中考數(shù)學(xué)(圓的綜合提高練習(xí)題)壓軸題訓(xùn)練

2023中考數(shù)學(xué)(圓的綜合提高練習(xí)題)壓軸題訓(xùn)練

一、圓的綜合

1.如圖，OM交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于A,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2.B(-3百，0),

C(石，0).

(1)求。M的半徑；

(2)若CE_LAB于H,交y軸于F,求證：EH=FH.

(3)在(2)的條件下求AF的長(zhǎng).

【答案】⑴4；(2)見(jiàn)解析；(3)4.

【解析】

【分析】

(1)過(guò)M作MT_LBC于T連BM,由垂徑定理可求出BT的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求出

BM的長(zhǎng)；

(2)連接AE,由圓周角定理可得出NAEC=NABC,再由AAS定理得出△AEH2△AFH,進(jìn)

而可得出結(jié)論；

(3)先由(1)中△BMT的邊長(zhǎng)確定出NBMT的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)可求出CG

的長(zhǎng)，由平行四邊形的判定定理判斷出四邊形AFCG為平行四邊形，進(jìn)而可求出答案.

【詳解】

(1)如圖(一)，過(guò)M作MT_LBC于T連BM,

?：BC是。。的一條弦，MT是垂直于BC的直徑，

BT=TC=；BC=2石，

BM=,12+4=4;

(2)如圖(二)，連接AE,則2AEC=NABC,

???CEXAB,

ZHBC+ZBCH=90°

在^COF中，

???ZOFC+ZOCF=90°,

ZHBC=Z0FC=ZAFH,

在4AEH和^AFH中，

ZAFH=NAEH

,.?<ZAHF=NAHE,

AH=AH

，△AEH合△AFH(AAS),

EH=FH；

(3)由(1)易知,ZBMT=ZBAC=60",

作直徑BG,連CG,則NBGC=ZBAC=60°,

???OO的半徑為4,

CG=4,

連AG,

???ZBCG=90",

/.CG±x軸，

CGIIAF,

■1,ZBAG=90°,

AG±AB,

CE±AB,

AGIICE,

???四邊形AFCG為平行四邊形，

AF=CG=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，根

據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為H,連結(jié)AC,過(guò)BD上一點(diǎn)E作EGIIAC

交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F,且EG=FG,連結(jié)CE.

(1)求證：ZG=ZCEF；

(2)求證：EG是。。的切線；

3

(3)延長(zhǎng)AB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,若tanG=二，AH=3g,求EM的值.

4

M

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）生叵.

8

【解析】

試題分析：（1）由ACIIEG,推出NGNACG,由A8J.CD推出=AC,推出

NCEF=NACD,推出NG=NCEF,由此即可證明；

（2）欲證明EG是。。的切線只要證明EG_LOE即可；

（3）連接。C.設(shè)。。的半徑為r.在RtAOC”中，利用勾股定理求出r,證明

△AHC…MEO,可得包=生，由此即可解決問(wèn)題：

EM0E

試題解析：(1)證明：如圖1.1,ACIIEG,J.NG=NACG,J.A￡)=AC，

ZCEF=ZACD,：.ZG=ZCEF,'：ZECF=ZECG,：.△ECF-△GCE.

A

尸_______DfF!

(2)證明：如圖2中，連接0E.;GF=GE,：.ZGFE=NGEF=ZAFH,-：OA=OE,

：.ZOAE=Z.OEA,；ZAFH+NFAH=90°,「.NGEF+NAEO=90°,ZGEO=90°,GEA.OE,

EG是0。的切線.

（3）解：如圖3中，連接。C.設(shè)。。的半徑為r.

在RtAAHC中，tanNACM=tanNG=------=—，,：AH=373，HC=4g,在RtAHOC中,

-256

■,OC=r,OH=r-373>HC=46，(r-3V3)2+(473)2=r2?r----------

6

AHHC

GMWAC,：,ZCAH=Z.M,'：ZOEM=ZAHC,：.△AHC-AMEO,：.

~EM~~OE

巫二±a_25G

EM25-^3，：■EM=.

-------8

6

點(diǎn)睛：本題考查圓綜合題、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定

理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，正確尋找相

似三角形，構(gòu)建方程解決問(wèn)題嗎，屬于中考?jí)狠S題.

