人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章《平行線與相交線》培優(yōu)單元測(cè)試卷三（解析）

人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章《平行線與相交線》培優(yōu)單元測(cè)試

卷三（后詳解）

答案與試題解析

選擇題（共10小題）

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，可得答案.

解：由題意得

P到MN的距離是尸。垂線段的長(zhǎng)度，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義是解題關(guān)鍵.

2.如圖所示，4,三角板ABC如圖放置，其中NB=9O。，若N1=4O。，則N2的度數(shù)是

C.60°D.30°

【分析】作根據(jù)平行線的性質(zhì)得Nl=N/U3Q=40。，ZCBD=Z2,利用角的和差

即可求解.

解：作80/4,如圖所示:

,:BD//1、,Zl=40°,

/.Zl=ZABD=40o,

又?1/〃2,

/.BD//l2f

NC8￡>=N2,

又???NCBA=NCBD+ZABD=90。,

.*.ZCBD=50°,

/.Z2=50°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，角的和差等相關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)是作

輔線構(gòu)建平行線.

3.如圖，已知AE交CD于點(diǎn)O,AB//CD,乙4=50。，4=15。，則NC的度數(shù)為（

）

A.50°B.65°C.35°D.15°

【分析】由平行線的性質(zhì)可得N。。七的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)果.

解：?.?AB//CO,ZA=50°,

:.ZDOE=ZA=50°,

vZE=15°,

NC=ZDOE—ZE=50°—15。=35。，

故選：C.

，B

'D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)，綜合運(yùn)用性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵.

4.下列四個(gè)①5是25的算術(shù)平方根；②(-4)2的平方根是-4；②經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只

有一條直線與這條直線平行；④同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念、平方根的概念、平行公理、平行線的性質(zhì)判斷即可.

解：①5是25的算術(shù)平方根，本小題說(shuō)法是真命題；

②???(-4)2的平方根是±4,

???本小題說(shuō)法是假命題；

②經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，本小題說(shuō)法是真命題；

④???兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，

.??本小題說(shuō)法是假命題；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

5.如圖，把三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若Nl=32。，則N2的度數(shù)為()

A.68°B.58°C.48°D.32°

【分析】因直尺和三角板得AD//FE,44C=90。；再由AQ//FE得N2=Z3；平角構(gòu)建

Nl+Zfi4C+Z3=180。得Nl+N3=90°,已知N1=32?？汕蟪鯪3=58。，即N2=58°.

解：如圖所示：

B

,;ADI/FE,

/.Z2=Z3,

又?.?N1+ZBAC+N3=18O。，ZBAC=90°,

.?.Zl+Z3=90°,

又???N1=32。，

/.Z3=58°,

/.Z2=58°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，直角，平角和角的和差相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，重點(diǎn)是平

行線的性質(zhì).

6.如圖，把一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若4=55。，則N2的度數(shù)為（

）

C.55°D.25°

【分析】利用平行線的性質(zhì)可得N3的度數(shù)，再利用平角定義可得答案.

?AB//CD,

.-.Z1=Z3=55°,

/.Z2=180°-90°-55°=35°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

7.如圖，點(diǎn)￡在射線上，要只需（）

D

BE

A.ZA=NCBEB.ZA=ZCC.ZC=ZCBED.ZA+ZD=180°

【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論.

解：要ADUBC,只需NA=NCSE,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，N1和N2屬于同位角的有（）

【分析】根據(jù)同位角定義進(jìn)行解答即可.

解：①、N1和N2是同位角，故此選項(xiàng)符合題意;

②、/I和N2是同位角，故此選項(xiàng)符合題意；

③、N1和N2不是同位角，故此選項(xiàng)不合題意；

④、N1和N2不是同位角，故此選項(xiàng)不合題意；

⑤、N1和N2是同位角，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同位角，關(guān)鍵是掌握同位角定義.

9.如圖，將含30。角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，已知Nl=35。，則N2的

度數(shù)是（）

A.55°B.45°C.35°D.65°

【分析】根據(jù)直角可得出NC鉆的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到N2的度數(shù).

