上海市2023屆高三模擬數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

上海市2023屆高三模擬數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知z=l+i,則憶一2司=.

2.a=(l,2),b=(—=5,t=.

3.雙曲線d-'=l的焦點為________.

4

4.不等式一二+―120的解集是________.

x+1x+3

5.若4={丫|y=e*,xeR},8={dy=ln(2_x)},則AB=.

6.〃x)=cos(2x+5)+cosx在[0,兀]的零點為.

7.設(shè)g(x)=r(x),則滿足g'(x)在R上恒正的“X)是(填寫序號)

?/(x)=x4+x2；②〃x)=sinx+2；③〃x)=e*；?/(x)=-ln(l+x).

8.隨機變量X的分布列如下列表格所示，其中磯X]為X的數(shù)學(xué)期望，則

E[X-E[X]]=------------

X12345

P().1a0.20.30.1

9.有五只筆編號1-5,現(xiàn)將其放入編號1-5的筆筒中，且恰有兩只筆沒有放入與其編號

相同的筆筒中，這樣的情況有種.

10.無窮數(shù)列{4}的前"項和S,,e{a,a+3,a+5},存在正整數(shù)7,使恒成立，

則々=.

11.正方體A5C0-AqGA的邊長為1，點分別為0mC邊的中點，p是側(cè)面

4DRA上動點，若直線8M與面GPN的交點位于GPN內(nèi)(包括邊界)，則所有滿足

要求的點尸構(gòu)成的圖形面積為.

〃x),W<8

12./(x)在R上非嚴格遞增，滿足〃x+l)=〃x)+l,g(x)=若存在

符合上述要求的函數(shù)及實數(shù)看,滿足8a+4）=8（%）+1,則〃的取值范圍是

二、單選題

13.已知g0,則是的（）條件.

a

A.充分不必要B.充要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

14.己知兩組數(shù)據(jù)國,々,毛,％,毛和加%%的中位數(shù)、方差均相同，則兩組數(shù)據(jù)合

并為一組數(shù)據(jù)后，（）

A.中位數(shù)一定不變，方差可能變大

B.中位數(shù)一定不變，方差可能變小

C.中位數(shù)可能改變，方差可能變大

D.中位數(shù)可能改變，方差可能變小

15.雙曲線T的焦點（土，,0）,圓C:（x-c）2+y2=/（r>0,c>0）,則（）

A.存在。，使對于任意『，C與「至少有一個公共點

B.存在。，使對于任意r,C與r至多有兩個公共點

C.對于任意『，存在J使C與7至少有兩個公共點

D.對于任意「，存在c,使C與r至多有一個公共點

a\b<c\d

16.設(shè)看丫=》+），+忖-乂,必丫=*+、-忖7],若正實數(shù)a,"c,d滿足：■aVccWd,則

bXc<aVd

下列選項一定正確的是（）

A.d>bB.b>c

試卷第2頁，共4頁

C.b\c>aD.dVc>a

三、解答題

17.函數(shù)/（力="+*（。＞0）,且/⑴=e+l.

(1)判斷f(x)在R上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明;

(2)^(x)=/(x)-2x,且g(x)在(0,+8)上有零點，求;I的取值范圍.

18.正四棱錐P—A88中，AB=2,尸。=3,其中。為底面中心，M為PO上靠近P

的三等分點.

(1)求四面體M-ACP的體積；

(2)是否存在側(cè)棱抬上一點N,使面CMN與面A8CD所成角的正切值為正？若存在,

請描述點N的位置；若不存在，請說明理由.

19.高鐵的建設(shè)為一個地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展提供了強大的推進力，也給人們的生活帶來極大

便捷.以下是2022年開工的雄商高鐵線路上某個路段的示意圖，其中線段A8、8c代表

山坡，線段C。為一段平地.設(shè)圖中坡的傾角滿足tan^q,匕"后"長

250m,BC長182m,CO長132m.假設(shè)該路段的高鐵軌道是水平的(與CO平行)，且端點

改尸分別與A。在同一鉛垂線上，每隔30m需要建造一個橋墩(不考慮端點F建造橋

墩)

(1)求需要建造的橋墩的個數(shù);

(2)己知高鐵軌道的高度為80m,設(shè)計過程中每30m放置一個橋墩，設(shè)橋墩高度為/?(單

位：m),單個橋墩的建造成本為W=0.65〃+5(單位：萬元)，求所有橋墩建造成本總

和的最小值.