3.如圖1,將長(zhǎng)為10的線段OA繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。得到OB,點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為AB，P是

半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是A8上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ.

發(fā)現(xiàn)：NPOQ=時(shí)，PQ有最大值，最大值為;

思考：（1）如圖2,若P是OB中點(diǎn)，且QP_LOB于點(diǎn)P,求8Q的長(zhǎng)；

（2）如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B”恰好落在OA的延長(zhǎng)線上，

求陰影部分面積；

探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB，恰好與半徑OA相切，切點(diǎn)為

C,若OP=6,求點(diǎn)O到折痕PQ的距離.

到折痕PQ的距離為而.

【解析】

分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即可得出結(jié)

論；

思考：(1)先判斷出NPOQ=60。，最后用弧長(zhǎng)用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；

(2)先在RtAB'OP中，OP2+(10&-10尸=(10-OP)2,解得OP=1O0-1O,最后用面積

的和差即可得出結(jié)論.

探究：先找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)0',連接。0'、O'B、O'C.GT,證明四邊形OCCYB是矩

形，由勾股定理求O'B,從而求出。0,的長(zhǎng)，則0M=；0(r=回.

詳解：發(fā)現(xiàn)：?.J是半徑0B上一動(dòng)點(diǎn)，Q是A8上的一動(dòng)點(diǎn)，

.,?當(dāng)PQ取最大時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

此時(shí)，NPOQ=90。，PQ=yJOA'+OB2=10V2；

思考：(1)如圖，連接0Q,

0

,?,點(diǎn)P是0B的中點(diǎn),

11

OP=-OB=-OQ.

22

???QP±OB,

ZOPQ=90°

OP1

在RtZkOPQ中，cosZQOP=~QQ~

???ZQOP=60°,

60^-xlO10

?"IBQ==

1803

(2)由折疊的性質(zhì)可得，BP=B'P,AF=A8=10j5,

在RtAB'OP中,OP2+(1072-10)2=(10-OP)2

解得OP=10血-10,

WxlQ2-2x1x10x(1072-10)

S陰影二S扇杉AOB-2SAAOP=

3602

=25n-100V2+100；

探究：如圖2,找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)0，，連接0。、0出、。(、O'P,

則0M=(TM,OO'±PQ,0，P=0P=3,點(diǎn)0,是夕Q所在圓的圓心,

/.OzC=OB=10,

折疊后的弧QB”恰好與半徑0A相切于C點(diǎn)，

O'C_LAO,

O'CIIOB,

四邊形OCCTB是矩形，

在RtAO'BP中，O（B=762-42=275-

在RtaOBO'K，oo，=J］（）2_（2⑹2=2回,

oM=；o（y=；x2V^=a，

即0到折痕PQ的距離為病.

點(diǎn)睛：本題考查了折疊問(wèn)題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長(zhǎng)公式

1=2空（n為圓心角度數(shù)，R為圓半徑），明確過(guò)圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，這是常

180

考的性質(zhì)；對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.

4.如圖，已知在△ABC中，AB=15,AC=20,tanA='，點(diǎn)P在AB邊上，0P的半徑為定

2

長(zhǎng).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP恰好與AC邊相切；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合時(shí)，0P與AC邊相

交于點(diǎn)M和點(diǎn)N.

（1）求OP的半徑；

（2）當(dāng)AP=6后時(shí)，試探究△APM與△PCN是否相似，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）半徑為3圍；（2）相似，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）如圖，作BD_LAC,垂足為點(diǎn)D,0P與邊AC相切，則BD就是。P的半

徑，利用解直角三角形得出BD與AD的關(guān)系，再利用勾股定理可求得BD的長(zhǎng)；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PHLAC于點(diǎn)H,作BDLAC,垂足為點(diǎn)D,根據(jù)垂徑定理得出

MN=2MH,PM=PN,再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的長(zhǎng)，從而求出AM、NC的

AMPNAMPN

長(zhǎng)，然后求出而、正的值，得出行■=而，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩

三角形相似即可證明.