解：如圖，?.?NC4E=90。，Zl=35°,

1

B

CVD

Zfi4C=90o-35°=55°,

???AB//CD,

:.Z2=ZBAC=55°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角的和差，解題關(guān)鍵是求得々AC.

10.將一個(gè)正五邊形按如圖方式放置.若直線機(jī)//%則下列結(jié)論中一定成立的是()

A.Z1=2Z2B.Zl+Z2=180°C.Zl-Z2=36°D.2Z1-Z2=1O8°

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和多邊形的外角性質(zhì)可求N3與N1的關(guān)系，過(guò)A點(diǎn)作他//%

根據(jù)平行線的性質(zhì)可求N4與N3的關(guān)系，根據(jù)角的和差關(guān)系可求N5與N4的關(guān)系，再根據(jù)

平行線的性質(zhì)可求N2與N5的關(guān)系，從而求解.

解：(5-2)x180°4-5=108°,

180°-108°=72°,

則Z3=360°-72°x2-(l80°-Z1)=36°+Z1,

過(guò)A點(diǎn)作A8//九，

,/mlIn,

：.ml!ABIIn,

/.Z4=180°-Z3,Z2=Z5,

VZ5=1O8°-Z4,

/.Zl-Z2=36°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線的性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)和多邊形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)：兩直

線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

二.填空題（共7小題）

11.一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和為14,若調(diào)換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，新數(shù)比原數(shù)小36,則這個(gè)兩

位數(shù)是95.

【分析】設(shè)原來(lái)十位上數(shù)字為x,個(gè)位上的數(shù)字為y,分別表示出調(diào)換前后的兩位數(shù)，根據(jù)

題意列方程組求解.

解：設(shè)原來(lái)十位上數(shù)字為x,個(gè)位上的數(shù)字為九

fx+y=14

由題意得，'....,

[10x+y-（lOy+幻=36

(x=9

解得：［v=5

故這個(gè)兩位數(shù)為95.

故95.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找

出合適的等量關(guān)系，列方程組求解.

12.如圖“，已知長(zhǎng)方形紙帶將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、。分別落在H、G的

【分析】先根據(jù)"EF=72。求出NEFC的度數(shù)，進(jìn)可得出NEF5和的度數(shù)，根據(jù)

N"=90。和三角形的內(nèi)角和可得ZHMF的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)可得/GMN.

解：-.-AD//CB,

ZEFC+ZDEF=180°,ZEFB=ZDEF,

即ZEFC=180°-72°=108°,ZEFB=72°,

ZBFH=108°-72°=36°.

?.?ZH=ZZ)=90°,

ZHMF=180°-90°-36°=54°.

由折疊可得：ZNMF=ZHMF=54°,

.-.ZGA^V=72°.

故72.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得到角相等是解題關(guān)鍵.

13.如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿防折疊，點(diǎn)。落在邊上的〃點(diǎn)處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處,

若ZAEH=30°,則NEFC等于105°.

【分析】根據(jù)折疊得出=求出"EF的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZDEF+ZEFC=\S00,代入求出即可.

解：,?,將長(zhǎng)方形438沿所折疊，點(diǎn)。落在A3邊上的H點(diǎn)處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，

:.ZDEF=ZHEF,

■.■ZAEH=30°,

ZDEF=ZHEF=-(1800-ZAEH)=75°,

2

??,四邊形A8C。是長(zhǎng)方形，

:.AD//BC,

.-.ZDEF+ZEFC=l80°,

NEFC=180°-75°=105°,

故105.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出

ZDEF=ZHEF和ZDEF+ZEFC=180。是解此題的關(guān)鍵.

14.如圖，NB的內(nèi)錯(cuò)角是

大

BC

【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，

并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，從而得出答案.

解：的內(nèi)錯(cuò)角是NW。；

故440.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角、同位角和同旁?xún)?nèi)角的定義，解答此類(lèi)題確定三線八角是關(guān)

鍵，可直接從截線入手.對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到

對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義.

