數(shù)學(xué)初高中學(xué)銜接教育

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

目錄

引入乘法公式

一、方程與不等式

1.課時一：十字相乘法（重、難點(diǎn)）

2.課時二：解一元二次方程

3.課時三：一元二次不等式解法

二、函數(shù)與方程

1.課時四：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

2.課時五：二次函數(shù)丫=2乂2+6*+?的圖象和性質(zhì)

前言：初、高中數(shù)學(xué)銜接的問題分析

教材分析：

①初中數(shù)學(xué)教材較通俗易懂，難度相對高中較小，大多研究的是常量，且較多的側(cè)重于

定量計(jì)算，而高中數(shù)學(xué)教材較多的研究的是變量，不但注重定量計(jì)算，而且還常需作定性研究。

②為了適應(yīng)義務(wù)教育要求，初中數(shù)學(xué)教材降低幅度較大，而高中由于受客觀上升學(xué)壓力和評價

標(biāo)準(zhǔn)的影響，實(shí)際難度難以下降，且又增加了應(yīng)用性的知識，因此在一定程度上，反而加大了

高、初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的臺階。

③部分教學(xué)內(nèi)容已由原來的初中講授移到高中講授（如常用對數(shù)、二次函數(shù)的圖象法），而高中

一些教師對調(diào)整后的大綱要求認(rèn)識不夠，而對編在附錄內(nèi)的內(nèi)容認(rèn)為初中講了，而未講這部分

知識，形成了初、高中兩不管的教材，給學(xué)生后繼過程學(xué)習(xí)帶來了極大的困難。初高中銜接，

不是單純的知識銜接，更不是買一本“銜接教程”，利用暑假提前上課，或讓學(xué)生自學(xué)就當(dāng)已經(jīng)

銜接過了.初高中銜接，是一個嚴(yán)肅、重要的教學(xué)任務(wù)，通過調(diào)查分析研究，整理出一份與以

前知識、高中教師原有認(rèn)知相比的需要銜接設(shè)想，供新課程教學(xué)實(shí)施的教師參考

乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a—力)=。2；

(2)完全平方公式(a+bj=d+2ab+.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(h-ah-2b)=3a+；

(2)立方差公式(a-b)(a+ah2b)=3a-；

(3)三數(shù)和平方公式(a+Z?+c)2=a2++2(ab++ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(4+/7]=d+3d加3a2b+；

(5)兩數(shù)差立方公式3-b)3=a3-3a2b+3加一b3.

對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明

課時一：十字相乘法(重、難點(diǎn))

十字相乘法

例1分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)f+以一12；

(3)X1-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如圖1.1-1,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1

與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是/-3%+2中的一次項(xiàng)，所以,

有

x2—3x+2=(x—1)(%—2).

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時，可以直接將圖1.1—1中的兩個x用1來

表示(如圖1.1—2所示).

(2)由圖1.1-3,得

?^+以-12=(九一2)(尤+6).

(3)由圖1.1—4,得

x2~(a+b)xy+ahy2=(x-ay)(x-by)

(4)xy-\+x-y=xy+(x—^)—1

=(x-l)(y+l)(如圖1.1—5所示).

