福建省三明市普通高中2024屆數學高二下期末監(jiān)測試題含解析

福建省三明市普通高中2024屆數學高二下期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果函數在上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，那么“”是“函數在內有零點”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．在二維空間中，圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2；在三維空間中，球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=4A．4πr4 B．3πr43．用數學歸納法證明（，）時，第一步應驗證（）A． B． C． D．4．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為（）A． B． C．1 D．5．函數的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．6．設平面向量，則與垂直的向量可以是（）A． B． C． D．7．把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是奇數點的情況下，第二次拋出的也是奇數點的概率為（）A． B． C． D．8．已知．則（）A． B． C． D．9．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為A．1 B．2C．3 D．410．設在定義在上的偶函數，且，若在區(qū)間單調遞減，則（）A．在區(qū)間單調遞減 B．在區(qū)間單調遞增C．在區(qū)間單調遞減 D．在區(qū)間單調遞增11．歐拉公式（i為虛數單位）是由著名數學家歐拉發(fā)明的，他將指數函數定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，根據歐拉公式，若將表示的復數記為z，則的值為（）A． B． C． D．12．已知隨機變量服從的分布列為123…nP…則的值為（）A．1 B．2 C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．高二（1）班有男生18人，女生12人，現用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生人數為____.14．若橢圓上的點到焦點的距離的最小值為5，最大值為15，則橢圓短軸長為____________.15．復數z=2-i16．袋中裝有4個黑球，3個白球，甲乙按先后順序無放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的條件下，乙摸到白球的概率是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（且，e為自然對數的底數.）（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）若函數只有一個零點，求a的值.18．（12分）某理科考生參加自主招生面試，從道題中（道甲組題和道乙組題）不放回地依次任取道作答.（1）求該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答道甲組題和道乙組題，該考生答對甲組題的概率均為，答對乙組題的概率均為，若每題答對得，否則得零分.現該生已抽到道題（道甲組題和道乙組題），求其所得總分的分布列與數學期望.19．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實數a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件．20．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A、B兩點，在y軸上是否存在點D，使直線AD與BD關于y軸對稱？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由．21．（12分）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．22．（10分）第屆冬季奧林匹克運動會，將在年月日至日在北京和張家口聯合舉行.某研究機構為了解中學生對冰壺運動的興趣，隨機從某中學學生中抽取人進行了問卷調查，其中男、女生各人，將問卷得分情況制成莖葉圖如右圖：（Ⅰ）將得分不低于分的稱為“A類”調查對象，某研究機構想要進一步了解“A類”調查對象的更多信息，從“A類”調查對象中抽取人，設被抽到的女生人數為，求的分布列及數學期望；（Ⅱ）通過問卷調查，得到如下列聯表.完成列聯表，并說明能否有的把握認為是否為“A類”調查對象與性別有關？不是“A類”調查對象是“A類”調查對象總計男女總計附參考公式與數據：，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由零點存在性定理得出“若，則函數在內有零點”舉反例即可得出正確答案.【題目詳解】由零點存在性定理可知，若，則函數在內有零點而若函數在內有零點，則不一定成立，比如在區(qū)間內有零點，但所以“”是“函數在內有零點”的充分而不必要條件故選：A【題目點撥】本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.2、B【解題分析】

根據所給的示例及類比推理的規(guī)則得出，高維度的測度的導數是低一維的測度，從而得到W'【題目詳解】由題知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故選【題目點撥】本題主要考查學生的歸納和類比推理能力。3、B【解題分析】

直接利用數學歸納法寫出時左邊的表達式即可．【題目詳解】解：用數學歸納法證明，時，第一步應驗證時是否成立，即不等式為：；故選：．【題目點撥】在數學歸納法中，第一步是論證時結論是否成立，此時一定要分析不等式左邊的項，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤．4、B【解題分析】拋物線的焦點為：，雙曲線的漸近線為：.點到漸近線的距離為：.故選B.5、C【解題分析】

先求得函數的定義域，然后利用導數求得函數的單調遞增區(qū)間.【題目詳解】依題意，函數的定義域為，，故當時，，所以函數的單調遞增區(qū)間為，故選C.【題目點撥】本小題主要考查利用導數求函數的單調遞增區(qū)間，考查導數的運算，屬于基礎題.6、D【解題分析】分析：先由平面向量的加法運算和數乘運算得到，再利用數量積為0進行判定．詳解：由題意，得，因為，，，，故選D．點睛：本題考查平面向量的坐標運算、平面向量垂直的判定等知識，意在考查學生的邏輯思維能力和基本計算能力．7、C【解題分析】分析：設表示“第一次拋出的是奇數點”，表示“第二次拋出的是奇數點”，利用古典概型概率公式求出的值，由條件概率公式可得結果.詳解：設表示“第一次拋出的是奇數點”，表示“第二次拋出的是奇數點”，，，在第一次拋出的是奇數點的情況下，第二次拋出的也是奇數點的概率為，故選C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意條件概率計算公式的合理運用，同時注意區(qū)分獨立事件同時發(fā)生的概率與條件概率的區(qū)別與聯系.8、C【解題分析】