15.如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙條"8沿A尸折疊，點(diǎn)5落在點(diǎn)E處.已知ZM）5=24。，

AE//%>,則N4FE的度數(shù)是_33。

【分析】由折疊得：ZBFA=ZAFE,ZABC=ZE=90°,由平行線的性質(zhì)，得出

ZEAM=ZADB=24^,進(jìn)而求出N￡M4=66。，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得出

AAFE=-AEMA,求出答案.

2

解：由折疊得：ZBFA=ZAFE,ZABC=ZE=90°,

???長(zhǎng)方形

.-.AD//BC,

.-.ZBFA^ZMAF,

:.ZAFE=ZMAF,

-,-AE//BD,

.-.ZEAM=ZADB=24°,

.?.Z￡M4=90o-Z￡AM=90°-24o=66°,

ZAFE=ZMAF=-ZEMA=-x66°=33°.

22

故33°.

E

【點(diǎn)評(píng)】考查折疊軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，掌握平行線

的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

16.如圖，AD//BC,ZA￡>C=120°,ZBAD=3ZCAD,E為AC上一點(diǎn)，且ZA8E=2NC8E,

在直線AC上取一點(diǎn)尸，使NABP=N￡)C4,則NCBP:ZABP的值為2或4.

【分析】分兩種情況進(jìn)行解答，分別畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，利用三角形內(nèi)角和、平行線的性

質(zhì)，等量代換，得出各個(gè)角之間的倍數(shù)關(guān)系.

解：如圖，①當(dāng)=時(shí)，即N1=N2,

VZD=120°,

.?.Zl+Z3=180°-120o=60°,

■.■ZBAD=3ZCAD,ZABE=2ZCBE,AD!IBC,

.?.3Z3+3ZEBC=180°,

.?.Z3+ZEBC=60°,

NEBC=Z1=Z2=NRBE,

???NCm：NABZ］的值為2,

②當(dāng)ZABR=ZDCA時(shí)，NCB￡:ZABP2的值為4,

故2或4.

【點(diǎn)評(píng)】考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用等知識(shí)，畫(huà)出相

應(yīng)圖形，利用等量代換得出各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.圖1是一張足夠長(zhǎng)的紙條，其中PN//QM,點(diǎn)同、3分別在/W、上，記

ZABM=a（O0<a<90°）.如圖2,將紙條折疊，使3M與區(qū)4重合，得折痕84，如圖3,

將紙條展開(kāi)后再折疊，使與重合，得折痕將紙條展開(kāi)后繼續(xù)折疊，使80與

fy

重合，得折痕…依此類(lèi)推，第"次折疊后，乙鈦3=_180-*丁_（用含。和”的

代數(shù)式表示）

圖1圖2圖3

【分析】由折疊的性質(zhì)折疊〃次可得然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和及補(bǔ)角性質(zhì)可得答

案.

解：由折疊的性質(zhì)折疊"次可得陽(yáng)川=；x；x...x；a=￡

ryzy

在四邊形內(nèi)有四邊形的內(nèi)角和為360。知：ZBRnN=360°-90°-90°-—=180°--

ccCLa

ZARN=Z.BRN-NR,內(nèi)用8=180。--------=180——.

“nn?+l2〃2〃2"Tr

故180-券ct?

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是折疊，掌握其性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵.

三.解答題（共6小題）

18.【學(xué)科融合】

物理學(xué)中把經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)。并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射光線與法線的夾角i叫

做入射角，反射光線與法線的夾角「叫做反射角(如圖①).由此可以歸納出如下的規(guī)律：

在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一平面內(nèi)；反射光線、入射光線分別位于

法線兩側(cè)；反射角等于入射角.這就是光的反射定律(啖c成山〃助.

【數(shù)學(xué)推理】如圖1,有兩塊平面鏡OM,ON,旦OM上ON,入射光線他經(jīng)過(guò)兩次反射，

得到反射光線8.由以上光的反射定律，可知入射角與反射角相等，進(jìn)而可以推得他們的

余角也相等，即：N1=N2,Z3=Z4.在這樣的條件下，求證：AB//CD.

