九江市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

九江市第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有本相同的數(shù)學(xué)書和本相同的語文書，要將它們排在同一層書架上,并且語文書不能放在一起，則不同的放法數(shù)為（）A． B． C． D．2．設(shè)集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，則（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}3．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有（）A．250個 B．249個 C．48個 D．24個4．若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．將本不同的書全部分給甲乙丙三人，每人至少一本，則不同的分法總數(shù)為（）A． B． C． D．6．2018年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的三個高速收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)三個收費(fèi)口均能正常工作，則這個收費(fèi)口每天至少有一個超過700輛的概率為（）A． B． C． D．7．已知，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是()A． B． C． D．8．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，9．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，（為原點(diǎn)），則（）A． B． C． D．11．直線的斜率為（）A． B． C． D．12．設(shè)，則的定義域?yàn)椋?．A．（－4,0)∪（0,4)B．（－4，－1)∪（1,4)C．（－2，－1)∪（1,2)D．（－4，－2)∪（2,4)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某城市街區(qū)如下圖所示,其中實(shí)線表示馬路,如果只能在馬路上行走,則從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑的走法有___種．14．若函數(shù)有極大值又有極小值，則的取值范圍是__________．15．若小明在參加理、化、生三門課程的等級性考試中，取得等級的概率均為，且三門課程的成績是否取得等級互不影響．則小明在這三門課程的等級性考試中恰有兩門取得等級的概率為_______．16．除以5的余數(shù)是三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．19．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）試問是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，使得成立？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.20．（12分）盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規(guī)定取出1個紅色球得1分，取出1個白色球得0分，取出1個黑色球得－1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球（Ⅰ）求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求的分布列.21．（12分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間．22．（10分）等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，,前n項(xiàng)和為．等比數(shù)列中，，且,．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】由題意，故選A．點(diǎn)睛：本題是不相鄰問題，解決方法是“插空法”，先把數(shù)學(xué)書排好（由于是相同的數(shù)學(xué)書，因此只有一種放法），再在數(shù)學(xué)書的6個間隔（含兩頭）中選3個放語文書（語文書也相同，只要選出位置即可），這樣可得放法數(shù)為，如果是5本不同的數(shù)學(xué)書和3本不同的語文書，則放法為．2、B【解題分析】分析：由求出a的值，再根據(jù)題意求出b的值，然后由并集運(yùn)算直接得答案.詳解：由，，即，，則.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】先考慮四位數(shù)的首位，當(dāng)排數(shù)字4,3時，其它三個數(shù)位上課從剩余的4個數(shù)任選4個全排，得到的四位數(shù)都滿足題設(shè)條件，因此依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得滿足題設(shè)條件的四位數(shù)共有個，應(yīng)選答案C。4、D【解題分析】

由，得，設(shè)，，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，，，故選D.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的范圍.5、C【解題分析】分析：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本；一人得本，另兩個人各得本，分別求出不同的分法即可得結(jié)果.詳解：分兩種情況：一人得本，另兩個人各得本，有種分法，一人得本，另兩個人各得本，有種分法，共有種分法，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.6、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費(fèi)口超過輛的概率，這三個收費(fèi)口每天至少有一個超過輛的概率，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)正態(tài)分布的應(yīng)用題考查知識點(diǎn)較為清晰，只要掌握以下兩點(diǎn)，問題就能迎刃而解：（1）仔細(xì)閱讀，將實(shí)際問題與正態(tài)分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線的對稱性以及各個區(qū)間概率之間的關(guān)系.7、B【解題分析】

根據(jù)方程有實(shí)根得到，利用向量模長關(guān)系可求得，根據(jù)向量夾角所處的范圍可求得結(jié)果.【題目詳解】關(guān)于的方程有實(shí)根設(shè)與的夾角為，則又又本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用方程有實(shí)根得到關(guān)于夾角余弦值的取值范圍，從而根據(jù)向量夾角范圍得到結(jié)果.8、A【解題分析】

根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，特稱命題的否定是全稱命題，寫出原命題的否定，得到答案.【題目詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于簡單題.9、D【解題分析】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，因?yàn)?，所以，所以函?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，解得，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)不等式的求解問題，其中解答中函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，對于解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)是試題的易錯點(diǎn)．10、D【解題分析】

