2024屆山東省青島市黃島區(qū)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2024屆山東省青島市黃島區(qū)數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時(shí)，則陽(yáng)馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．2．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，則下列假設(shè)中正確的是（）A．方程沒(méi)有實(shí)根 B．方程至多有一個(gè)實(shí)根C．方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D．方程至多有兩個(gè)實(shí)根3．由曲線，圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．4．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位）服從正態(tài)分布，若，，現(xiàn)從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率（）A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.31745．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．6．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中真命題是()A．若則B．若則C．若，，則D．若，，則7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞8．在我國(guó)南北朝時(shí)期，數(shù)學(xué)家祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．其意思是，用一組平行平面截兩個(gè)幾何體，若在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)幾何體的體積必然相等．根據(jù)祖暅原理，“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要9．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，若，則的最小值為()A． B．4 C． D．910．某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則y＝f（x）的圖象大致為（）A． B．C． D．12．函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)()為純虛數(shù)，則____.14．一根木棍長(zhǎng)為4，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長(zhǎng)度有一段大于3的概率為_(kāi)_____．15．若，，，且的最小值是___.16．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，則球的表面積為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線，直線．以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求直線的直角坐標(biāo)方程以及曲線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng)．18．（12分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且滿足.（1）求復(fù)數(shù)；（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足：為純虛數(shù)，，求的值.19．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）判斷直線與曲線C的位置關(guān)系；（2）設(shè)點(diǎn)為曲線C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．20．（12分）在某項(xiàng)娛樂(lè)活動(dòng)的海選過(guò)程中評(píng)分人員需對(duì)同批次的選手進(jìn)行考核并評(píng)分，并將其得分作為該選手的成績(jī)，成績(jī)大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過(guò)40分的選手將直接被淘汰，成績(jī)?cè)趦?nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過(guò)，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績(jī)合格的200名參賽選手成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計(jì)這200名參賽選手的成績(jī)平均數(shù)；（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，參加復(fù)活賽的選手能夠進(jìn)入第二輪比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過(guò)復(fù)活賽相互獨(dú)立，現(xiàn)有3名選手進(jìn)入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過(guò)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知定義在R上的函數(shù)fx（1）求b的值，并判斷函數(shù)fx（2）若對(duì)任意的t∈R，不等式ft2-2t

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽(yáng)馬體積的最大值為．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．2、C【解題分析】

由二次方程實(shí)根的分布，可設(shè)方程恰好有兩個(gè)實(shí)根．【題目詳解】證明“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程至多有一個(gè)實(shí)根”，由反證法的步驟可得第一步假設(shè)方程恰好有兩個(gè)實(shí)根，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的運(yùn)用，注意解題步驟，以及假設(shè)及否定的敘述，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】圍成的封閉圖形的面積為，選C.4、B【解題分析】

，由此可得答案．【題目詳解】解：由題意有，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】分析：由題意可知，，然后利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開(kāi)，使之與進(jìn)行比較，可得結(jié)果詳解：由題可知：而則故選點(diǎn)睛：本題主要考查了二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題目意思，將轉(zhuǎn)化為是本題關(guān)鍵，然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)求出結(jié)果6、C【解題分析】

對(duì)于A，考慮空間兩直線的位置關(guān)系和面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于B，考慮線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)定理；對(duì)于C，考慮面面垂直的判定定理；對(duì)于D，考慮空間兩條直線的位置關(guān)系及平行公理.【題目詳解】選項(xiàng)A中，除平行外，還有異面的位置關(guān)系，則A不正確；選項(xiàng)B中，與的位置關(guān)系有相交、平行、在內(nèi)三種，則B不正確；選項(xiàng)C中，由，設(shè)經(jīng)過(guò)的平面與相交，交線為，則，又，故，又，所以，則C正確；選項(xiàng)D中,與的位置關(guān)系還有相交和異面，則D不正確；故選C.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)立體幾何問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有空間直線與平面的位置關(guān)系，面面平行的性質(zhì)，線面垂直的判定，面面垂直的判定和性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題目.7、B【解題分析】

設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．8、A【解題分析】

先閱讀題意，再由原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件可得解【題目詳解】由已知有”在任意等高處的截面面積都對(duì)應(yīng)相等”是“兩個(gè)幾何體的體積必然相等“的充分條件不必要條件，結(jié)合原命題與其逆否命題的真假可得：“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的充分不必要條件，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了閱讀能力、原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件，屬中檔題。9、A【解題分析】