【詳解】（1）如圖，作BD_LAC,垂足為點(diǎn)D,

BD就是G>P的半徑，

“占IBD

在RtAABD中，tanA=—=——-,

2AD

設(shè)BD=x,則AD=2x,

x2+（2x）2=152,

解得：x=3逐，

半徑為3逐；

（2）相似，理由見(jiàn)解析，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH_LAC于點(diǎn)H,作BD_LAC,垂足為點(diǎn)D,

PH垂直平分MN,

PM=PN,

,.1PH

在R3AHP中，tanA=-=-------，

2AH

設(shè)PH=y,AH=2y,

y2+(2y)2=(6^/5)2

解得：y=6(取正數(shù))，

PH=6,AH=12,

在RtAMPH中,

MN=2MH=6,

AM=AH-MH=12-3=9,

NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,

AM_9_3>/5PN

MP~3y[5~5'

AMPN

~MP~~NC'

又TPM=PN,

ZPMN=ZPNM,

ZAMP=ZPNC,

AAMP-△PNC.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較

強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線、靈活應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知AB是0。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D在0C的延長(zhǎng)線上，連接DA,

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,使得NDAC=NB.

(1)求證：DA是。。切線；

(2)求證：△CED-△ACD；

(3)若OA=1,sinD=-,求AE的長(zhǎng).

3

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)72

【解析】

分析：(1)由圓周角定理和已知條件求出AD_LA8即可證明D4是。。切線；

(2)由ND4C=ZDCE,ZD=N。可知△DEC-△DCA-

(3)由題意可知4。=1,0D=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可得到

DC2=DE?AD,故此可求得DE的長(zhǎng)，于是可求得AE的長(zhǎng).

詳解：(1)AB為。。的直徑，.1NACB=90°,NCA8+N8=90°.

ZDAC=NB,ZCAB+NDAC=90°,/.ADA.AB.

,.OA是。。半徑，.IEM為。。的切線；

(2)OB=OC,：.Z0cB=NB.

'：ZDCE=ZOCB,：.ZDCE=NB.

'：ZDAC=Z.B,：.ZDAC=Z.DCE.

---ZD=ZD,ACED-AACD；

(3)在RtAAOD中，OA=1,sinD=—,0D=---------=3,CD=OD-0C=2.

3sinD

1

ADZOD-OA=2亞?

rADC一D?.

又；ACED”△ACD,：.——=——，/.DE=-------=J2，

CDDEAD

AE=AD-DE=2五-五=也.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)

和判定，證得△DEC-△DCA是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，正三角形ABC內(nèi)接于。。，P是BC上的一點(diǎn)，且PB<PC,PA交BC于E,點(diǎn)F

是PC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CF=PB,AB=Vl3,PA=4.

(1)求證：△ABP叁△ACF；

(2)求證：AC2=PA?AE；

(3)求PB和PC的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)PB=1,PC=3.

【解析】試題分析：(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,再利用圓的內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)得NACF=NABP,于是可根據(jù)"SAS"判斷△ABP"&ACF；

(2)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到NABC=NACB=60。，再根據(jù)圓周角定理得

ZAPC=ZABB=60。，加上NCAE=ZPAC,于是可判斷△ACE-&APC,然后利用相似比即可得

到結(jié)論；

133

(3)先利用AC2=PA?AE計(jì)算出AE=—，則PE=AP-AE=-,再證△APF為等邊三角形，得

44

到PF=PA=4,則有PC+PB=4,接著證明△ABP-△CEP,得到PB?PC=PE?A=3,然后根據(jù)根與

系數(shù)的關(guān)系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的兩實(shí)數(shù)解，再解此方程即可得到PB和PC

的長(zhǎng).

試題解析：

(1)???ZACP+ZABP=180o,

又NACP+ZACF=180°,

ZABP=ZACF

在A43P和A4C尸中，

AB=AC,ZABP=ZACF,CF=PB

：.ZVLB咋MCF.

⑵在AAEC和A4CP中，

1.,ZAPC=NABC,

而AABC是等邊三角形，故NACB=NABC=60。，

ZACE=ZAPC.

又NCAE=ZPAC,

AAEC-AACP

—^—,^AC2^PA-AE.

APAC

由（1）知/\ABPwbACF,

NBAP=NCAF,CF=PB

：.ZBAP+ZPAC=ZCAF+ZPAC

ZPAF=ZBAC=60°,又NAPC=ZABC=60°.