20.已知點F是拋物線V=4x的焦點，動點尸在拋物線上，設(shè)直線/與拋物線交于

E兩點(P、D、E均不重合).

⑴若/經(jīng)過點￡|DF|=3,求E點坐標；

(2)若￡>F=PE，證明：直線。E過定點；

(3)若NDPF=NDEF且NEDP=NEFP,四邊形"V為面積為正,求直線/的方程.

21.數(shù)列｛4｝項數(shù)為N,我們稱P為｛凡｝的“映射焦點”，如果P滿足:①2pe｛2,4,…,N｝；

②對于任意〃存在々e[p+l，M，滿足《,=%,并將最小的左記作心；

(1)若N=9,判斷卬=?-5|時，4是否為映射焦點？5是否為映射焦點？

⑵若N>40,4=|log2〃-log26|時，。是映射焦點，證明：。的最大值為4；

(3)若eN*,q*|+p),N=2p=100,%,=5,求

a,+a2++%(?的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

i.Vio

【分析】根據(jù)共扼復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模的定義求解.

【詳解】因為z=l+i,所以W=l_i，

所以2-21=1+1-2(1)=-1+31,

所以卜—2司=后^=麗，

故答案為：M.

2.3

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標運算求解.

【詳解】由題意可得：之心=lx(-l)+2xf=2/-1=5,解得f=3.

故答案為：3.

3.(土石,0)

【分析】根據(jù)雙曲線的方程求&b，c,進而可得焦點坐標，注意焦點所在的位置.

【詳解】由題意可得：a=l,b=2,c=4^幣=5且雙曲線的焦點在x軸上，

故雙曲線丁-：=1的焦點為卜石,0).

故答案為：卜石,0).

4.{x|-3<x<-2x>-1)

【分析】分別在x>-l,-3<x<-l,》<-3時去分母，化簡不等式求其解.

【詳解】因為一1+一二20,

所以當x>—1時，x+3+x+lNO,

解得xN-2,所以x>-l,

當一3cx〈一1時，x+3+x+l<0,

解得xf—2,所以一3<%〈一2,

當xv-3時，x+3+x+l>0,

解得xN—2,滿足條件的尢不存在，

所以不等式W++ZO的解集是卜卜3<xV—2或X>—1},

答案第1頁，共21頁

故答案為：{x|-3<xV-2或>>T}.

5.{x|0vxv2}

【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)求集合A3,再結(jié)合集合的交集運算求解.

【詳解】由題意可得：A={yly=e，,xeR}={)，|y>0},8={x|y=ln(2-x)}={x|x<2},

故Ac8={x|0<xv2}.

故答案為：{x|0<x<2}.

/兀兀5兀

6.一,一,—

626

【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換整理得/(%)=(-2sinx+l)8sx,令/(x)=0結(jié)合

x?0,可運算求解.

【詳解】由題意可得：

令/(x)=0,則cosx=0或一2sinx+l=0,即cosx=0或sinx=g,

VXG［0,7T］,則工=m或冗=/或冗=子，

266

故"X)在［0,兀］的零點為是片.

■??y-f.、|兀兀5兀

故答案為：

626

7.①③

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意逐項分析運算.

【詳解】對①：/(x)=x4+x2,貝Ijg(x)=f'(x)=4x3+2x,

故/(何=12犬+222>0在R上恒成立，①成立；

對②：/(x)=sinr+2,貝!Jg(x)=—(x)=cosx,

故g'(x)=-sinx40在［2kn,2kn+兀］(&eZ)上恒成立,g'(x)=-sinx>0在

(2也-兀,2阮)仕e2)上恒成立，②不成立；

對③：/(x)=e*,貝ijg(x)=/'(x)=e"

答案第2頁，共21頁

故g，(x)=e、>0在R上恒成立，③成立;

對④：由l+x>0,解得x>-l,

故〃x)=-ln(l+x)的定義域為(―1,—),

則8(力=/'%)=-3,故8'(力=77^>。在》《(一1，口)上恒成立，④不成立；

\+x(1+町

故答案為：①③.

