太原理工大學2013級矩陣論試題解答(A)

第2頁共8頁（A卷）第5頁共8頁（A卷）第1頁共8頁（A卷）考試方式：閉卷太原理工大學矩陣分析試卷（A）題號一二三四總分得分適用專業(yè)：2013級碩士研究生考試日期：2014.1.14時間：120分鐘共8頁得分一、本題共10小題，每小題3分，滿分30分.1-5題為填空題：如果階矩陣，則的最小多項式.解答如果為階可逆矩陣，則.解答或者因為，所以，,所以3．已知2階矩陣，則.解答在中，如果是過原點的平面，是平面上過原點的直線,那么.解答5．已知，則的全部奇異值為.解答所以全部奇異值為6-10題為單項選擇題：6．下列矩陣中不是正規(guī)矩陣的是（B）.(A)（B）（C）（D）7．如果,則下列多項式中不是的化零多項式的是（C）.(A)的特征多項式（B）的最小多項式（C）的第一個不變因子（D）8．下列矩陣范數(shù)中不是算子范數(shù)的是（D）.(A)（B）（C）（D）9．已知都是線性空間的子空間，則下列集合不是的子空間的是（B）.(A)(B)(C)(D)10．矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是（A）.(A)的初等因子都是一次的(B)的若當標準型中只有一個若當塊(C)的最小多項式是一次的(D)的行列式因子都是一次的得分二、本題共2小題，滿分24分.11.（12分）（1）已知,證明是的一個線性子空間，并求的維數(shù)及當時的一個基.證明顯然,所以,因此.設(shè),那么,所以,所以.設(shè),那么,所以,所以，所以是的一個線性子空間.設(shè),那么，所以，即，所以，當時，的一個基為.在線性空間上定義運算，證明是內(nèi)積.當時，求使兩兩正交.證明，，當且僅當，當且僅當,而，所以所以是內(nèi)積，，，,,所以（12分）（1）證明是上的線性變換當且僅當存在使得對任意的有，并且滿足的是唯一的.（1）證明如果，那么，，如果是上的線性變換，取中的簡單基，那么對任意的，,于是，令,則.如果對任意的有，,那么有,所以.所以滿足的是唯一的.（2）當時，對任意的，定義線性變換,求使得對任意的，有，并求在基下的矩陣.（2）解答，所以,因為，所以所以得分三、本題共2小題，滿分26分.13.(10分)(1)設(shè)，證明的特征值都是實數(shù)，并在實軸上找出三個互不相交的集合，使得每個集合內(nèi)有且僅有的一個特征值.解答的三個行蓋爾圓分別為，，，所以內(nèi)有且僅有的一個實特征值；的三個列蓋爾圓分別為，，，所以內(nèi)有且僅有的一個實特征值；所以的特征值都是實數(shù).所以的一個實特征值在、一個實特征值在、一個實特征值在設(shè)為階方陣，證明當且僅當存在為列向量使得.證明因為，所以當且僅當，而，所以當且僅當，當且僅當,當且僅當當且僅當.14.（16分）設(shè).（1）求的加號逆,,,,,（2）求使得線性方程組無解的全體向量，并求矛盾線性方程組的極小范數(shù)最小二乘解（即最佳逼近解）.解答，所以，.得分本題共2小題，滿分20分.（10分）已知.(1)求的Smith標準型.(2)求的Jordan標準型.因為的初等因子為，,所以或者（10分）已知.(1)