由二項式定理及利用賦值法即令和，兩式相加可得，結合最高次系數的值即可得結果.【題目詳解】中，取，得，取，得，所以，即，又，則，故選C．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理及利用賦值法求二項式展開式的系數，屬于中檔題.9、C【解題分析】分析：根據三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數.詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，，由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個，故選C.點睛：此題考查三視圖相關知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原，分析線面、線線垂直關系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等相關問題的求解.10、D【解題分析】

根據題設條件得到函數是以2為周期的周期函數，同時關于對稱的偶函數，根據對稱性和周期性，即可求解．【題目詳解】由函數滿足，所以是周期為2的周期函數，由函數在區(qū)間單調遞減，可得單調遞減，所以B不正確；由函數在定義在上的偶函數，在區(qū)間單調遞減，可得在區(qū)間單調遞增，所以A不正確；又由函數在定義在上的偶函數，則，即，所以函數的圖象關于對稱，可得在區(qū)間單調遞增，在在區(qū)間單調遞增，所以C不正確，D正確，故選D．【題目點撥】本題主要考查了函數的單調性與對稱性的應用，以及函數的周期性的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．11、A【解題分析】

根據歐拉公式求出，再計算的值.【題目詳解】∵，∴.故選：A.【題目點撥】此題考查復數的基本運算，關鍵在于根據題意求出z.12、A【解題分析】

由概率之和為1，列出等式，即可求得k值.【題目詳解】由概率和等于1可得：，即.故選A.【題目點撥】本題考查分布列中概率和為1，由知識點列式即可得出結論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

根據分層抽樣的比例求得.【題目詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數為5×18故得解.【題目點撥】本題考查分層抽樣，屬于基礎題.14、【解題分析】

由題意得到關于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓的短軸長度.【題目詳解】不妨設橢圓方程為：，由題意可得，解得，則橢圓的短軸長度為：.故答案為：．【題目點撥】本題主要考查橢圓的幾何性質，方程的數學思想，橢圓短軸的定義與計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、2-【解題分析】試題分析：：z=2-i3=考點：復數代數形式的乘除運算．16、.【解題分析】分析：結合古典概型概率公式，直接利用條件概率公式求解即可詳解：設甲摸到黑球為事件，則，乙摸到白球為事件，則，設甲摸到黑球的條件下，乙摸到球的概率為，故答案為.點睛：本題主要考查古典概型概率公式以及獨立事件的概率公式，條件概率公式，意在考查綜合運用所學知識解答問題的能力，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）代入，得，所以，求出，由直線方程的點斜式，即可得到切線方程；（2）分和兩種情況，考慮函數的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.【題目詳解】解：（1）當時，，，，∴切線方程為;（2），，令，得，1）當時，，x－0＋極小值所以當時，有最小值，.因為函數只有一個零點，且當和時，都有，所以，即，因為當時，，所以此方程無解.2）當時，，x－0＋極小值所以當時，有最小值，.因為函數只有一個零點，且當和時，都有，所以，即（）（*），設（），則，令，得，當時，；當時，；所以當時，，所以方程（*）有且只有一解.綜上，時函數只有一個零點.【題目點撥】本題主要考查在曲線上一點的切線方程的求法，以及利用導數研究含參函數的零點問題，考查學生的運算求解能力，體現了分類討論的數學思想.18、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）利用條件概率公式，即可求得該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率；（2）先明確X的可能取值，求出相應的概率值，得到的分布列，進而得到數學期望詳解：（1）記“該考生在第一次抽到甲組題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到乙組題”為事件B，則所以該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率為（2）X的可能取值為：0,10,20,30，則，，，的分布列為X0102030P的數學期望為點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布X～B(n，p))，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19、(1)；(2)【解題分析】

（1）根據兩個集合的交集為，可知，即充要條件就是.（2）由（1）可知，要找充分不必要條件，即是在找一個值，都是符合題意的值.【題目詳解】(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5；(2)求實數a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一個值，如取a＝0，此時必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分不必要條件．【題目點撥】本小題主要考查利用集合的交集來求解參數的取值范圍，考查找充分不必要條件的方法，屬于中檔題.20、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）由題意得，求解即可；（2）假設存在點滿足條件，則，設，，，聯立方程，從而可得，又由，得，從而求得答案.詳解：（Ⅰ）由題意，設橢圓方程為，則有，解得，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）假設存在點滿足條件，則．設，，，聯立方程，得，，，由，得，即，綜上所述，存在點，使直線AD與BD關于y軸對稱．點睛：對題目涉及的變量巧妙的引進參數，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數的關系進行整體代換，達到“設而不求，減少計算”的效果，直接得結果．21、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證平面CMD,得,再證，進而完成證明．（2）先建立空間直角坐標系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進而求得平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】解：（1）由題設知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因為M為上異于