8.0

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列的數(shù)學(xué)期望公式求解即可.

【詳解】根據(jù)概率的性質(zhì)可得0.1+。+0.2+0.3+0.1=1解得a=0.3,

所以E[X]=lxO.l+2xO.3+3xO.2+4xO.3+5xO.l=3,

所以E[X_E[X]]=E[X—3]=E[X]_3=0.

故答案為:0.

9.10

【分析】根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)分析運算.

【詳解】若恰有兩只筆沒有放入與其編號相同的筆筒中，則有3只筆放入與其編號相同的筆

筒中，另外兩只筆沒有放入與其編號相同的筆筒中，

故有C；=10種.

故答案為：10.

10.0或-3或-5

【分析】根據(jù)題意結(jié)合周期數(shù)列分析可得?=弓+%+…+%=0,即0e{a,〃+3,”+5},分類

討論運算求解.

【詳解】由題意可得：2H

假設(shè)5學(xué)0,則

SnT=4+%+…4"=(4+見+…+%?)+(%-+1+%,+2+…+)+…+["(,1)7+1+a(?-l)T2+'"+a?T

="(4+a2+---+aT^=nST,

可得5“的可能取值不可能僅限三個，假設(shè)不成立，

答案第3頁，共21頁

故S7=q+%■*---F%=0,

BpOe{a,a+3,a+5},則有：

當a=0,則S,7{0,3,5},例如數(shù)列3,2,-5,3,2,-5,…，符合題意；

當"3=0,即。=一3,則S〃w{—3,0,2},例如數(shù)列一3,5,-2,3,5,-2「一，符合題意；

當a+5=0,即〃=—5,則S〃e{—5,—2,0},例如數(shù)列一5,2,3,-5,2,3,…，符合題意；

綜上所述：a=0或。=一3或白=一5.

故答案為：?；?3或-5.

3

11.:##0.375

O

【分析】設(shè)P（0,a,。）,“涉40』，利用空間向量求交點E的坐標，再根據(jù)交點E位于:CPN內(nèi)

UUUUUU1UUU

（包括邊界），則C￡=,嗚2+吟化見"?0,1],機+“小，求出”力滿足的關(guān)系式，作出相應(yīng)區(qū)

域，即可得結(jié)果.

【詳解】如圖，以R為坐標原點建立空間直角坐標系，則。。。,（））?118（覃,1）,小,0,；）

，GUUPIT=(-l,aS),IXMHBI=(?,1\

n-C,N=—y+z=0

設(shè)平面C/N的法向量為〃=(x,y,z),貝I」有2-

nC}P=-x+ay+bz=0

令)=2,則z=-l,x=2a_/?,即〃=(2〃一/?,2,—1),

設(shè)直線與面CfN的交點為E5,%,z0),

UUU/1A

則MB=lxo，%,Z0-5j,

?.?點E在直線8M上，可設(shè)跪=入選，

答案第4頁，共21頁

%=4=4

則%=彳,即

11c

2z=-I—X

I4°n22

umr

故+京J,則C,E=IX-lA,1+jXl,

22

又?.?點E在面GPN上，貝IJ〃r?u彳uir=（2。-剛大-1）+28入）=0,解得2=4G-2Z?+1

4〃一2。+3

4a-2b+l4〃-2〃+14a-2b+2}

故同4a-2b+3y4a-2b+3f4a-2b+3J，

UULT(24。-2Z?+14a—2Z?+2

貝iJ3-

4a-2b+3‘4a-2b+3‘4a-2b+3廣

iiuiruiiuruuirni

設(shè)GE=mC]N+nC1P=\-n,；'〃+〃〃，+加)，

2

----------二-n

4a-2b+32

n=----------

4。一2b+l14a-26+3

則----------=—m+a幾,解得

4a-2b+324a—4b+2

m=-----------

4a-2b+2,4。―2匕+3

-----------=m+bn

4〃一2"3

2

n=----------4'0』4。―26+120

4〃一2"3

2tz-2/?+1>0

4a-4b+2

若點E位于CPN內(nèi)（包括邊界），則m=-e-[--0-,-l--]-,-整-理得<

4〃一2b+3-<b<\

2

4a-4b+4八

tn+n=------------<10<67<1

4"2b+3

4y-2z+l>0

2^-2z+l>0

如圖，在面中，即,

—<z<1

2

0<y<l

，G6

萬(1,1),/

答案第5頁，共21頁

3

故點尸構(gòu)成的圖形面積為s=

8

故答案為：|.