十字相乘法習(xí)題演練

(1).(x+2)(x+3)=(2).(x+2)(x—3)=

(3).(x—2)(x+3)=(4).(x—2)(x—3)=

(5).(x+a)(x+〃)=(6).x2+3x+2=

(7).x2-7x+6=(8),X2-4X-21

(9).x2—2,x—15(10)2x?—x—3

(11)2X2+5X-1(12)3cr-2a-\

(13)X2+9X+8=(14)X2-7X+12=

(15)-?2-4a+21=(16)/-36-28=

(17)7X4-5X2-2(18)(%+?+(x+_y)-20

(19)X4-X2-20=(20)?2x2+76ix-8=

(21)4一9燦+14/=(22)-/_4/+12。=

三.十字相乘法課后習(xí)題鞏固

1.+3x+22.+6x+53.+12x+11

4.廠+18x+175.+4x+36.—4x+3

7.+2x—38.—2x—39.—7x+6

10.—5x—611.+x-612.x~-x—6

13.25—26a+14.%4-廠-2015.x4+6x?+8

16.+7元2-1817.x2-3孫+2/18.a2-9ah+14/72

19.u.x^—1ax—820-m2n2+3mn—1021.y2-13y/?+36Z?2

22.—優(yōu)—10〃+923,-a3-4a2+\2a24.x2y2-5x2y-6x2

25.(tz+Z?)2-4(a+Z?)x+326.(x+2y)2+3(x+2y)-1027.(x2+4x)2+7(x2+4x)+12

28.2x2—x—329.2x2+5%-730.3/—2a—1

課時二：解一元二次方程

一般地，由多項(xiàng)式乘法，x2+(a+b)x+ab-(x+a)(x+b)

則方程/+(。+8)X+。。=0的兩根為為=-a,x=-b

法一：用十字相乘法解一元二次方程

⑴/—3X+2=0(2)X2-2X-8=0

解:(x~l)(x~2)=0.解：(x—4)(x+2)=0

xx

1=1,x2=2.]=4X2=—2

法二：用求函公式解一元二次方程

1.嘗試用十字相乘解下列方程

(1)2X2+X-6=0；(2)X2+4X=2；

(3)5X2-4X-12=0；(4)4X2+4X+10=1-8X

結(jié)論：通過演練發(fā)現(xiàn)上面四道題無法用十字相乘法解決，這時引入初中所學(xué)的求根公式法

大家知道，一般地,對于一元二次方程a^+bx+c=O(a^O),當(dāng)b2-4ac^0時，方程有兩個實(shí)數(shù)根：乩2=

—b+\1~b—Acic

——-------；當(dāng)從一4改<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根方程沒有實(shí)數(shù)根.盡管如此，我們在具體求解時還應(yīng)注

2a

意以下幾個問題：

一、注意化方程為一般形式

例1解方程：6f+3x=(l+2x)(2+x).

分析將原方程整理成一元二次方程的一般形式后確定〃、仇c的值，代入求根公式求解.

解原方程可化為：4/—x—2=0.

因?yàn)閍=4,b=—\,c=—2,所以4ac=(-1)2—4X4X(-2)=33>0.

-b土加-4ac_-(-1)±屈_1土屈

所以x2^4

1+V331一后

即XI=X2=

-8

說明對于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的一元二次方程，一定要依據(jù)有關(guān)知識將其化為一般形式，然后才能想到運(yùn)用

求根公式.

二、注意方程有實(shí)數(shù)根的前提條件是〃一4〃c20

例2解方程：3f=5x-4.

分析先移項(xiàng)，化原方程為一般形式，確定。、b、c的值，再估算一下〃一4以?的值.

解移項(xiàng)，得—5x+4=0.

因?yàn)閍=3,b——5,c—4,所以"一4“c=-23<0,因此一元二次方程無實(shí)數(shù)解.

說明由本題的求解過程，我們可以看出在解一元二次方程時，化一元二次方程為一般形式，確定人反

_-b士飛『-4ac_

c的值后，估算一下〃一4“c的值非常重要，不然就有可能出現(xiàn)下列的錯誤:內(nèi).2

2a6

三、注意人b、。的確定應(yīng)包括各自的符號

例3解方程：2^—5/1=0.

分析已知方程已經(jīng)是一般形式，只要對號入座地寫出。、氏c,再求從一4a的值，最后即求解.

解因?yàn)?=2、6=—5、c=\,所以〃―4a=(—5)2—4X2Xl=17>0.

-b土正—4ac——(―5)±舊5±歷

所以x=

2a2x24

即x尸任叵5-717

，X2=

44

說明確定出a、h.C的值，應(yīng)注意兩個問題：一是要化原方程為一般形式，二是要注意連同〃、b.C

本身的符號，特別是“一”號更不能漏掉.