【嘗試探究】?jī)蓧K平面鏡,ON,且=入射光線A8經(jīng)過(guò)兩次反射，得到反

射光線CD.

(1)如圖2,光線9與8相交于點(diǎn)￡,則NBEC=_180。-2a_；

(2)如圖3,光線AB與8所在的直線相交于點(diǎn)E,CBED=/3,則々與夕之間滿(mǎn)足的等

［分析/數(shù)學(xué)推理】根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得Nl=N2,/3=N4,再利用N2+N3=90。

得出Nl+N2+N3+N4=180。，即可得出NDCE+NABC=180。，即可證得AB//CD；

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得N2+N3=125。，根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得NI=N2,

Z3=Z4,再利用NDG5=18O?！?N3,ZABC=180°-2Z2,得

ZBEC=180°-ZABC-ZBCD；

(2)利用平角的定義得出/4BC=18(T-2N2,ZBCD=180°-2Z3,利用外角的性質(zhì)

/BED=ZABC-/BCD=(180°-2Z2)-(180°-2Z3)=2(/3-N2)=￡,而

ZBOC=Z3-Z2=a,即可證得夕=2a.

解：如圖1,?.?OM_LON,

/.NCON=90°,

.?.Z2+Z3=90°,

?.?N1=N2,Z3=Z4,

.-.Zl+Z2+Z34-Z4=180°,

ZDCB+ZABC=\SO0,

AB//CD；

【嘗試探究】

(1)如圖2,在△03。中，vZCOB=55°,

/.Z2+Z3=125°,

?.?N1=N2,Z3=Z4,

.-.ZDO?=180°-2Z3,ZABC=180°-2Z2,

??.ZBEC=180°-ZABC-ZBCD

=180°-(l80°-2Z2)-(180°-2Z3)

=2(Z2+Z3)-180°

=2(180°-a)-180°

=180。-2c,

故180。-2a；

(2)如圖4,B=2a,

理由如下：?.?N1=N2,Z3=Z4,

/.ZABC=180°-2Z2,

ZBCD=180°-2Z3,

ND=ZABC—/BCD

=(180°-2Z2)-(180°-2/3)

=2(Z3-Z2)=Z/?,

???N8OC=Z3-N2=a,

.?.尸=2a.

故尸=2a.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.已知直線4〃4,且4與4，4分別交于A,3兩點(diǎn)，乙與4,與4相交于C，。兩點(diǎn)，

點(diǎn)P在直線鉆上運(yùn)動(dòng).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在A,B兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究/I,Z2,N3之間的關(guān)系，并說(shuō)明;

（2）如圖2,A點(diǎn)在3處北偏東32。方向，A點(diǎn)在C處的北偏西56。方向，應(yīng)用探究（1）

的結(jié)論求出44c的度數(shù)；

⑶如果點(diǎn)P在A,8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出相應(yīng)圖形并直接寫(xiě)出NACP,ZBDP,Z.CPD

圖1圖2

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作C2//AC,交CD于點(diǎn)Q,由尸Q///J4結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等”找出“N1=NCP。，N3=NOPQ"，再通過(guò)角的計(jì)算即可得出結(jié)論；

（2）分別在8點(diǎn)和A點(diǎn)處畫(huà)方位圖，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AC,交CD于點(diǎn)Q,

由PQHIJH2結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找出“NQPC=ZACP,NQPD=NBDP”，

再通過(guò)角的計(jì)算即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)尸在8點(diǎn)下方時(shí).，過(guò)點(diǎn)尸作PQ//AC,交8于點(diǎn)Q,

利用①的方法可得出結(jié)論.

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、8兩點(diǎn)間滑動(dòng)時(shí)，N2=N1+N3保持不變.

理由：過(guò)點(diǎn)P作尸Q〃AC,交CD于點(diǎn)、Q,如圖1所示，

/.Nl=NCPQ,

又?.?PQ//4C,BD//AC,

/.PQ//BD,

N3=NOPQ,

/.Zl+Z3=ZCPQ+ZDPQ,

即N1+Z3=N2.

