a=l,a=g時(shí)，/(x)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過點(diǎn)B(3,2)時(shí)，即g⑶=3a=2,4=§時(shí)，"力與g(x)有三個(gè)交點(diǎn),

要使“X)與g(x)=OT有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線g(x)處在過>和y=之間，

即

23

故選：A.

【點(diǎn)睛】

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)

分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

8.B

【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有用團(tuán)，扣除郁金香在兩邊有28禺，即可求出結(jié)論.

【詳解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A；種，

然后將3盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有可用，扣除郁金香在兩邊，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2種，

再將3盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有4；,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有,

所以共有A；A：-2A；A；=120種.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

9.C

【解析】

求得等比數(shù)列｛4｝的公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得3的值.

*

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，8%?9+。2016=0,；?/=&吆=一/，二4=一4，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：h,C為正數(shù)，

???當(dāng)a=2,b=2,c=3時(shí)，滿足a+b>c,但/+與2>02不成立，即充分性不成立，

+b2>c2>M(a+^)2-2ab>c2,BP(a+b)2>c2+2ab>c2,

即?a+b￥>后,即a+O>c,成立，即必要性成立，

貝U"a+。>c"是“a2+b2>c2”的必要不充分條件，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

11.A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求得z的坐標(biāo)得出答案.

【詳解】

1-z,(l-z)(2+031

2-z(2-z)(2+z)55

??.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

由/(x)=0,解得/一℃=0,即x=0或x=a,。>0,.,.函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，.,?AC,不正確，設(shè)。=1,

則/(x)=(x2—x)/,.?./(x)=(x2+x-l)e',由尸(x)=(d+x—i)/>。，解得或

由/(力=(/-1)/<0,解得：一二11占<%<；占，即x=—1是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),.?./)不成立，排除。,

故選B.

【方法點(diǎn)晴】本題通過對多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，

屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識點(diǎn)較多，但是并不是無

路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及

Xff+8,xf-O0時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.a>2

【解析】

x>l,可得/(x)在x=2時(shí)，最小值為4+。，

時(shí)，要使得最小值為了⑴，則“X)對稱軸x=a在1的右邊，

且/⑴W4+a,求解出。即滿足/(x)最小值為41).

【詳解】

4

當(dāng)X>1,f(x)=x+-+a>4+a,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號成立.

當(dāng)xWl時(shí)，=f-2奴+9為二次函數(shù)，要想在x=l處取最小，則對稱軸要滿足

x=a>\

并且/(l)W4+a,即1—Za+9Wa+4,解得a22.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的最值問題，對每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論，找到每段的最小值，然后再對兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比

較，得到結(jié)果，題目較綜合，屬于中檔題.

1

14.1-

2

【解析】

由正弦定理，結(jié)合桃inA=asinC,c=l,可求出b；由三角形面積公式以及角A的范圍，即可求出面積的最大值.

【詳解】

因?yàn)榧觟nA=asinC,所以由正弦定理可得Z;a=ac,所以Z?=c=l;

所以$.屬=,從3出加4<，，當(dāng)4〃4=1，即A=90°時(shí)，三角形面積最大-

222

故答案為(1).1(2),1

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解三角形的問題，熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.

15.1

【解析】

rrr

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得。，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得a為；將。一方化簡并代入即可求得

【詳解】

a=(6,l),則忖=^^Zp=2，

平面向量a，8的夾角為9，則由平面向量數(shù)量積定義可得4/=忖?忖??5=2*1卜3=問，

根據(jù)平面向量模的求法可知,-q=yla-la-b+b1=石)，

代入可得,4一2忖+好=V3,

解得忖=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

16.<2>2,xe(-oo,-2]u[l,+oo)

