2023-2024學年湘教版必修第二冊 4-4-2平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定 學案

第1課時平面與平面垂直的判定教材要點要點一二面角二面角的定義從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫作二面角二面角的相關概念這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面二面角的畫法二面角的記法二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q二面角的平面角定義在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫作二面角的平面角圖形范圍∠AOB的范圍是狀元隨筆（1）二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量．（2）二面角的平面角的大小與O點選取無關．要點二兩個平面互相垂直的定義1.兩個平面相交，如果它們所成的二面角是角，就說這兩個平面互相垂直．2.平面α，β互相垂直，記作Ｗ．3.畫法：要點三平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一個平面過另一個平面的，那么這兩個平面垂直a⊥βa?狀元隨筆（1）兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個面都是互相垂直的．（2）兩個平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點：都是通過所成的角是直角定義的．（3）判定定理的關鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應用的關鍵是在平面內尋找另一個面的垂線．基礎自測1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）二面角的平面角所確定的平面與二面角的棱垂直．（）（2）對于確定的二面角而言，平面角的大小與頂點在棱上的位置有關．（）（3）已知一條直線垂直于某一個平面，則過該直線的任意一個平面與該平面都垂直．（）（4）平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β.（）2.在二面角α-l-β的棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是（）A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β3.如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有對．題型1二面角及其平面角的概念例1（多選）下列命題正確的是（）A．兩個相交平面組成的圖形叫做二面角B．異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補C．二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內作射線所成的角的最小角D．二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系方法歸納（1）要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．（2）要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角面內的角的聯(lián)系與區(qū)別．（3）可利用實物模型，作圖幫助判斷．跟蹤訓練1若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角（）A．相等B．互補C．相等或互補D．關系無法確定題型2求二面角的大小例2如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中：（1）求二面角D′-AB-D的大??；（2）求二面角A′-AB-D的大?。椒w納（1）求二面角的關鍵是要找出二面角的平面角，而找平面角的關鍵是要找到二面角的棱上一點并分別在兩個面內與棱垂直的兩條射線．（2）由于二面角的平面角的大小與棱上一點的位置無關，所以在具體問題中，這個點經常選在一些特殊的位置，如線段的中點．跟蹤訓練2在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側面是腰長為3的等腰三角形，則二面角V-AB-C的余弦值的大小為（）A．23B．C．73D．題型3平面與平面垂直的證明角度1利用面面垂直的定義證明例3如圖，四面體A-BCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.證明：平面ACD⊥平面ABC.方法歸納證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：（1）找出兩相關平面的平面角；（2）證明這個平面角是直角；（3）根據(jù)定義，這兩個相交平面互相垂直．角度2利用面面垂直的判定定理證明例4如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1（側棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中點．求證：平面AB1M⊥平面ABB1A1.方法歸納利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從已知條件的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來解決．跟蹤訓練3如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點．求證：平面EBD⊥平面ABCD.eq\a\vs4\al(易錯辨析)判斷面面位置關系時主觀臆斷例5如圖所示，已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎？試說明理由．解析：因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因為BB1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，又AC?截面ACB1，所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.易錯警示易錯原因糾錯心得選錯直線D1B1，推導出D1B1與平面ACB1不垂直，得到平面BB1D1D與平面ACB1不垂直．判斷兩個平面垂直，只需說明其中一個平面經過另一個平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關系時，必須給出嚴格的推理過程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關系的實質．課堂十分鐘1.已知l⊥α，則過l與α垂直的平面（）A．有1個B．有2個C．有無數(shù)個D．不存在2.空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有（）A．平面ABC⊥平面ACDB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ADC⊥平面BCD3.從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝30°，則二面角α-l-β的平面角的大小是（）A．30°B．150°C．30°或150°D．不確定4.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關系是．5.如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PC和BD的中點，且EF⊥CD.證明：平面PCD⊥平面PAD.第1課時平面與平面垂直的判定新知初探·課前預習要點一兩個半平面[0°，180°]要點二1．直二面2．α⊥β要點三垂線[基礎自測]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：由二面角的平面角的定義可知．答案：D3．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對．答案：5題型探究·課堂解透例1解析：由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，所以A不對，實質上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故B正確；C中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故C不對；由定義知D正確．答案：BD跟蹤訓練1解析：如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當平面HDG繞DG轉動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個二面角的大小關系不確定，因為二面角H-DG-F的大小不確定．答案：D例2解析：(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小為45°.(2)因為AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD為二面角A′-AB-D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小為90°.跟蹤訓練2解析：如圖所示，取AB的中點E，連接VE，過V作底面的垂線，垂足為O，連接OE.根據(jù)題意可知，∠VEO是二面角V-AB-C的平面角．因為OE＝1，VE＝32-1＝22，所以cos∠VEO＝OEVE＝答案：B例3證明：由題設可得△ABD≌△CBD，從而AD＝CD.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.如圖，取AC的中點O，連接DO，BO，則DO⊥AC，DO＝AO.又因為△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.例4證明：連接A1B交AB1于O，連接MO，易得O為A1B，AB1的中點，∵CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴CC1⊥AC，又M為CC1的中點，AC＝CC1＝6，∴AM＝32+6同理可得B1M＝35.∴MO⊥AB1.連接MB，同理可得A1M＝BM＝35.∴MO⊥A1B，又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B?平面ABB1∴MO⊥平面ABB1A1，又MO?平面AB1M，∴平面AB1M⊥平面ABB1A1.跟蹤訓練3證明：如圖，連接AC，與BD交于點F，連接EF.∵F為?ABCD的對角線AC與BD的交點，∴F為AC的中點．∵E為SA的中點，∴EF為△SAC的中位線，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又∵EF?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.[課堂十分鐘]1．解析：由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．答案：C2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD答案：D3．解析：若點P在二面角內，則二面角的平面角為150°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為30°.答案：C4．解析：因為PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的投影必落在△ABC