2023-2024學年湘教版必修第二冊 6-4數(shù)學建模案例三周期問題 學案

6.4數(shù)學建模案例(三)：周期問題發(fā)現(xiàn)問題我們學習了三角函數(shù)的有關(guān)知識，知道三角函數(shù)具有周期性．三角函數(shù)的周期性對研究三角函數(shù)的其他性質(zhì)也很有幫助，如研究了某個周期的性質(zhì)、特征，就可以得到這個函數(shù)定義域內(nèi)的性質(zhì)、特征．周期性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)之一，但周期性又不是三角函數(shù)所獨有的性質(zhì)，現(xiàn)實世界中的許多運動、變化都有著循環(huán)往復、周而復始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律也是周期性．提出問題同學們在生活和學習中留意過周期現(xiàn)象嗎？請列舉并簡單說明你知道的一些周期現(xiàn)象，研究你熟悉的一些周期現(xiàn)象規(guī)律．分析問題周期現(xiàn)象在我們的身邊無處不在，并且豐富多彩，內(nèi)容廣泛，可以涉及天文、地理、自然、生理、音樂等很多方面．1．學科方面．請列舉數(shù)學、物理、化學中的一些周期現(xiàn)象．2．人體方面．請列舉人體方面的一些周期現(xiàn)象．3．自然方面．請列舉自然界的一些周期現(xiàn)象．4．其他方面．請列舉一些除前述現(xiàn)象外的其他熟悉的周期現(xiàn)象．解決問題1．學科方面．(1)數(shù)學中，除了三角函數(shù)外，還有其他的周期現(xiàn)象．如：若函數(shù)f(x)滿足f(1)＝2，f(x＋1)＝1－1fx，那么當x∈N*時，f(x)的函數(shù)值就具有周期性，其值域為(2)物理中，更是存在大量的周期現(xiàn)象，如圓周運動、單擺、彈簧及簡諧振動、交流電等．下面以交流電為例，做簡單介紹．交流電一般指大小和方向隨時間作周期性變化的電壓或電流，它的最基本形式是正弦電流．我國交流電供電的標準頻率規(guī)定為50Hz.交流電隨時間變化的形式可以是多種多樣的，不同變化形式的交流電其應用范圍和產(chǎn)生的效果也是不同的．正弦交流電應用最為廣泛，其他非正弦交流電，一般都可以經(jīng)過數(shù)學處理后，化成正弦交流電的疊加．正弦電流i＝Imsin(ωt＋φ0)是時間的簡諧函數(shù)，其圖象如下圖所示．由此可知，正弦交流電需用頻率(周期)、峰值和位相三個物理量來描述．(3)化學中，如元素周期表，其中元素的排列、核外電子數(shù)、元素的性質(zhì)等都存在大量的周期現(xiàn)象．2．人體方面．(1)人體溫度．正常人的體溫在37°左右，但在一天中的不同時刻，體溫也不盡相同，下圖是一天24小時內(nèi)某人體溫的變化情況：由圖可知，體溫具有比較明顯的周期性．(2)心臟跳動．下圖是某人的心電圖．由圖可知，心臟跳動具有明顯的周期性．(3)毛發(fā)生長．毛發(fā)的生長也具有周期性，它的生長周期一般可分為生長期、休止期、退行期(或脫落期)．人的頭發(fā)的生長周期為3～5年，少數(shù)可達10年以上，休止期可能不超過2～3個月，退行期約1～2個月，而眉毛、睫毛的生長期為2個月，休止期可以長達9個月．當然毛發(fā)的生長速度受性別、年齡、部位和季節(jié)等因素的影響很大．3．自然方面．(1)天體運動．周期現(xiàn)象在天體運動中是很常見的，如地球的自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)具有周期性；太陽的周期性活動：黑子現(xiàn)象的周期為11年；由于地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)軌道的影響，使地球溫度變化有一個6000年周期．(2)時間變化．人們對時間的定義很多依據(jù)自然現(xiàn)象，如中國歷法以月球繞地球一周的時間(29.5306天)為一月，以地球繞太陽一周的時間(365.2419天)為一年．類似的時間問題還很多，如60s＝1min，60min＝1h，24h＝1天，7天＝1周．中國的24個節(jié)氣：立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．(3)地殼運動．大氣、土壤、水、海洋物質(zhì)在地球表面隨著時間的變化而變化，這些物質(zhì)對地球壓力負荷的變化會引起地殼的變形，在垂直方向尤為明顯．下圖是上海某觀測站的觀測結(jié)果圖，分別依次表示該地的大氣壓力負荷、土壤水負荷及海底壓力負荷引起的地殼垂直方向位移變化．從圖象可知，它們都具有明顯的周期性．4．其他方面(1)音樂娛樂．音樂娛樂中有很多周期現(xiàn)象，如歌曲的節(jié)拍、舞蹈中的韻律．在一首歌曲中常常會有一段音符反復出現(xiàn)，這就是它的主旋律，它表達了該樂曲的主題，也就是說樂曲的主旋律是通過周期性表達的．(2)電視節(jié)目．電視臺的不同欄目播出的時間周期是不同的，有的以一小時為一個周期，如中央臺新聞頻道的正點新聞；有的以一天為一個周期，如中央臺的新聞聯(lián)播；有的以一周為一個周期，如某臺的每周“周末體育”節(jié)目．(3)經(jīng)濟方面.2004年的諾貝爾經(jīng)濟學獎頒發(fā)給了兩位經(jīng)濟學家，以表彰他們對經(jīng)濟學中真實周期理論所做的貢獻，長期以來，古典經(jīng)濟學不承認有周期問題，他們認為市場可以調(diào)節(jié)波動，所以在經(jīng)濟學中研究周期