四、注意一元二次方程如果有根，應(yīng)有兩個

例4解方程：總一2月)+3=0.

分析將原方程化為一般形式后代入求根公式.

解原方程可化為A2—2百x+3=0.因?yàn)椤?1、6=—2百、c=3,所以4〃=(一28)2—4X1X3=

0.

所以x=±±史三還=3%夕=百

2a2x1

所以用=12=

說明當(dāng)4a=0時表明原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以在具體作答時不能出現(xiàn)x=石的錯誤.

五、求解出的根應(yīng)注意適當(dāng)化簡

例5解方程：1-0.

分析因?yàn)椤?2,b=—2,c=-1,所以〃-4〃c=(-2)2—4x2x(—1)=12.

,-b±\Jb2-4ac2±V122±2百

pfr以r=--------------=--------=--------.

1+73

所以為=~2-

說明本題利用求根公式求得的結(jié)果時應(yīng)約去分子與分母中的公約數(shù)，以便使結(jié)果簡便，值得注意的是,

在化簡時一定要注意不能出現(xiàn)差錯.

一元二次方程習(xí)題演練

(1).+2%—3=0(2).x~+3x—4=0

(3).2x2+2x+4=0(4).x2+2x+2=0

(5).3x2+2%+3=0(6),x2+6x4-9=0

(7).-x2-7x+6=0(8).2x~+2x+3=0

(9).x2-2x-15=0(10)2X2-X-3=0

(11)-2X2+5^-7=0(12)x2-2x+3=0

(13)X2+9%+8=0(14)X2-7X+12=0

(15)3x2+2x+3=0(16)x2-2x-3=0

三.一元二次方程課后習(xí)題鞏固

1.—+2x+1=02.x2+6x+5=03.x~+12x4-11=0

4.V-61+9=05.x~+4x+3=06.x?—4x+3=0

7.x~+2x-3=08.—2x-3=09.x~—7x+6~0

10.廠—5x—6=011.x~+3x—6=012.2廠—x—6=0

13.x2-x-6=014.2x~—3x—6=015.x~-x-7=0

16.2x2-2x-6=017.3x~-x—6=018.X2-4X-4=0

19.2x2-x=020.-2%2一%=。21.—x~—x—6=0

22.2x2—x-6=023.2J?—X—6=024.2/一工一7=0

25.2%2—x—3=026.2%2+5x—7—027.4x?-x—6=0

課時三：一元二次不等式解法

一次不等式ax〉b,若a>0,解集為；若a<0,解集為；若a=0,則當(dāng)

b20時，解集為；當(dāng)b<0時，解集為.

2.一元一次不等式組(a〉b).若“"則解集為____；若“:"則解集為—；若則

x>b[x<b[冗

解集為;若則解集為________.

x>b

3.若ax'+bx+c>0是一元二次不等式，則a.

2

4.若ax+bx+c=0有兩個不等實(shí)根X,,x?且Xi>x2,那么一元二次不等式ax,bx+c>。(a>0)的解集

為；ax?+bx+c<0(a>0)的解集為；若ax'+bx+cn。有兩個

相等實(shí)根x(),那么一元二次不等式ax'+bx+c>0(a>0)的解集為；若ax'+bx+c

=0沒有實(shí)根，那么一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集為.

一元二次不等式解法分析

法一：用十字相乘法解一元二次不等式

(1)x2-3x+2>0(2)x2-3x+2<0

解：(%—1)(%—2)>0.解：(x—l)(x-2)<0

進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論

x—1>0、x—1<0x?—1>0、x—1<0

或V<或V

x—2>0x-2<0x—2<0x-2>0

解得：X>2^x<1解得：l<x<2

(3)-X2+3X-2>0(2)-x2+3x-2<0

解：X2-3X+2<0解：X2-3X+2>0

(x-l)(x-2)<0(x—l)(x-2)>0

進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論

fx-l>0[x-l<0[x-l>0fx-l<0

或4J或J

x-2>0[x-2<0x-2>0-[x-2<0

解得：x><1解得：

法二：用求根公式解一元二次方程

(2)x2-2x-2<0

解分析先令式子/一2犬-2=0

因?yàn)閍=l,b=—2,。=一2,所以〃-4ac=(-2)2-4X1X(—2)=12>0.