O

【點睛】關(guān)鍵點點睛:

（1）根據(jù)三點共線：若E在直線上，可設(shè)施八溫,用4表示點〃的坐標;

（2）根據(jù)共面向量：點E位于?PN內(nèi)（包括邊界），則C|E=mGN+"C；P,m,"e[O,l],,"+"Ml.

12.(-4,-2)J(2,4)

【分析】根據(jù)題意整理可得：對V〃GN*,則”X+〃)=/(X)+〃，分類討論x0,Xo+4的取值

范圍，分析運算.

【詳解】V/(x+l)=/(x)+l,即f(x+l)-f(x)=l

對VnGN*(則

/(x+rt)=[/(x+rt)-/(x+n-l)]+[/(x+rt-l)-/(x+n-2)]+---+[/(x+l)-/(x)]+/(x)

=1+1+…+l+/(x)=〃+/(x),

故對V〃eN*,貝iJ/(x+〃)=/(x)+〃，

:g(為+4)=g&)+l,則有：

L當而4-12時,則與+44-8,

可得/(天+4-。)=/(%-4)+4=/(%—。)+1,不成立；

2.當一12</W—8時，貝lj—8<%+44—4,

可得/(玉)+4)=/(&)+4=/(%一。)+1，則■/■(七—a)=/(與)+3,

若-a=3,解得a=-3,符合題意；

特別的：例如/(x)=k,x?匕左+1)水￡Z,則3<—av4,解得

-4<tz<-3；

例如/(%)=后,%￡(無水+l],keZ,取玉)￡{-11,一10,—9,一8},則2v-a43,解得-4<av—2；

故T<aK-3；

答案第6頁，共21頁

3.當一8<%<4時，則一4<x()+4<8,

可得，伉+4)=f(%)+4=〃％)+l,不成立;

4.當44玉,<8時，則84%+4<12,

可得了5+4-4)=/(與-a)+4=f(%)+l,則4%)=/(%一。)+3,

若。=3,解得。=3,符合題意；

特別的：例如/(x)=NxeR,A+l)MeZ,取用e{4,5,6,7},則3Wa<4；

例如f(x)=Nxe(&,A:+l],A:eZ,取為"4,5,6,7},貝i]2<a<3；

故34。<4；

5.當％之8時,則與+4212,

可得/(%+4-。)=/(七一。)+4=/(七一”)+1,不成立；

綜上所述：a的取值范圍是(Y,-2)一(2,4).

故答案為：(T,—2)(2,4).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

(1)對〃x+l)=/(x)+l,結(jié)合累加法求得“x+〃)=,f(x)+〃；

(2)對于分段函數(shù)，一般根據(jù)題意分類討論，本題重點討論為,與+4與±8的大小關(guān)系；

(3)對特殊函數(shù)的處理，本題可取〃x)=%,xe伙#+1),丘Z和〃x)=A,xe化A+1]次eZ.

13.B

【分析】解不等式，根據(jù)充要條件的定義判斷即可.

【詳解】由可得"―。<0即。(。+1)3-1)<0,

解得4<一1或0<"1,

由工>4可得!一4>0即上互>0,

aaa

所以(1一a)。+>0也即。(〃+1)3—1)v0,

解得a<-1或Ovavl,

所以是，」>a”的充要條件，

a

故選:B.

答案第7頁，共21頁

14.A

【分析】根據(jù)中位數(shù)、方差的概念分析運算.

【詳解】對于中位數(shù)：不妨設(shè)%〈與，乂4%4%4%4為

則兩組數(shù)據(jù)為,工2，毛,匕，七和X，%，％，”，%的中位數(shù)分別為毛,%，則W=%，

兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，則中位數(shù)為玉產(chǎn)=X3=%，故中位數(shù)一定不變；

對于方差：設(shè)內(nèi)?&<%44%的平均數(shù)為，方差為I，yvy24y34y5的平均

數(shù)為3,方差為s：,

則

1-~2

-1621-\216C-一162]?/\1三，0一"

茗，4=三2(七一工)=T2/一5%，,=￡工弘，4=1Z(y_y)=7-5y

，i=l，i=l，Ii=ly>i=l>f=l，Ii=l)

可得￡%=5x,￡X.=5卜；+x1Zy=5Xzy；=5(s；+『)，

/=1/=1''/=1/=1')

則兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)W=Ui>+￡y］=^（5i+5力審,

*UI,=i/=17102.