計(jì)算出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入回歸直線方程可求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由題意可得，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程得，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用回歸直線方程求參數(shù)的值，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

將直線方程化為斜截式，可得出直線的斜率．【題目詳解】將直線方程化為斜截式可得，因此，該直線的斜率為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線斜率的計(jì)算，計(jì)算直線斜率有如下幾種方法：（1）若直線的傾斜角為且不是直角，則直線的斜率；（2）已知直線上兩點(diǎn)、，則該直線的斜率為；（3）直線的斜率為；（4）直線的斜率為.12、B【解題分析】試題分析：要使函數(shù)有意義，則解得，有意義，須確保兩個式子都要有意義，則，故選.考點(diǎn)：1.函數(shù)的定義域；2.簡單不等式的解法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7.【解題分析】分析：根據(jù)題意，從A到B的最短路程，只能向左、向下運(yùn)動，將原問題轉(zhuǎn)化為排列、組合問題，注意圖中有空格，注意排除，計(jì)算可得答案．詳解：根據(jù)題意，從A到B的最短路程，只能向左、向下運(yùn)動；

從A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即從5次中任取2次向下，剩下3次向右，有種情況，但圖中有空格，故是方法數(shù)為中

故答案為：7.點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵將圓問題轉(zhuǎn)化為排列、組合問題，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算得到答案．14、【解題分析】

由題可知有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,再根據(jù)二次函數(shù)的判別式法求解即可.【題目詳解】由題,有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,故,即,解得或.故的取值范圍是.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)范圍的問題,同時也考查了二次函數(shù)的根的分布問題,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式即可求解.【題目詳解】這三門課程的等級性考試取得的等級可看成進(jìn)行3次相互獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)因而小明在這三門課程的等級性考試中恰有兩門取得等級的概率為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】試題分析：，它除以5余數(shù)為1．考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理，整除的知識．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的情況有：前2局甲贏；第1局乙贏、第2、3局甲贏；第1局甲贏、第2局乙贏、第3、4局甲贏，從而就可以求出概率.（2）根據(jù)題意的可能取值為...列出分布列表格，就可以求出期望的值.用表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”.則，..的可能取值為...故的分布列為

2

3

4

5

所以.考點(diǎn)：1.概率的求解；2.期望的求解.視頻18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或或【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程互化原則、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可直接求得結(jié)果；（Ⅱ）為直線上一點(diǎn)，以為定點(diǎn)可寫出直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式，將直線參數(shù)方程代入曲線的普通方程進(jìn)行整理，從而利用參數(shù)的幾何意義可構(gòu)造方程，從而得到關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】（Ⅰ）由得：即曲線的普通方程為：由，得：直線的直角坐標(biāo)方程為：，即（Ⅱ）直線的參數(shù)方程可以寫為：（為參數(shù)）設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程可得：即：，解得：或或【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程化普通方程、極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將距離之和轉(zhuǎn)變?yōu)轫f達(dá)定理的形式，從而可構(gòu)造出關(guān)于所求變量的方程，屬于?？碱}型.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，或【解題分析】

（1）由已知可得，再將點(diǎn)代入橢圓方程，求出即可；（2）設(shè)，由已知可得，結(jié)合，可得，從而有，驗(yàn)證斜率不存在時是否滿足條件，當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得出關(guān)系式，結(jié)合，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由橢圓的右頂點(diǎn)為知，.把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得.解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ），所以.由，得，即，所以.設(shè)，，則，，所以.①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，，這與矛盾.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程得.，.由可得，，即.整理得.解得.綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為或.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法解決相交弦問題，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）可以求其反面，一個紅球都沒有，求出其概率，然后求取出的1個球中至少有一個紅球的概率，從而求解；（Ⅱ）可以記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，求出事件B和C的概率，從而求出1個球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，1，分別求出其概率【題目詳解】解：（Ⅰ）取出的1個球中至少有一個紅球的概率：（1分）（Ⅱ）記“取出1個紅色球，2個白色球”為事件B，“取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C，則．…（6分）（Ⅲ）ξ可能的