-b+yjb'-Aac-(-2)±V12

所以x=------------=1±V3

2a2

即jq=l+VJ,X2=1-V3.

x2-2x-2<0

|x-(l+V3)1x-(1-司<0

解得：1—A/3<x<1+A/3

(1)X2-2X-2>0

解分析先令式子X2-2X-2=0

因?yàn)閍=l,b=-2,c=~2,所以4加=(-2)2—4X1X(—2)=12>0.

_-b+ylb2-4ac_-(-2)+4n_r-

所以x---------------------------------1±5/3

2a2

即X1=1+JJ,X2=1-V3.

—2x—2>0

|x-(l+⑸]x-(1-V3)]>0

解得：%>1+<1-V3

二.一元二次不等式習(xí)題演練

(1).x?+2x—3>0(2).x~+3x—4<0

(3).2x2+2x+4>0(4).x2+2x+2>0

(5).3x~+2x+3<0(6),+6x+9K0

(7).-x?-7x+6<0(8).2x2+2x+3<0

(9).r—2x—15<0(10)2r—x—320

(11)-2X2+5X-7>0(12)X2-2X+3<0

(13)/+9%+8<0(14)X2-7X+12>0

(15)3X2+2X+3<0(16)x~—2%—3<0

三.一元二次不等式課后習(xí)題鞏固

1.x"+2x+1K()2.x2+6x4-5>03.x"+12x+11<0

4.x2-6x4-9>05.+4x+3406.x?—4x+320

7.x，+2x—3<08.x~-2x-3>09.12-7%+6〈0

10.x2—5x—62011,x~+3x—6<012.2x?-x—6>0

13.%2—x-6>014.2x--3x—6V()15.廣—x—720

16.2x2—2x-6K017.3x?-x—6>018.X2-4X-4<0

19.2X2-X<020.-2廠—x<021.—x?—x—6N0

22.2^2-X-6>023.2廠—x—6>024.2x~-x—7>0

25?2%2-x―34026.2x2+5x-7<027.4X2-X-6>0

課時四：根與系數(shù)的關(guān)系

1.填寫表格并進(jìn)行觀察你能得出什么結(jié)論

xXx+x=xx=

方程\~2-]2}2

2

X—3x+2=0Xj=1x2=3X1+%2=3x{x2—2

2

X—2x—8=0玉=4x2=-2X1+x2=2X|X2=8

2

X-3x-4=0Xj=4%2=-]Xj+x2=3x}x2--4

9

x~—5x+6=0xl=2x2=3x1+x2=5xxx2--6

對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程f+px+g=O,若XI,X2是其兩根，則

Xl+%2=-p,X\-X2~q^

2.根與系數(shù)的關(guān)系

若一元二次方程加+/u+c=O（存0）有兩個實(shí)數(shù)根□

+-4ac-b-\Jb2-4ac

王

2a2a

則有

12

-h4-yjb-4ac-b—\Jh-4ac-2bb

X]+x2--------------1--------------

2a2a2aa

-b+yjb2-4ac-b-y/b2-4acb-(b-4ac)4acc

XjX2

la2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系:

hr,

如果ax2+〃x+c=0（存0）的兩根分別是XI，X2f那么Xl+%2=——，X1X2=—.這一關(guān)系

aa

也被稱為韋達(dá)定理.

特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程f+px+q=0,若光1,及是其兩根，由韋達(dá)定

理可知

陽+九2=-P，X\-X2—C{y

即p=—（Xl+x2）,q=X\-X2>

所以，方程f+px+qu?？苫癁閒—（?+尢2）工+汨式2=0,由于XI,犬2是一元二次方程f+

px+q=0的兩根，所以，Xl,X2也是一元二次方程（冗1+及）工+??12=0.因此有

以兩個數(shù)為，“2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是

X2-（Xl+x2）x+xrX2=0.