【解析】

利用絕對值的幾何意義，確定出k+2|+|x|的最小值，然后根據(jù)題意即可得到”的取值范圍

|a+l|-|3a-1||?+1|-|3a-l|

化簡不等式,2+X—1|+|X-+X+1|>求出的最大值，然后求出結(jié)果

同1?1

【詳解】

卜+2|+|目的最小值為2,則要使不等式的解集不是空集，則有a22

-2+2?a<-

a

|^Z+1|—13^z—1|+1|—|3^7—1|-4；一1<〃<0

化簡不等式,2-1||2+X4-1|>

+X+X—有一IT-)八1

4；0<a<一

3

即-J-x-11+|f+x+1N4

2x2*+2x；x<-------或％2----

而上2+x-11+1+X+=<22

、-1->/5-1+A/5

2；------<%<-------

當(dāng)2/+2x24時(shí)滿足題意，解得xW-2或xNl

所以答案為xe(YO,-2]u[l,+oo)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式，要注意到絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合來解答本題，注意去絕

對值時(shí)的分類討論化簡

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)0.8186；(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，利用公式計(jì)算出平均數(shù)〃的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將36、79.5表示為36=〃-2cr,

79.5=〃+b,利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率；

(2)根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為工，再結(jié)合得20元、40元的概率，分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)

2

都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

,、…上—35x25+45x150+55x200+65x250+75x225+85x100+95x50~

(1)由題意可得〃=------------------------------------------------------------=65,

易知=14.5,，36=65-29=65-2x14.5=〃-2。，

79.5=65+14.5=〃+b,

P(36<Z<79.5)=2cr<Z?〃+b)=P("-2b<ZW〃)+P(〃<ZW〃+cr)

尸(〃-2cr<X<〃+2cr)+P(〃-b<XW〃+cr)0.9545+0.6827

=0.8186；

22

(2)根據(jù)題意，可得出隨機(jī)變量X的可能取值有20、40、60、80元,

尸(X=20)=LX』=3,p(X=40)=-x-+-x-x-=—,

'7248172424432

1133ill1

p(X=60)=2x-x-x-=—,尸(X=80)=—x—x—=—.

,)24416,724432

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X20406080

31331

p

8321632

3133175

所以，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX=20X=+40X=+60X7+80XT=—.

83216322

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的計(jì)算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計(jì)算以及離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題

時(shí)要弄清楚隨機(jī)變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相應(yīng)公式計(jì)算對應(yīng)事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

18.(1)-；(2)V13.

2

【解析】

(1)在三角形A8C中，利用余弦定理列方程，解方程求得8C的長，進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形A8C的

面積.

(2)利用誘導(dǎo)公式求得cosNB4C,進(jìn)而求得sinNBAC,利用兩角差的正弦公式，求得sin/BC4,在三角形ABC

中利用正弦定理求得AC,在三角形ACD中利用余弦定理求得CD的長.

【詳解】

（1）在一ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC

5=l+BC2+y/2BC=>BC2+yf2BC-4=Q>

解得BC=正，

SAI!（.=-ABBCsinZABC^-x\xyf2x—^-

ABC2222

2R

（2）/BAD=90°,sinZCAD=工

5

^-,sinZBAC=—

cosABAC=sinACAD

55

ACAB

在△ABC中,

sinZABC~sinZBCA

AB-sinZABC

AC==V5.

sin/BCA

:,CD2=AC2+AD2-2ACADcosZCAD=5+l6-2xy[5x4x—=13.

5

CD=V13

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.

2"22"2

19.(1)%=2"(〃cN")(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，勿=±+±；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，bn^--~.(3)(1,+8)

"33"33

【解析】

(D根據(jù)?！?S,_，討論〃=1與〃22兩種情況,即可求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)利用遞推公式及累加法，即可求得當(dāng)“為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)｛〃｝的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法，先猜想出通

項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

b

(3)分類討論，當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，分別求得廣的最大值，即可求得;I的取值范圍.

【詳解】

(1)由題意可知,S“=2"M—2.

當(dāng)〃22時(shí),4=S,-=2田-2-(2"-2)=2",

當(dāng)”=1時(shí),％=E=-2=2也滿足上式.

所以a“=2"(〃eN)

(2)解法一：由(1)可知"用+勿=2"(〃eN*),

即%+4=2*QGN*).