(2)分別在3點(diǎn)和4點(diǎn)處畫(huà)方位圖，如圖2所示,

由(1)知：Z2=Z1+Z3

/.ZBAC=32°4-56°=88°.

(3)ZCPD=tZACP-ZBDP|.

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作PQ//AC,交CD于點(diǎn)Q,如圖3所示.

.?./QPC=/ACP.

又?.?PQ//AC,BD//AC,

/.PQ//BD,

：.NQPD=ZBDP.

又???NCPD=NQPD-ZQPC,

4CPD=ZBDP-ZACP；

②當(dāng)點(diǎn)P在8點(diǎn)下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AC,交CD于點(diǎn)Q,如圖4所示.

綜上所述：NCPDJZACP-NBDPT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及方向角的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行線的

性質(zhì)找出"N1=NCPQ,N3=NOPQ”；（2）利用（1）中結(jié)論進(jìn)行計(jì)算；（3）需要分

情況討論，解決該題型題目時(shí)，利用平行線的性質(zhì)找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵.

20.如圖，點(diǎn)C,8分別在直線MN,P。上，點(diǎn)A在直線M/V,PQ之間,MN//PQ.

（1）如圖1,求證：ZA=ZMCA+ZPBA；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)C作C0//A5,點(diǎn)E在PQ上,ZECM=ZACD,求證：N4=N￡GV；

（3）在（2）的條件下，如圖3,過(guò)點(diǎn)5作尸。的垂線交CE于點(diǎn)尸，加尸的平分線交AC

于點(diǎn)G,若NDCE=NACE,NCFB=pCGB,求乙4的度數(shù).

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作平行線，證出三條直線互相平行，由平行得出與NACM和/4BP相

等的角即可得出結(jié)論；

（2）由CD//AB,可得同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，再結(jié)合NECM與NECN的鄰補(bǔ)角關(guān)系，可得結(jié)論;

（3）延長(zhǎng)C4交P。于點(diǎn)H,先證明NMC4=NACE=NECE>,ZABP=ZNCD,再設(shè)

ZMCA=ZACE=NECD=x,由（1）可知NCFB=NFCN+NFBQ,從而NC尸8=270—2x,

列出方程解得x值，則不難求得答案.

解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AO//MN

MC

圖1

?/MN//PQ,AD//MN

:.AD//MN//PQ

ZMCA=Z.DAC,ZPBA=ZDAB

.?.ZCAB=ADAC+Z.DAB=ZMCA+/PBA

即：ZA=ZMG4+ZPBA；

(2)\CD//AB

/.ZA+ZACD=180°

?.?NECM+ZECN=180°

又ZECM=ZACD

:,ZA=ZECN；

(3)如圖，延長(zhǎng)C4交尸。于點(diǎn)H

圖3

?/ZECM=ZACD,ZDCE=ZACE

??.ZMCA=ZACE=ZECD,

-MN//PQ

:"MCA=ZAHB

ZC4B=180°-ZBAH=ZAHB+ZPBA,且由(2)知NC45=ZECV

:.ZABP=ZNCD

設(shè)NMC4=NACE=NECD=x

由(1)可知NCFB=NFCN+NFBQ

,-.ZCFB=210-2x

由(1)可知NCG3=ZMCG+NG3P

ZCGB=135--x

2

31

270-2x=-(135——x)

22

解得：x=54°

:.ZAHB=54°

/.ZAfiP=ZWCD=180°-54°x3=18°

.?.ZC4B=54O+18O=72°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)及一元一次方程在計(jì)算問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)

系并正確列式是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，已知AQL3C,垂足為點(diǎn)￡),EFLBC,垂足為點(diǎn)尸，Zl+Z2=180°,請(qǐng)?zhí)?/p>

寫(xiě)NCG￡>=NC4B的理由.解：因?yàn)锳D_L3C,EF工BC(已知),

所以NADC=90°,ZEFD=90°().

所以NA￡>C=NEH>().

所以A￡?//EF().

所以N2+N3=180°().

因?yàn)?1+/2=180。(),

所以N1=N3().

所以/9G//A8().

所以NCGO=NC4B().