例1已知方程5/+乙-6=0的一個根是2,求它的另一個根及左的值.

分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另

一個根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個

根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和

求出％的值.

解法一：二？是方程的一個根，

???5x22+2x2—6=0,

:?k=-7.

所以，方程就為5/—7x—6=0,解得xi=2,X2=--.

5

3

所以，方程的另一個根為一；，%的值為一7.

解法二：設(shè)方程的另一個根為幻，則2xi=--,=

55

3k

由（一一）+2=--,得k=-7.

55

所以，方程的另一個根為一:，々的值為-7.

例2已知關(guān)于x的方程/+2（m-2）九十加2+4=0有兩個實(shí)數(shù)根，并且這兩個實(shí)數(shù)根的平

方和比兩個根的積大21,求相的值.

分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個根的積大21得到關(guān)于根的方程,

從而解得加的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實(shí)數(shù)根，因此，其根

的判別式應(yīng)大于零.

解：設(shè)X”X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得

xi+x2=-2（m-2）,xi-X2=m2+4.

,.*XI2+X22—Xl-X2==21,

...（XI+%2）2-3Xi-X2=21,

即［一2（加-2）］2—3（m2+4）=21,

化簡，得nr—16/72-17=0,

解得m=~\,或m=17.

當(dāng)機(jī)=一1時，方程為f+6x+5=0,A>0,滿足題意；

當(dāng)加=17時，方程為W+30x+293=0,A=302-4xlx293<0,不合題意，舍去.

綜上，加=17.

根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題演練

1、如果一元二次方程以2+/zx+c=0（a。0）的兩根為王,x2,那么/+》2=，.

2、如果方程V+px+q=0的兩根為修，x2,那么%|+%2=,x,x2=.

3、方程2——3x-1=0的兩根為％］,x2,那么再+》2=，X,x2=.

4、如果一元二次方程/+如+〃=0的兩根互為相反數(shù)，那么加=；如果兩根互為倒數(shù)，

那么"=.

5方程/+如+(〃-1)=0的兩個根是2和一4,那么m=,n=.

6、以西，9為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是.

7、以6+1,6-1為根的一元二次方程是.

8、若兩數(shù)和為3,兩數(shù)積為一4,則這兩數(shù)分別為.

9、若兩數(shù)和為4,兩數(shù)積為3,則這兩數(shù)分別為.

10、已知方程2/+3x-4=0的兩根為芭，x2,那么.

11＞若方程爐-6X+TM=0的一個根是3-后，則另一根是，機(jī)的值是___.

12、若方程/一(左—的兩根互為相反數(shù)，則％=_,若兩根互為倒數(shù)，則a=—.

三.根與系數(shù)的關(guān)系課后習(xí)題鞏固

1、如果方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩根是xi、X2,那么xi+x2=，xi?x2=

2^己矢口x］、X2是方程2x2+3x—4=0的兩個根，那么：xi+x2=;xi*x2=

11

---------1----------

Xi叼；X21+X22=；(xl+1)(X2+1)=;IXI—X2I

1o

3、以2和3為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為D是。

4、如果關(guān)于x的一元二次方程x2+四x+a=O的一個根是1一行，那么另一個根是,

a的值為o

5、如果關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2,那么k=。

6、已知方程2x2+mx—4=0兩根的絕對值相等，則［11=。

7、一元二次方程px2+qx+r=0(pW0)的兩根為。和一1,貝"q:p=。

8、已知方程x2—mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，則01=。

9、已知關(guān)于x的一元二次方程(a2—l)x2—(a+l)x+l=0兩根互為倒數(shù)，則@=。

10、已知關(guān)于x的一元二次方程mx2—4x—6=0的兩根為xi和X2，且xi+x2=—2,則m=

(xi+x2)=。

13

11、已知方程3X2+X—1=0,要使方程兩根的平方和為那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改為0