當(dāng)上=1時(shí),%+4=2],①

當(dāng)左=2時(shí)也+刈=22,所以一4一。=-22，②

當(dāng)左=3時(shí),%+偽=23,③

當(dāng)人=4時(shí)您+仇=24，所以一用一九=-24，④

當(dāng)攵=〃一1時(shí),〃為偶數(shù)bn+b,i=2"T

當(dāng)k=n時(shí),〃為偶數(shù)所以一切一b“_i=-2"-'

以上〃-1個(gè)式子相加，得

9=2--+一.+2F華魯L影|.

2"2

又b、=0,所以當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)血=±+±.

同理，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

234

b,+b}=2-2+2-2=2口―(-2)"[=

1-(-2)3

所以，當(dāng)，，為奇數(shù)時(shí),久=幺2"-女2.

'33

解法二：

猜測：當(dāng)"為奇數(shù)時(shí),

猜測：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

〃=1,命題成立；

假設(shè)當(dāng)〃=攵時(shí)，命題成立；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bk=2'T-2人々+…+22-2,

當(dāng)〃=Z+1時(shí),〃為偶數(shù)，由bM+bk=2?伙eN*）得

kkkk22

bk+}=2-bk=2-2-'+2-+----2+2

故,〃=Z+1時(shí),命題也成立.

2"2

綜上可知，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)d=土-之

"33

同理，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.

與+|(〃為偶數(shù))

(3)由(2)可知“="

_一：(〃為奇數(shù))

、JJ

2"2

------1----

①當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，亡b=曾Q4&=是2"+2_3

2+2"+,+2

13

b?b?b,,

所以廣隨“的增大而減小從而當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，廣的最大值是皆=1.

%%4

22_2

②當(dāng)“為奇數(shù)時(shí),?=心得2“-2」3

%J+22川+2-22,,+|+2

33

h?bI31

所以廣隨〃的增大而增大，且廣n=7-不丁2<7<

%%22+22

bn

綜上,的最大值是L

b”+i

因此，若對于任意的〃eN",不等式b,<勸向恒成立，只需2>1,

故實(shí)數(shù)％的取值范圍是(1,”).

【點(diǎn)睛】

本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的

單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍，屬于難題.

20.(1)]x]—

(2)[-5,3]

【解析】

(1)零點(diǎn)分段法，分xW—2,-2<x<2,xN2討論即可;

(2)當(dāng)xe[0,2]時(shí)，原問題可轉(zhuǎn)化為：存在xw[0,2],使不等式一x—3W“W3—3x成立，即

(-％-3焉4加〈(3-3嘰”.

【詳解】

解：(1)若加=4時(shí)，|%—21+12x+4區(qū)6,

QQ

當(dāng)xW—2時(shí)，原不等式可化為一x+2—2x—4W6,解得X2-一，所以一

33

當(dāng)—2<x<2時(shí)，原不等式可化為2—x+2x+4W6,解得xWO,所以—2<x40,

4

當(dāng)尤N2時(shí)，原不等式可化為x—2+2x+4W6,解得—,所以xe0,

3

綜上述：不等式的解集為1%I-%W。｝；

(2)當(dāng)XE[0,2]時(shí)，由/(%)<|2%一5|得2-尤+|21+川區(qū)5-2x,

即12x+加區(qū)3—%,

故工一3《2工+〃243-彳得一4一34〃243—3%，

又由題意知：(-X-3)^<m<(3-3x)max,

即一54根<3,

故加的范圍為[—5,3].

【點(diǎn)睛】

本題考查解絕對值不等式以及不等式能成立求參數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.

In2

21.(1)。42;(2)---

3

【解析】

(1)求導(dǎo)/3=-!-1+@=-匚孚上[根據(jù)/(X)單調(diào)，轉(zhuǎn)化為V-6+120對X〉0恒成立求解

XXX

_%)_ci-J42-4_4

(2)由(1)知為，是工?—以+1=。的兩個(gè)根,不妨設(shè)玉<3令”兀=展二許=即浣可.根據(jù)

^-<a<~,確定將"")一"/)轉(zhuǎn)化為八\)一/(入)=_2+小1球.令〃(f)=—2+上匕型,

2242X]-x2%-尤2/-It-l

用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.

【詳解】

(1