【分析】求出4）//EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N2+N3=180。，求出N1=N3,根據(jù)平行

線的判定得出DG//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NCGD=ZCAB即可.

解：-.-AD^BC,EFA.BC（已知），

:.ZADC=90°,NEFC=90°（垂直定義），

/.ZADC=NEFD,（等量代換）

:.AD//EF（同位角相等，兩直線平行），

.-.Z2+Z3=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），

-.?Zl+Z2=180°（已知），

.-.Z1=Z3（同角的補(bǔ)角相等），

.-.DG//AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

:.NCGD=NCAB（兩直線平行，同位角相等）.

故己知，垂直定義，同位角相等，兩直線平行，兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，己知，同角的

補(bǔ)角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，兩直線平行，同位角相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，補(bǔ)角定義的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)

行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，反之亦然.

22.（1）證明：兩條平行線被第三條直線所截，一對(duì)同旁?xún)?nèi)角的角平分線互相垂直.

已知：如圖①，AB//CD,直線MN分別交直線相，CD于點(diǎn)E,F.

求證：.

證明：

①②③

（2）如圖②，ABUCD,煎E、F分別在直線AB、CD上,EM//FN,ZAEM與NCFN

的角平分線相交于點(diǎn)O.求證：EOVFO.

（3）如圖③，ABUCD,點(diǎn)、E、尸分別在直線4?、C。上，EMHPN,MP//NF,ZAEM

與NCFN的角平分線相交于點(diǎn)O,ZP=102°,求NO的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義即可證明；

(2)延長(zhǎng)EM交CD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)。作OP//8交ME于點(diǎn)P,結(jié)合(1)的方法即可證

明；

(3)延長(zhǎng)e0、FN交CD于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作OP//CZ)交于點(diǎn)P.結(jié)合(1)的方法可

得ZAEM+2CFN=NEQF=102°,再根據(jù)角平分線定義即可求出結(jié)果.

(1)己知：如圖①，AB//CD,直線分別交直線AB,CD于點(diǎn)、E,F

求證：OEA.OF；

證法

/.ZAEF+NCFE=180°,

,:OE、。尸分別平分NA￡F、ZCFE,

NOEF+ZOFE=-ZAEF+-NCFE=90°.

22

Z.OEF+Z.OFE+ZEOF=180°,

:.ZEOF=90°.

.-.OE±OF；

證法2：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP//C￡＞交直線MN于點(diǎn)P.

①

?.?ABHCD,

.■.ZAEF+ZCFE=1S00,

?;OE、OF分別平分NA￡尸、ZCFE,

ZAEO+4CFO=-ZAEF+-ZCFE=90°.

22

.OP//CD,AB!/CD,

:.OP/!AB.

NEOF=ZEOP+乙POF=ZAEO+Z.CFO=90°.

：.OEVOF

故直線MN分別交直線A3,CD于點(diǎn)、E,F,OE±OF；

(2)證明：如圖，延長(zhǎng)EM交8于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)O作OP//CD交M石于點(diǎn)P,

②

\AB//CD9

.?.ZA￡G+NCGE=180。，

\-EMHFNf

4CGE=4CFN.

???OE、O尸分別平分ZAHM、NCFN,

:.ZAEO+ZCFO=-ZAEM+-ZCFN=-ZAEM+-ZCGE=90°

2222f

\-OPHCD,AB//CD,

:.OP//AB.

.?./EOF=ZEOP+ZPOF=ZAEO+ZCFO=90°.

.\OE±OF；

(3)解：如圖，延長(zhǎng)EM、FN交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)O作OG//CD交ME于點(diǎn)G.

③

?：EMIIPN,FN//MP,

AEQF=NEMP=ZP=102°,

由（1）證法2可知NAEM+NCFN=NEQF=102。,

:OE、。尸分別平分NA￡M、NCFN,

ZEOF=ZAEO-^-ZCFO

=-ZA￡M+-i-ZCfW=-xlO2°=51°.

222

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線

的判定與性質(zhì).

23.己知，AB//CD,CF平分NECD.

(1)如圖1,若ZDC