高考數(shù)學第一輪復習第二篇第13講定積分與微積分基本定理課件理新人教A版

高考數(shù)學第一輪復習第二篇第13講定積分與微積分基本定理課件理新人教A版匯報人：AA2024-01-25定積分概念與性質(zhì)微積分基本定理定積分計算方法定積分在幾何和物理中應用典型例題解析與練習題選講課堂小結(jié)與課后作業(yè)布置目錄01定積分概念與性質(zhì)VS設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，將區(qū)間$[a,b]$分成$n$個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度記為$Deltax_i$，在每個小區(qū)間上任取一點$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。當$n$無限增大，且$lambda=max{Deltax_i}to0$時，該和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分，記作$int_{a}^f(x)dx$。定積分的幾何意義定積分$int_{a}^f(x)dx$的幾何意義是曲線$y=f(x)$與直線$x=a,x=b$及$x$軸所圍成的平面圖形的面積。若$f(x)geq0$，則定積分值等于該平面圖形的面積；若$f(x)leq0$，則定積分值等于該平面圖形面積的負值。定積分的定義定積分定義及幾何意義區(qū)間可加性若$a<c<b$，則$int_{a}^f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^f(x)dx$。線性性質(zhì)對于任意常數(shù)$k_1,k_2$和函數(shù)$f(x),g(x)$，有$int_{a}^[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1int_{a}^f(x)dx+k_2int_{a}^g(x)dx$。保號性若在區(qū)間$[a,b]$上，$f(x)geq0$，則$int_{a}^f(x)dxgeq0$；若在區(qū)間$[a,b]$上，$f(x)leqg(x)$，則$int_{a}^f(x)dxleqint_{a}^g(x)dx$。定積分性質(zhì)可積條件函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積的充分必要條件是函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有界且只有有限個間斷點。積分區(qū)間可加性若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,c]$和$[c,b]$上都可積，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上也可積，且$int_{a}^f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^f(x)dx$。這一性質(zhì)稱為定積分的區(qū)間可加性?？煞e條件與積分區(qū)間可加性02微積分基本定理

原函數(shù)與不定積分關(guān)系原函數(shù)定義若函數(shù)$F(x)$的導數(shù)等于$f(x)$，則稱$F(x)$為$f(x)$的原函數(shù)。不定積分定義函數(shù)$f(x)$的所有原函數(shù)稱為$f(x)$的不定積分，記作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$為任意常數(shù)。原函數(shù)與不定積分關(guān)系原函數(shù)與不定積分是互為逆運算的關(guān)系，即先求原函數(shù)再求導，或先求不定積分再求導，均可得到原函數(shù)。123如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且存在原函數(shù)$F(x)$，則$int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$。微積分基本定理表述微積分基本定理建立了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系，使得定積分的計算變得簡單可行。微積分基本定理意義通過構(gòu)造輔助函數(shù)和運用羅爾定理等方法進行證明。微積分基本定理證明微積分基本定理內(nèi)容通過求解定積分來計算由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積。計算平面圖形的面積通過求解定積分來計算由曲線繞坐標軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。計算旋轉(zhuǎn)體的體積通過求解定積分來計算變力在直線位移上所做的功。求解變力做功問題通過求解定積分來計算變速直線運動在一段時間內(nèi)的路程。