方差

S'2]￡(看一可2+與3一可木[5俾+元2)+5[；+》2)—1052]

一2-2—2—2、2

2X+V-2X+yx+y一行'

I+----------Z=s：2+------—=s：+

1212I2)

當且僅當輸=亍時等號成立,

故方差可能變大，一定不會變小;

故選：A.

15.C

【分析】聯(lián)立方程可得-2.&+/一/產(chǎn)=o,構(gòu)建〃x）=/x2-為25+/_//，根

據(jù)二次函數(shù)討論/（X）在［c-r,c+r］上的零點分布，并結(jié)合對稱性分析C與T的交點個數(shù).

r2v2

【詳解】設(shè)雙曲線方程為:十州=1（4>發(fā)0）,

答案第8頁，共21頁

'22

-X----)-廠-11

聯(lián)立方程/b2,消去y得2/6+/一〃/=0，

(元-c)2+y2=r2

由圓C:(x-c)2+y2=/可知：X的取值范圍為[c-八c+r],

242

構(gòu)建/(x)=c-2-2acx+a-cTr,xe[c-r,c+r],

2

貝1Jf(無)的對稱軸x=—<c<c+r,

c

且f(。-廣尸尸],」。)。-j=-a2r2<0,/(c+r)=Z>2(r2+2cr+/>2)>0,

F(c-r)<0

當｛a2即，-""幺時/⑺有且只有一個零點為e(c-r,c+r),

c-r>——c

/(c-r)=0

當，a2即「=。-"時f(x)有且只有一個零點x0=c-a.

c-r>——

7(c-r)>0

當Y即0<r<c-a時/(x)無零點.

c-r>——

/(c-r)>0

當，“2即r>c+a時f(x)有且只有兩個零點不，與e(c-r,c、+r).

c-r<——

/(c-r)=0

當，tz2即尸=C+。時/(x)有且只有兩個零點毛=c+"，XG(c-r,c+r)o

c-r<——

)(c-r)<0

當｛a2即幺<"c+a時有且只有一個零點為e(c-r,c+r).

c-r<——c

注意到當，=c-“，C與7的交點坐標為(c-a,0),當r=c+a時，C與T的交點坐標有

(c+a,0),即會出現(xiàn)交點在對稱軸上，結(jié)合C與T的對稱性可得：

當0<r<c-a時，使C與T沒有公共點；

當r=c-a時，使C與r有且僅有一個公共點；

答案第9頁，共21頁

當c-4<r<c+a時，使C與2■有兩個公共點；

當廠=。+。時，使C與T有三個公共點；

當r>c+a時，使C與7有四個公共點.

對A：存在c,使對于任意，使得0<r<c-a,此時C與7沒有公共點，A錯誤；

對B：存在c,使對于任意『，使得rNc+a,此時C與7至少有三個公共點，B錯誤；

對C：對于任意「，存在。，使得C與？至少有兩個公共點，C正確；

對D：對于任意乙存在c,使得r>c-a,C與，至少有兩個公共點，D錯誤.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

()聯(lián)立方程，將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，結(jié)合二次函數(shù)與零點存在性定理分

析運算；

()注意到C與r均關(guān)于x軸對稱，可以利用對稱性分析交點個數(shù).

16.D

一[a>b[a>b\a<h[a<h

【分析】對新定義進行化簡，分別在條件、,，,，’，、'下化簡aMccAd,

[c>d[c<d[c<d[c>d

結(jié)合所得結(jié)果，進一步確定滿足條件的關(guān)系，由此判斷各選項.