AAPR是等邊三角形

AP=PF

PB+PC=PC+CF=PF=PA=4

在△/VR與ACE尸中，

???ZBAP=ZECP,

又NAPB=ZEPC=60°,

APAB”kCEP

：.—=—,^PBPC=PAPE

PEPC

由（2）AC2^PAAE,

AC2+PBPC^PAAE+PAPE^PA（AE+PE^PA1

：.AC2+PB-PC=PA-AE+PA-PE=PA（AE+PE）=PA1

=一AC?=行一A]=42一（/）2=3

因此PB和PC的長(zhǎng)是方程f—4x—3=0的解.

解這個(gè)方程，得%=1,々=3.

PB<PB,PB=X,=1,PC=%2=3,

PB和PC的長(zhǎng)分別是1和3。

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角

形的判定與性質(zhì)：會(huì)利用相似三角形證明等積式；會(huì)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方

程。

CF1

7.如圖，AB是OO的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足若——=一，連

DF3

接AF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E,連接AD、DE,若CF=2,AF=3.

(2)求FG的長(zhǎng)；

(3)求tanNE的值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析;⑵FG=2;⑶@.

4

【解析】

分析：(1)由AB是。的直徑，弦CDJ_AB,根據(jù)垂徑定理可得：弧AD=MAC,DG=CG,

CF1

繼而證得△ADFs△AED：(2)由——=-,CF=2,可求得DF的長(zhǎng)，繼而求得CG=DG=4,

FD3

則可求得FG=2；(3)由勾股定理可求得AG的長(zhǎng)，即可求得tanNADF的值，繼而求得

tanZE=-^-.

4

本題解析：①AB是。。的直徑，弦CD_LAB,

DG=CG,AD=AC>NADF=NAED,

■1,ZFAD=ZDAE(公共角)，/.△ADF-△AED；

CF1

②——=一,CF=2,FD=6,CD=DF+CF=8,

FD3

.ICG=DG=4,，F(xiàn)G=CG-CF=2；

③??.AF=3,FG=2,二AG=[W_FG2=石，

點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角

函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，考查內(nèi)容較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合的思想.

8.如圖，AB是半圓。的直徑，半徑。C_LAB,0B=4,D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧BC上的

動(dòng)點(diǎn)，連接AE,DE.

(1)當(dāng)點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)時(shí)，求AADE的面積；

3

(2)若=2,求AE的長(zhǎng)；

2

(3)點(diǎn)F是半徑0C上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E到直線0C的距離為m,當(dāng)△DEF是等腰直角三角

形時(shí)，求m的值.

【答案】(1)SADE-6,72；(2)AE=-^■布;(3)m=2-73?m-2y[2>

m=近-1.

【解析】

【分析】

(1)作EH_LAB,連接OE,EB,設(shè)DH=a,則HB=2-a,OH=2+a,貝EH=OH=2+a,

根據(jù)RtAAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出SAADE的值；

(2)作DFJLAE,垂足為F,連接BE,設(shè)EF=2x,DF=3x,根據(jù)DFIIBE故——=——，

EFBD

得出AF=6x,再利用R3AFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出X,進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)；

(3)根據(jù)等腰直角三角形的不同頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分別求出m的值.

【詳解】

解：(1)如圖，作EH_LAB,連接OE,EB,

設(shè)DH=a,貝HB=2-a,0H=2+a,

,??點(diǎn)E是弧BC中點(diǎn)，

ZCOE=NEOH=45°,

EH=0H=2+a,

在RSAEB中，EH2=AH?BH,

(2+a)2—(6+a)(2-a),

解得a=±2&-2，

.?a=2V2—2，

EH=2&，

SAADE='/A￡>-E〃=6&;

2

(2)如圖，作DFJ_AE,垂足為F,連接BE

設(shè)EF=2x,DF=3x

???DFIIBE

.AFAD

~EF~~BD

AF6

..------——=3

2x2

AF=6x

在RtAAFD中，AF2+DF2=AD2

(6x)2+(3x)2=(6)2

解得x=-5/5

16rz

AE=8x=—>/5

（3）當(dāng)點(diǎn)D為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖

由DF=DE,ZDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,

??.ZDFO=ZEDH

.?.△?？谛摹鱄ED

OD=EH=2

在R3ABE中，EH2=AH?BH

(2)2=(6+a)?(2-a)