題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．【題目詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④將④代入③，得a12+a22=2c2，∴4e12+e22==++≥+2=．故選A．【題目點(diǎn)撥】在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.10、B【解題分析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點(diǎn)：對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率．11、A【解題分析】

利用特殊值判斷函數(shù)的圖象即可．【題目詳解】令，則，再取，則，顯然，故排除選項(xiàng)B、C；再取時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，故排除選項(xiàng)D.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，特殊值法比利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性與極值方法簡(jiǎn)潔，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】,如圖所示可知,,因此最小值為2,故選C.點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)零點(diǎn)分段去掉絕對(duì)值,將函數(shù)表達(dá)式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,并畫(huà)出圖像求出最小值.恒成立問(wèn)題的解決方法(1)f(x)<m恒成立，須有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，須有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集為R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集為?，即不等式無(wú)解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解題分析】試題分析：由題意得，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，（舍去），所以.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念.14、【解題分析】

試驗(yàn)的全部區(qū)域長(zhǎng)度為4，基本事件的區(qū)域長(zhǎng)度為2，代入幾何概型概率公式即可得結(jié)果．【題目詳解】設(shè)“長(zhǎng)為4的木棍”對(duì)應(yīng)區(qū)間，“鋸成的兩段木棍的長(zhǎng)度有一段大于3”為事件，則滿足的區(qū)間為或，根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得，．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．解決幾何概型問(wèn)題常見(jiàn)類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總長(zhǎng)度以及事件的長(zhǎng)度.15、9【解題分析】

根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．【題目詳解】∵，，，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，故答案為9.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】分析：根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求得三棱錐外接球半徑，由球表面積公式即可求得表面積。詳解：由，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式得，解得所以，因?yàn)?，，由余弦定理代入得所以△ABC為等腰三角形，且，由正弦定理得△ABC外接圓半徑R為，解得設(shè)△ABC外心為，，過(guò)作則在中在中解得所以外接球面積為點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間幾何體外接球半徑的求法，通過(guò)建立空間模型，利用勾股定理求得半徑；結(jié)合球的表面積求值，對(duì)空間想象能力要求高，綜合性強(qiáng)，屬于難題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；；（2）.【解題分析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系式，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換．（2）利用（1）的結(jié)論，建立方程組，進(jìn)一步利用余弦定理求出結(jié)果．【題目詳解】（1）解：直線，所以：直線的直角坐標(biāo)方程為，直線．所以：直線的直角坐標(biāo)方程為曲線的直角坐標(biāo)方程為，所以：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）解：聯(lián)立，得到，同理，又，所以根據(jù)余弦定理可得，所以周長(zhǎng)．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，方程組的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）解一元二次方程，得到，根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，即可判斷的取值。（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、純虛數(shù)的概念、模的定義，聯(lián)立方程求得x、y的值，進(jìn)而求得的值。詳解：（1）因?yàn)?，所以，又?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以；（2）因?yàn)?，又為純虛?shù)，所以，有得，解得，或，；所以.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)相等、純虛數(shù)等概念和復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算，對(duì)基本的運(yùn)算原理要清晰，屬于基礎(chǔ)題。19、（1）相離；（2）.【解題分析】試題分析：本題考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，圓的參數(shù)方程的應(yīng)用以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷．（1）把直線、曲線方程化為直角坐標(biāo)方程后根據(jù)圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判斷即可．（2）利用圓的參數(shù)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的知識(shí)求解．試題解析：（1）由，消去得直線的普通方程為：由，得.∴，即.化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：.∴圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∵圓心到直線的距離，∴直線與曲線相離.（2）由為曲線上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，∵,∴∴的取值范圍是.20、（1），82；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖面積和為1，可求得．取每個(gè)矩形的中點(diǎn)與概率乘積和求得平均數(shù)．（2）由二項(xiàng)分布求得分布列與數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】1由題意：，估計(jì)這200名選手的成績(jī)平均數(shù)為．2由題意知，XB(3,1/3)，X可能取值為0，1，2，3，，所以X的分布列為

：

X的數(shù)學(xué)期望為

．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查離散型隨機(jī)變量的分布列期望和獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力，考查學(xué)生基本的運(yùn)算推理能力.21、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】分析：求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的極值；（2）在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上