【詳解】因為/尸》+〉+卜一引=[‘'"-),

[2y,x<y

2y,x>y

x^y=x+y-\x-y\=

2x,x<y

abb<cAd

又<cNc<b^d,

辦c<dS/d

a+b-\a-b<c+d-\c-d\

所以<a+c+\a-c<h+d+\b-d\9

b+c-\b-c<a+d+一

(1)若aNb,c之d則,不等式a+b—|〃一<c+d—卜一

可化為助〈2d,則匕vd,所以人

①若aNcNd>b,則Q+c+|。一c|<人+4+忸一《可化為avd,矛盾,

答案第10頁，共21頁

?^c>a>d>b9則0+0+|。-4<人+1+忸一4可化為°〈4,矛盾，

@^c>d>a>b9則〃+0+|。一。|<匕+6/+忸一《可化為°〈4，矛盾，

(2)若aNb,c<d則，不等式〃+b—.<c+t/—卜―

可化為人<。，所以d>c>b,

①若aNd>c>hf則〃+。+|。一。|vb+d+忸一d|可化為a<d，矛盾,

d>a>c>h1則a+c+k—d<人+4+忸一《可化為avd,滿足,

b+c—區(qū)一c|va+d+|a-d|可化為bvd,滿足，

?^d>c>a>b,則a+c+|a—c|vh+d+|"—d|可化為cvd,滿足，

力+c—區(qū)一c|VQ+d+|a-d|可化為Ovd,滿足,

(3)若avb,c<d則，不等式Q+A—,一百VC+d—卜一d|

可化為〃<c,所以d>c>〃

?y^b>d>c>a,則a+c+|q—c|vb+d+M-d|可化為c<Z;,滿足，

b+c-\b-(\<a+d+\a-d\'^\^^c<d,滿足，

?^d>b>c>a,則a+c+|a—c|<6+4+M一切可化為cvd,滿足，

人+(:—|。一d<a+d+|a-d|可化為cvd,滿足，

③若d>c>b>a,則a+c+|a-dv匕+〃+|8一"|可化為cvd,滿足，

人+。一|。一c|va+d+|a-d|可化為Ovd,滿足，

(4)若"Acid則，不等式4+/?—,一4<c+d—卜一d|

可化為。<d,所以cNd>a,

?^b>c>d>a,則a+c+|a-c|<Z?+d+|〃-d|可化為cvh,滿足,

人+0-|/?一c|<a+d+|a-d|可化為cvd,矛盾，

@^c>b>d>a,貝!Ja+c+|a-cJ<Z?+d+M—4可化為cv/7,矛盾，

@^c>d>b>a,則a+c+|a—cjv〃+d+|/?-d|可化為c?vd,矛盾，

答案第11頁，共21頁

綜上，b>d>c>a^d>b>c>a^d>c>b>a^d>a>c>h^d>c>a>b,

由知，A錯誤；

由。知，B錯誤；

當時，bAc=b+c-\h-c^=b+c-c+b=2hf

取d=7,。=6,c=2,6=1可得，滿足條件但〃Ac=2<〃，

C錯誤；

當/22”>00時:cNc=d-\-c+\d-c\=2d>a,

當d>/?2c>a時，cNc-d-st-c+\d-(\=2d>a

當d>c>Z?>a時，d^c=d+c-{-\d-(\=2d>a,

當d>〃2c>力時、cNc=d+c+\d-(\=2d>a,

當時，cNc=d^-c+\d-(\=2d>a,

故選：D.

【點睛】"新定義''主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后

根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義

的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定

是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

17.(1)單調(diào)遞增，證明見解析；

(2)2>e+l

【分析】(1)由題意解出。的值，再利用單調(diào)性的定義證明即可；

(2)轉(zhuǎn)化問題為e、+x-獨=0在(0,+向上有解，則之=史+1有解，利用導(dǎo)函數(shù)求《+1的

XX

單調(diào)性，進而求得取值范圍即可.

【詳解】(1)由題意可得〃l)=a+l=e+l,解得”=e,所以f(x)=e'+x,

〃x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：

任取芭>x2eR,則/(xj_/(w)=e&+%一爐=e*'―爐+用一天，

因為y=e*在R上單調(diào)遞增，且用>￡,

答案第12頁，共21頁

所以e*-e*>0，-x2>0,

所以9)>0,即/&)>/(引，

所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

(2)由(1)得g(x)=e*+x-/lx,

g(x)在(0,+8)上有零點，即e'+x-2x=0在(。,+8)上有解，則2=《+1有解，

X

令尸(力=f+1,則尸，(力=犬=￡=叫:T)，

XXX

令9(x)>0解得x>l,令F(x)<0解得0<犬<1,

所以尸(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,”)單調(diào)遞增，

所以F(xL.=F(l)=e+l，沒有最大值，

所以4之e+1.