解得a=±2百-2

m=26

當(dāng)點(diǎn)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí),如圖

設(shè)DH=a,貝(JGE=a,EH=FG=2+a

在R3ABE中，EH2=AH?BH

(2+a)2=(6+a)(2-a)

解得a=±2忘-2

???m=2夜

當(dāng)點(diǎn)F為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖

EH=a+2

在ABE中，EH2=AH?BH

(a+2)2=(4+a)?(4-a)

解得a=±幣-1

m=V7-1

【點(diǎn)睛】

此題主要考查圓內(nèi)綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的

判定與性質(zhì).

9.定義：

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一

半，那么稱三角形為“智慧三角形

理解：

⑴如圖1，已知43是。。上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)C，使&45。為"智慧三

角形"（畫出點(diǎn)。的位置，保留作圖痕跡）；

⑵如圖2,在正方形中，E是3。的中點(diǎn)，尸是CD上一點(diǎn)，且CF=」CD,試

4

判斷&1E尸是否為"智慧三角形”，并說(shuō)明理由：

運(yùn)用：

⑶如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為1，點(diǎn)0是直線y=3上的一點(diǎn)，若

在。。上存在一點(diǎn)尸，使得AOP0為"智慧三角形"，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫出此

時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）P的坐標(biāo)（一里，!），（2叵，

333

1

-).

3

【解析】

試題分析：(1)連結(jié)A。并且延長(zhǎng)交圓于C1,連結(jié)B。并且延長(zhǎng)交圓于C2,即可求解；

(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,表示出DF=CF以及EC、BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理列式表示

出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性

質(zhì)可得AAEF為"智慧三角形”；(3)根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，

根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，

由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可

求斜邊的高，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，從而求解.

試題解析：

(1)如圖1所示：

(2)AAEF是否為"智慧三角形”，

理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,

；E是DC的中點(diǎn)，

DE=CE=2a,

BC：FC=4：1,

FC=a,BF=4a-a=3a,

在R3ADE中，AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,

在RtAECF中，EF2=(2a)2+a2=5a2,

在RtAABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,

AE2+EF2=AF2,

??.△AEF是直角三角形，

???斜邊AF上的中線等于AF的一半，

...AAEF為“智慧三角形”;

(3)如圖3所示：

由“智慧三角形”的定義可得AOPQ為直角三角形，

根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值,

由垂線段最短可得斜邊最短為3,

由勾股定理可得PQ=爐不=2&'

PM=lx20

由勾股定理可求得。M=，2_（苧）2=：,

故點(diǎn)p的坐標(biāo)（-拽?，?。?，（到2,4）.

3333

考點(diǎn)：圓的綜合題.

10.如圖，已知AB是。。的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切00于點(diǎn)C,CD±AB,垂

足為D.

（1）求證：NPCA=NABC；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AEIIPC交于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,若NCAB=2NB,CF

=百，求陰影部分的面積.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）—

4

【解析】

【分析】

（1）如圖，連接OC,利用圓的切線的性質(zhì)和直徑對(duì)應(yīng)的圓周角是直角可得

ZPCA=ZOCB,利用等量代換可得NPCA=ZABC.

（2）先求出△OCA是等邊三角形，在利用三角形的等邊對(duì)等角定理求出FA=FC和CF=FM,

然后分別求出AM、AC、M。、CD的值，分別求出S.E、S扇形BOE、SgB”的值，利用

S陰影部分=SgoE+S扇形—SMSW，然后通過(guò)計(jì)算即可解答?