求解變速直線運動的路程微積分基本定理應用舉例03定積分計算方法$int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一個原函數(shù)。公式表述表示由曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，$x=b$以及$x$軸所圍成的曲邊梯形的面積。幾何意義被積函數(shù)$f(x)$在積分區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且存在原函數(shù)$F(x)$。使用條件牛頓-萊布尼茲公式公式表述設(shè)$x=varphi(t)$是單調(diào)的、可導的函數(shù)，且$varphi'(t)neq0$，又$intf[varphi(t)]varphi'(t)dt=F(t)+C$，則$int_{a}^f(x)dx=int_{alpha}^{beta}f[varphi(t)]varphi'(t)dt=F(beta)-F(alpha)$，其中$alpha=varphi^{-1}(a)$，$beta=varphi^{-1}(b)$。幾何意義通過變量替換簡化定積分的計算。使用條件被積函數(shù)通過變量替換后能夠簡化計算。換元法求定積分$intu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-intu'(x)v(x)dx$。公式表述幾何意義使用條件將復雜的被積函數(shù)拆分成兩個較簡單的函數(shù)進行積分。被積函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積，且其中一個函數(shù)求導后能夠簡化計算。030201分部積分法求定積分04定積分在幾何和物理中應用03曲線圍成的圖形面積計算對于由曲線圍成的圖形，可以通過求解曲線與坐標軸圍成的面積，再減去多余部分的面積得到。01規(guī)則圖形面積計算通過定積分可以計算矩形、三角形、梯形等規(guī)則圖形的面積。02不規(guī)則圖形面積計算對于不規(guī)則圖形，可以通過將其劃分為多個小矩形或梯形，然后利用定積分求和得到面積。平面圖形面積計算旋轉(zhuǎn)體體積計算通過定積分可以計算由平面圖形繞某一直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，如圓柱、圓錐、圓臺等。截面面積已知的立體體積計算對于截面面積已知的立體，可以通過將立體劃分為多個小柱體，然后利用定積分求和得到體積。曲線圍成的立體體積計算對于由曲線圍成的立體，可以通過求解曲線與坐標面圍成的體積，再減去多余部分的體積得到?？臻g立體體積計算變力做功問題通過定積分可以計算變力在物體上所做的功，即求解力在位移上的累積效果。液體壓力問題利用定積分可以求解液體對容器底部的壓力或液體內(nèi)部的壓強分布等問題。交流電的有效值問題在交流電中，電流或電壓的大小和方向都隨時間變化，通過定積分可以求解其有效值。物理問題中定積分應用05典型例題解析與練習題選講例題1求解定積分∫[0,2](x^2+1)dx例題2求解定積分∫[1,e](1/x)dx解析首先，找出被積函數(shù)1/x的一個原函數(shù)，即F(x)=ln|x|。然后，應用微積分基本定理，計算F(e)-F(1)=lne-ln1=1-0=1。解析首先，找出被積函數(shù)x^2+1的一個原函數(shù)，即F(x)=(1/3)x^3+x。然后，應用微積分基本定理，計算F(2)-F(0)=(1/3)×2^3+2-[(1/3)×0^3+0]=10/3。典型例題解析練習1求解定積分∫[0,π](sinx+cosx)dx首先，找出被積函數(shù)sinx+cosx的一個原函數(shù)，即F(x)=-cosx+sinx。然后，應用微積分基本定理，計算F(π)-F(0)=(-cosπ+sinπ)-(-cos0+sin0)=2。求解定積分∫[1,4](x^2-2x)dx首先，找出被積函數(shù)x^2-2x的一個原函數(shù)，即F(x)=(1/3)x^3-x^2。然后，應用微積分基本定理，計算F(4)-F(1)=[(1/3)×4^3-4^2]-[(1/3)×1^3-1^2]=-9。解析練習2解析練習題選講及答案解析06課堂小結(jié)與課后作業(yè)布置通過本節(jié)課的學習，我們深入了解了定積分的概念、性質(zhì)及其幾何意義，掌握了定積分的計算方法和應用。定積分的定義與性質(zhì)本節(jié)課重點講解了微積分基本定理，包括牛頓-萊布尼茲公式和定積分的換元法、分部積分法等，為解決實際問題提供了有效的數(shù)學工具。微積分基本定理通過實例分析，我們學習了定積分在面積、體積、弧長、旋轉(zhuǎn)體體積等方面的應用，提高了運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。定積分的應用課堂小結(jié)回顧本節(jié)課重點內(nèi)容請完成教材上本節(jié)對應的練習題，鞏固定積分和微積分基