12、已知一元二次方程的兩根之和為5,兩根之積為6,則這個方程為。

13、若a、B為實(shí)數(shù)且Ia+B—3I+(2—a0)2=0,則以a、B為根的一元二次方程

為。(其中二次項(xiàng)系數(shù)為1)

14、已知關(guān)于x的一元二次方程*2—2加一1人+1112=0。若方程的兩根互為倒數(shù)，則m=

若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則1!1=。

15^已知方程x2+4x—2m=0的一個根a比另一個根B小4,則&=；B=

m=o

16、已知關(guān)于x的方程x2-3x+k=O的兩根立方和為0,則1<=

113

------1------=------

17、已知關(guān)于x的方程x2—3mx+2(m—1)=0的兩根為xi、X2,且?氣4,則!11=

18、關(guān)于x的方程2x2—3x+m=0,當(dāng)時，方程有兩個正數(shù)根；當(dāng)m時，

方程有一個正根，一個負(fù)根；當(dāng)m時，方程有一個根為0。

19、若方程X2—4x+m=0與X2—x—2m=0有一個根相同，則m=。

20、求作一個方程，使它的兩根分別是方程x2+3x—2=0兩根的二倍，則所求的方程為

21、一元二次方程2x2—3x+l=0的兩根與x2—3x+2=0的兩根之間的關(guān)系是。

22、已知方程5x2+mx—10=0的一根是一5,求方程的另一根及m的值。

課時五：二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象和性質(zhì)

｛情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，

如作圖(1)y=f(2)y=_/(?)丁=/+2》-3教師可采用計(jì)算機(jī)繪圖軟件輔助教學(xué)｝

問題1函數(shù)y=o?與的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2f,>=—22的圖象，通過這些函數(shù)圖

象與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y=o?與的圖象之間所存在的關(guān)系.

先畫由函數(shù)y=1，y=2f的圖象.

先列表:

X-3-2-10123.?.

?.?9410149?..

188202818

從表中不難看出，要得到2/的值，只要把相應(yīng),的/的值擴(kuò)大

兩倍就可以了.、V,yj=^

再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=幺，y=\\//2/的圖象(如

圖2—1所示)，從圖2—1我們可以得到這兩個函數(shù)\\//圖象之間的關(guān)

系：函數(shù)^=源的圖象可以由函數(shù)的圖象各\\//點(diǎn)的縱坐標(biāo)變

為原來的兩倍得到.

同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y\\//

"的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)的------科系-------《

圖象之間的關(guān)

系?

圖2.2-1

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)7=。—(存0)的圖象可以由y=X2的圖象各點(diǎn)的

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二次函數(shù)y=依2(存0)中，二

次項(xiàng)系數(shù)。決定了圖象的開口方向和在同一個坐標(biāo)系中的開

口的大小.

問題2函數(shù)y=a(x+/?)2+A與y=a?的圖象之間存在怎

樣的關(guān)系？

同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來

研究它們之間的關(guān)系.同學(xué)們可以作出函數(shù)y=2(x+l)2+l

與y=2/的圖象(如圖2—2所示)，從函數(shù)的同學(xué)我們不難

發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2?的圖象向左平移一個單位，再向上

平移一個單位，就可以得到函數(shù)y=2(x+l)2+l的圖象.這兩

個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn).

類似地，還可以通過畫函數(shù)y=-3_?,y=-3(x—l)2+l的圖象，研究它們圖象之間的相互

關(guān)系.

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=a(x+/i)2+A(a#))中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；無決定了二次

函數(shù)圖象的左右平移，而且“無正左移，人負(fù)右移”；女決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且”

正上移，上負(fù)下移,,.