【詳解】

解：（1）證明：連接OC,如圖,

「PC切。。于點(diǎn)C,，OC_LPC,

ZPCA+ZACO=905,

AB是。。的直徑，ZACB=ZACO+OCB=90e

ZPCA=ZOCB,

OC=OB,.,.ZOBC=ZOCB,

ZPCA=ZABC；

---△ACB中，ZACB=902,ZCAB=2NB,

ZB=309,ZCAB=60，1△OCA是等邊三角形，

CD±AB,/.ZACD+ZCAD=NCAD+zABC=90%

ZACD=ZB=30。，

???PCIIAE,/.ZPCA=ZCAE=30。,，F(xiàn)C=FA,

同理，CF=FM,r.AM=2CF=2A/L

RtAACM中，易得AC=2A/^X立=3=OC,

2

???ZB=ZCAE=305,.1.ZAOC=ZCOE=60。，

ZEOB=605,.,.ZEAB=ZABC=30。,，MA=MB,

連接。M,EG_LAB交AB于G點(diǎn)，如圖所示，

■1,OA=OB,/.MO±AB,.\MO=OAxtan309=V3,

---ACDOS&EDO(AAS),

/.EG=CD=ACxsin60e=-^,

2

SMBM=；ABxM0=34i,

同樣，易求%”=￥，

_60乃x32_3"

扇形BOE-360_萬(wàn)

,c_q.c_c96，3萬(wàn)r-6萬(wàn)一3百

??J陰影部分一》AA0￡十。扇形BOE=--------------h-----------5、5=---------------

424

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形、扇形面積和識(shí)圖的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難

度，熟練掌握定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

11.在平面直角坐標(biāo)系XOY中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xi,yi）,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（X2,y2）,且

X1HX2,若P、Q為某等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且有一邊與x軸平行（含重合），則稱P、，Q

互為"向善點(diǎn)”.如圖1為點(diǎn)戶、Q互為"向善點(diǎn)”的示意圖.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,

百），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m,0）

（1）在點(diǎn)M（-1,0）、S（2,0）、7（3,373）中，與A點(diǎn)互為"向善點(diǎn)"的是

（2）若A、B互為"向善點(diǎn)"，求直線A8的解析式；

（3）0B的半徑為百，若0B上有三個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A互為"向善點(diǎn)"，請(qǐng)直接寫出m的取值范

【答案】⑴5,兀⑵直線A8的解析式為y=Gx或y=-&X+2百；⑶當(dāng)-2

<m<0或2VmV4時(shí)，。8上有三個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A互為“向善點(diǎn)”.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合"向善點(diǎn)”的定義，可得出點(diǎn)S,T與A點(diǎn)互為"向善點(diǎn)”；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合"向善點(diǎn)”的定義，可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢

驗(yàn)后可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析

式；

（3）分OB與直線y=Jjx相切及OB與直線y=-百x+2百相切兩種情況求出m的值，再

利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論.

【詳解】

=3,亞=^=tan60。，也走=也=領(lǐng)600，

1-(-1)22-13-1

???點(diǎn)5,7與A點(diǎn)互為“向善點(diǎn)”.

故答案為S,T.

（2）根據(jù)題意得：避二2=6,

|m—11

解得：mi=O,n?2=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，mi=O,團(tuán)2=2均為所列分式方程的解，且符合題意,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,0）或（2,0）.

設(shè)直線＞4B的解析式為y=kx+b（k/0）,

將4（1,正），B（0,0）或（2,0）代入y=kx+b,得：

k+b=V3k-\-b=A/3

b=0-[2Z+Z?=0

k-k——y/3

解得：”或（「,

b=0[b=2y/3

直線48的解析式為廣=百、或）/=-&X+2百.

（3）當(dāng)。B與直線y=J^x相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作8E1.直線y=JJx于點(diǎn)E,如圖2所示.

k圖2

,/ZB0E=6Q°,

：.08=2,

m=-2或m=2；

當(dāng)。B與直線y=-退肝2退相切時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作8F_L直線y=-石x+2退于點(diǎn)F,如圖

3所示.

同理，可求出m=0或m=4.

綜上所述：當(dāng)-2Vm<0或2Vm<4時(shí)，OB上有三個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)A互為“向善點(diǎn)”.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解

分式方程以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合"向善點(diǎn)”的

定義，確定給定的點(diǎn)是否與A點(diǎn)互為"向善點(diǎn)”；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出

一次函數(shù)解析式；（3）分。B與直線y=J^x相切及。B與直線y=-百x+2百相切兩種情

況考慮.