18.(1)|

2

(2)存在側(cè)棱尸B上一點N,使面CWN與面ABCO所成角的正切值為夜，此時=尸或

BN=-BP

1

【分析】(1)連接AC,BD交于點0,過加作MQJ.OP于點Q,根據(jù)M位置可得MQ,

以△P4C為底，M。為高可得四面體體積；

(2)以。為坐標原點，OC,OD,OP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用

坐標法，結(jié)合二面角確定點N位置.

如圖所示，連接AC,8。交于點。，過M作于點。,

由四棱錐P-"CZ)為正四棱錐，且。為底面中心，

答案第13頁，共21頁

得AC=BD=26,DO=；BD=&,P01平面ABC。，BD1AC,

：.POLBD,

又「01AC=A,PO,ACu平面PAC,

二8￡>1.平面PAC,

又MQJ.PO,則MQ//B。,

因為M為PO上靠近P的三等分點，

則加。=；。。=也，且平面PAC,

111?1BO

所以心?MQ=13AC，O-MQ=nx2應(yīng)x3xW=“

設(shè)平面CMN與平面ABC￡）所成角為。，則tan6=>/^，cos0=—，

3

如圖所示，以。為坐標原點，0C,OD,0P分別為x,y,Z軸，建立空間直角坐標系,

則。（0,0,0）,B（0,-夜,0）,C（拒,0,0）,尸（0,0,3）,

因為〃為PD上靠近P的三等分點，

<◎、Inuiuiur(^2\uu.、

則M0,^-,2,且OP=(0,0,3),CM=%,2,8P=(0,應(yīng),3),

\/\7

uuaiuuuum(廠、

^B/V=2BP(O<A<1),BN=(0,j2Z32),

則N(O,VIl—0,32),沆=-0,3/1),

設(shè)平面CMN的法向量為n^（x,y,z）,

_^X+與y+2z=0

CM-/?=0

則，即

CNn=0-x/2x+(V2/l-V2)y+32z=0

令y=9/1-6,則。=(92-10,94-6,3&T1—40),

又由（1）得尸01平面ABCD,

答案第14頁，共21頁

LllIU

則平面ABC。的法向量為OP=(O,0,3),

3(3&-4&)

所以cos0=Icos(OP,n

3.“9/1-10)2+(94-6)2+(3&-4A/2)23

解得4=|或又=9，

2

所以存在側(cè)棱PB上一點N，使面CMN與面ABC。所成角的正切值為應(yīng)，此時BN'BP或

BN=-BP.

7

19.(1)18個

(2)715.625萬元

【分析】(1)先由正切值得到余弦值，進而計算得到得到AC的長，再計算得出AD,結(jié)合

每30m放置一個橋墩，

即可求出需要建造的個數(shù).

(2)可設(shè)最左邊的橋墩到E的距離為x米，為從左往由第〃個橋墩的高度，寫出xe[0,18J

和xw(18,30)

對應(yīng)的橋墩高度4,的表達式，然后利用數(shù)列求和求出所有橋墩的高度，計算出成本總和的

最小值即可得

出答案.

752412

【詳解】(1)由tan?=Y，lane=；^,可得cos。=—,cos^=—,過點B向AC作垂線，

24122513

垂足為"，則

AM=ABcos8=240,CM=BCcos^=168,AD^AM+CM+CD^540,

故修建橋墩個數(shù)為54瑞0=18個.