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=a?+/；x+c(存0)的圖象的方法：

由于>=以2+法+。=。（『+2x）+c=a（f+2X+Av）+c——

aa4a4a

="（X+_L）2+b1-4ac

2a4a

所以，y=o?+云+c（WO）的圖象可以看作是將函數(shù)丁=加的圖象作左右平移、上下平移得

到的，于是，二次函數(shù)＞=加+笈+。（存0）具有下列性質(zhì)：

b4-cic—b2

（1）當(dāng)。＞0時，函數(shù)y="2+法+。圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-一,-------）,對稱軸為直線x=

2a4。

當(dāng)‘＜一.時’,隨著'的增大而減?。划?dāng)、＞一3時''隨著'的增大而增大；當(dāng)*=一5時'

4-cic—b~

函數(shù)取最小值y=.

4a

h4-cic—

（2）當(dāng)aVO時，函數(shù)y=〃/+以+c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一一,-------）,對稱軸為直線

2a4a

X=--t當(dāng)xV—2時，y隨著X的增大而增大；當(dāng)上＞一2時，y隨著X的增大而減小；當(dāng)x=—2時,

2a2a2a2a

4QC—力2

函數(shù)取最大值y=.

4a

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函

數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.

例1求二次函數(shù)y=-3f—6x+l圖象的開口方向、對稱

軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取

隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象.

解：*.,y=-3/—6x+l=-3（x+iy+4,

...函數(shù)圖象的開口向下；

對稱軸是直線x=-1;

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）；

當(dāng)x=-1時，函數(shù)y取最大值y=4；

圖2.2—5

當(dāng)xV—1時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x>—1時，y隨著x的增大而減小；

采用描點(diǎn)法畫圖，選頂點(diǎn)4—1,4））,與x軸交于點(diǎn)8（2①二2,0）和C（一2母口,0）,與

y軸的交點(diǎn)為。（0,1）,過這五點(diǎn)畫出圖象（如圖2—5所示）.

說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn),

減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確.

函數(shù)y^ax+bx+c圖象作圖要領(lǐng)：

（1）確定開口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定

（2）確定對稱軸：對稱軸方程為》=-幺

2a

（3）確定圖象與x軸的交點(diǎn)情況，①若△>（）則與x軸有兩個交點(diǎn)，可由方程,+以

+c=0求出②①若△=（）則與x軸有一個交點(diǎn)，可由方程/+&+c=0求出③①若

△<0則與x軸有無交點(diǎn)。

（4）確定圖象與y軸的交點(diǎn)情況，令x=0得出y=c,所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）

（5）由以上各要素出草圖。

練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖

(1)y=x2-X-6(2)y=x2+2x+l(3)y=-x2+1

例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y

（件）之間關(guān)系如下表所示:

X/元130150165

y/件705035

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售

價應(yīng)定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？

分析：由于每天的利潤=日銷售量yx（銷售價無一120）,日銷售量y又是銷售價x的一次函

數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)

系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值.

解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)了=日+（B）

將x=130,y=70；x=150,y=50代入方程，有

’70=130%+仇

50=150%+"

解得k=~l,0=200.

/.y=-x+200.

設(shè)每天的利潤為z（元），則

z=（-x+200）（x-120）=-^+320%-24000

=-（X-160）2+1600,

，當(dāng)尤=160時，z取最大值1600.

答:當(dāng)售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元.

例3把二次函數(shù)y=f+法+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位,得到函數(shù)），=1的圖像,

求6,c的值.

hh2

解法一：y^2+bx+c^（x+-）2+c--,把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到

X24

y=(x+^+4)2+c-2+2的圖像，也就是函數(shù)y=/的圖像，所以，

24

_1-4=0,

-2解得人=—8,c=14.

C-y+2=0,

二次函數(shù)習(xí)題演練

一、選擇題

1.已知y=2f的圖像是拋物線，若拋物線不動，把x軸，y軸分別向上、向右平移2個單位,

那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是().

A.y=2(x—2>+2B.y=2(x+2)2-2

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2

1.已知二次函數(shù)>=依2+笈+，的圖像如圖所示，對稱軸是x=1,

則下列結(jié)論中正確的是().

A.ac>QB.b<QC.b1-4?c<0D.2a+b=0

若〃%)=辦2+汝+c圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,11),則()

A.4Z=1,Z7=-