12.如圖，等邊AABC內(nèi)接于。。，P是弧AB上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、8重合），連AP,

BP,過(guò)C作CMIIBP交力的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

（1）求證：APCM為等邊三角形；

（2）若%=1,PB=2,求梯形P8C/M的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）—y/3

4

【解析】

【分析】

（1）利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可求得題目中的未知角，進(jìn)而判定△PCM為等邊三角

形;

（2）利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等，進(jìn)而利用

△PCM為等邊三角形，進(jìn)而求得PH的長(zhǎng)，利用梯形的面積公式計(jì)算梯形的面積即可.

【詳解】

（1）證明：作PHJLCM于H,

.?△ABC是等邊三角形,

ZAPC=ZABC=60°,

ZBAC=ZBPC=60°,

CMIIBP,

ZBPC=ZPCM=60",

?.△PCM為等邊三角形；

(2)解：??1AABC是等邊三角形，△PCM為等邊三角形,

?,ZPCA+ZACM=ZBCP+ZPCA,

ZBCP=ZACM,

在^BCP和4ACM中，

BC=AC

<NBCP=NACM,

CP=CM

△BCP合△ACM(SAS),

PB=AM,

CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=i+2=3,

在RtAPMH中，ZMPH=30。，

3

?.PH=-G

2

??3h15

二.梯形一

SPBCM=(PB+CM)XPH=-X(2+3)x￡yr.=—73.

2224

本題考查圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)及梯形的面積計(jì)算方法，是

一道比較復(fù)雜的幾何綜合題.

13.如圖，RSABC中，ZB=90°,它的內(nèi)切圓分別與邊BC、CA、AB相切于點(diǎn)D、E、F,(1)

設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,求證：內(nèi)切圓半徑r=—(a+b-c).

2

(2)若AD交圓于P,PC交圓于H,FH//BC,求NCPD;

(3)若r=3Vl(),PD=18,PC=27&.求小ABC各邊長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)45。(3)9加，12^/10,15VW

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)切線長(zhǎng)定理，有AE=AF,BD=BF,CD=CE.易證四邊形BDOF為正方形，

BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD、CE,利用AE+CE=AC為等量關(guān)系列式.

(2)NCPD為弧DH所對(duì)的圓周角，連接0D,易得弧DH所對(duì)的圓心角NDOH=90。，所以

ZCPD=45°.

（3）由PD=18和r=3所,聯(lián)想到垂徑定理基本圖形，故過(guò)圓心。作PD的垂線0M,求得

弦心距0M=3,進(jìn)而得到NMOD的正切值.延長(zhǎng)DO得直徑DG,易證PGIIOM,得到同位

角NG=NMOD.又利用圓周角定理可證NADB=NG,即得到NADB的正切值，進(jìn)而求得

AB.再設(shè)CE=CD=x,用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.

【詳解】

解：（1）證明：設(shè)圓心為0,連接OD、OE、OF,

1??OO分別與BC、CA、AB相切于點(diǎn)D、E、F

OD±BC,OE±AC,OF±AB,AE=AF,BD=BF,CD=CE

ZB=ZODB=ZOFB=90"

四邊形BDOF是矩形

---OD=OF=r

.1.矩形BDOF是正方形

BD=BF=r

AE=AF=AB-BF=c-r,CE=CD=BC-BD=a-r

AE+CE=AC

c-r+a-r=b

(2)取FH中點(diǎn)0,連接OD

FHIIBC

ZAFH=ZB=90°

AB與圓相切于點(diǎn)F,

二FH為圓的直徑，即。為圓心

FHIIBC

ZDOH=ZODB=90"

1

ZCPD=-ZDOH=45°

2

(3)設(shè)圓心為0,連接DO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)G,連接PG,過(guò)O作OMJ_PD于M

ZOMD=90°

,/PD=18

1

/.DM=—PD=9

2

BF=BD=OD=r=3yflO,

OM=y/oD2-DM2=7(3V10)2-92=190-81=3

DM

tanZMOD=-------=3

OM

DG為直徑

ZDPG=90°

OMIIPG,ZG+ZODM=90°

/.ZG=ZMOD

,/ZODB=ZADB+ZODM=90°

ZADB=ZG

???ZADB=ZMOD

AB

tanZADB=——=tanZMOD=3

BD

：.AB=3BD=3r=9而

AE=AF=AB-BF=9回-3回=6^/10

設(shè)CE=CD=x,貝ijBC=3710+x.AC=6VIU+x

???AB2+BC