(2)設(shè)最左邊的橋墩到E的距離為x米，為從左往由第〃個橋墩的高度，

由生祟竺=13.6,AC之間可以建13或14個橋墩，當可以建14個橋墩時，

04x4240+168-13x30=18,當18Vx<30時,AC之間可以建行個橋墩，而篝=需=8,

7

即AM之間可以建8個橋墩，在xw[0/8]時，當14〃W8,a,=80-tan^=80-—x,

答案第15頁，共21頁

777

a、—80---(.￥+30)%=80----(x+30x2),,?,?a-80----(x+30H—30)；

2492424

當9K=tan^>[168-(x+30H-30-240)]=

80--(438-x-30n);當15V〃<18,4=80；同理寫出xe[18,30],

?！氨磉_式總結(jié)如下:

①當xe[0,18]時：

7

80—J+3。〃-30),1V〃48

解得a“=’80—j^(438-x-30n),9<n<14

80,15<n<18

求和后得至U的高度總和++

212

30X6X^+14)]+80X4=962.5+1X

②當xw(18,30)時：

7

80--(x+30n-30),l<n<8

■80-^(438-X-30/J),9</7<13

80,14<n<18

求和后得到的高度總和

/J(X)=80X8--[8X+30X^-^-30X8J+80X5--[438x5-5%-

24212

30X5X(^+13)]+80X5=970-^-X

所以當xw[0,18],A(0)mi?=962.5,當xs(18,30),962.5<〃(x)v965.5,

即橋墩高度總和最小為962.5,成本最小值為0.65x962.5+5x18=715.625萬元.

【點睛】方法點睛：利用數(shù)列求解最值問題一般有三種方法:

（1）數(shù)列也是特殊的函數(shù)，其定義域為正整數(shù)，因此可以利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)

答案第16頁，共21頁

性，從而確定數(shù)列的最值.

（2）結(jié)合基本不等式求最值，將通項或者前〃項和轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式求最值.

（3）利用相鄰項比較，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求最大值只需要滿足，得出最值.

I*。,-

20.⑴士

（2）證明見解析

⑶y=±2&x

【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義與方程求點。（2,±2五），進而求得直線/的方程，聯(lián)立方程

求點E;

（2）由。F=PE整理可得1“一"+“一1,結(jié)合韋達定理可得，x=4w2+2n-1,,…一

n,,代入拋物

%=X+M%=4，"

線方程即可得結(jié)果；

4y

（3）由題意可得四邊形。PFE為平行四邊形，結(jié)合向量和韋達定理分析可得];°Q,

[2y；

再根據(jù)面積可求得％=±&,即可得結(jié)果.

【詳解】（1）由題意可得：拋物線y2=4x的焦點尸（1,0）,

設(shè)E（芍,3），

f|DF|=x+l=3k=2,廠\

貝心」4；，解得.±2匯即*±2閭，

故直線/的斜率a=±2^~°=±2正，即直線/的方程為y=±2V2（x-l）,

聯(lián)立方程卜;±2夜GT）,消去y得2X2-5X+2=0,解得X=2或X=1,

/=4x2

即=；，由%=i2&（4-1）=土血，

故E點坐標（!，士

答案第17頁，共21頁

(2)設(shè)直線/：%=陽+〃,￡>(%,%),夙毛,%),P?,%),

x=my+n、

{yj]，消去y得y-4吟4〃=0,

則A=(-4〃7y+16〃=16(1+〃)〉o,%+%=4H?,yy2=—4n,

UllIUuu

丁DF=(l-xp-yI),P￡=(x2-x0,y2-y0),

^DF=PE，可得［1產(chǎn)々7。，解得,"+5=g+%）+2〃T=4/+2〃」

|-y=>2-%〔%=x+%=4〃？

即P（4蘇+2〃-1,4相）在拋物線丁=4》上，則（4加『=4（4源+2〃-1）,解得〃=g,

故直線/：x=/?y+g過定點（g，。］.

（3）設(shè)直線/：*=沖+”,。停,總,以"多為，可得

uunC2-2>wnCa

密%v％v2一%,PF=1母v一%

由題意可得：四邊形。尸/芯為平行四邊形，則/）￡=/>尸,

,4

貨-犬一?。?%=%-二

故44,可得/°

,%一%=-%y,y2=-2+—

4"?=%-----

,,0r/曰%4%

由(2)可得J4BP

11

-4w=—2H--n---------

%2%

點尸（1,0）到直線/“-租）」"=0的距離為4=上比

Jl+川

故四邊形OPEE的面積為

2

SDpFE=25AD￡f=2xlx|DE|xJ=yj]+m|^-y2|x^==1=1%+-!-=0

2，1+6~2X)