天津開發(fā)區(qū)第一中學2024屆高二數學第二學期期末調研試題含解析

天津開發(fā)區(qū)第一中學2024屆高二數學第二學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數y=x2㏑x的單調遞減區(qū)間為A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）2．已知函數f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關于直線A．0 B．1 C．lna D．3．在長方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．4．設等差數列的前項和為．若，，則A．9 B．8 C．7 D．25．某科研機構為了研究中年人禿頭是否與患有心臟病有關，隨機調查了一些中年人的情況，具體數據如下表所示：有心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據表中數據得，由斷定禿發(fā)與患有心臟病有關，那么這種判斷出錯的可能性為（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.0016．若，，，則（）A． B．C． D．7．函數的定義域是（）A． B． C． D．8．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）A．210種 B．420種 C．630種 D．840種9．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．10．在區(qū)域內任意取一點，則的概率是（）A．0 B． C． D．11．將3名教師，5名學生分成3個小組，分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實踐活動，每地至少去1名教師和1名學生，則不同的安排方法總數為（）A．1800 B．1440 C．300 D．90012．某校實行選科走班制度，張毅同學的選擇是物理、生物、政治這三科，且物理在A層班級，生物在B層班級，該校周一上午課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習，則他不同的選課方法有第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)地理B層2班化學A層3班地理A層1班化學A層4班生物A層1班化學B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．8種 B．10種 C．12種 D．14種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩直線的方向向量分別為，，若兩直線平行，則________．14．外接圓的半徑為1，圓心為O，且，，則______.15．已知經停某站的高鐵列車有100個車次,隨機從中選取了40個車次進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結果為：10個車次的正點率為0.97,20個車次的正點率為0.98,10個車次的正點率為0.99,則經停該站的所有高鐵列車正點率的標準差的點估計值為______（精確到0.001）.16．設，若不等式對任意實數恒成立，則取值集合是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點.(1)求證：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.18．（12分）在中，己知（1）求的值；（2）求的值.19．（12分）用函數單調性的定義證明：函數在是減函數.20．（12分）新高考方案的考試科目簡稱“”，“3”是指統(tǒng)考科目語數外，“1”指在首選科目“物理、歷史”中任選1門，“2”指在再選科目“化學、生物、政治和地理”中任選2門組成每位同學的6門高考科目.假設學生在選科中，選修每門首選科目的機會均等，選擇每門再選科目的機會相等.（Ⅰ）求某同學選修“物理、化學和生物”的概率；（Ⅱ）若選科完畢后的某次“會考”中，甲同學通過首選科目的概率是，通過每門再選科目的概率都是，且各門課程通過與否相互獨立.用表示該同學所選的3門課程在這次“會考”中通過的門數，求隨機變量的概率分布和數學期望.21．（12分）如果球、正方體與等邊圓柱（底面直徑與母線相等）的體積相等，求它們的表面積的大小關系．22．（10分）已知函數.（1）若函數在其定義域內單調遞增，求實數的最大值；（2）若存在正實數對，使得當時，能成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】對函數求導，得（x>0）,令解得，因此函數的單調減區(qū)間為，故選B考點定位：本小題考查導數問題，意在考查考生利用導數求函數單調區(qū)間，注意函數本身隱含的定義域2、A【解題分析】

利用對稱列方程解得a，從而求出f(1)?！绢}目詳解】由題意得x1+xf所以f(x)=lnx+【題目點撥】本題主要考查了函數對稱軸的問題，即在函數上任意兩點x1,x2關于直線3、D【解題分析】

取CC1的中點F，連結DF，A1F，EF，推導出四邊形BCEF是平行四邊形，從而異面直線AE與A1D所成角即為相交直線DF與A1D所成角，由此能求出異面直線AE與A1D所成角的余弦值．【題目詳解】取的中點.連接.因為為棱的中點,所以,所以四邊形為平行四邊形.所以.故異面直線與所成的角即為相交直線與所成的角.因為,所以.所以.即為直角三角形,從而.故選D【題目點撥】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．4、C【解題分析】

利用等差數列的通項公式及前項和公式，求得和的值，即可求出．【題目詳解】由，，，解得，，則，故選．【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式及前項和公式的應用。5、D【解題分析】

根據觀測值K2，對照臨界值得出結論．【題目詳解】由題意，，根據附表可得判斷禿發(fā)與患有心臟病有關出錯的可能性為.故選D．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，理解臨界值表格是關鍵，是基礎題．6、C【解題分析】

直接由微積分基本定理計算出可得．【題目詳解】因為，，，所以，故選：C.【題目點撥】本題考查微積分基本定理，掌握基本初等函數的積分公式是解題關鍵．7、D【解題分析】

根據求具體函數的基本原則：分母不為零、偶次根式被開方數非負、對數中真數為正數列不等式解出的取值范圍，即為函數的定義域．【題目詳解】由題意可得，即，解得，因此，函數的定義域為，故選D.【題目點撥】本題考查具體函數的定義域的求解，求解原則如下：（1）分式中分母不為零；（2）偶次根式中被開方數非負；（3）對數中真數大于零，底數大于零且不為；（4）正切函數中，；（5）求定義域只能在原函數解析式中求，不能對解析式變形.8、B【解題分析】依題意可得，3位實習教師中可能是一男兩女或兩男一女．若是一男兩女，則有種選派方案，若是兩男一女，則有種選派方案．所以總共有種不同選派方案，故選B9、C【解題分析】分析：△ABC中設AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA?sinC結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系，由P為線段AB上的一點，則存在實數λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），設則，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．詳解：△ABC中設AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA?sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根據直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P為線段AB上的一點，則存在實數λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）設，則，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ則4x+3y=12=故所求的最小值為故選C．點睛：本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解把已知所給的是一個單位向量，從而可用x，y表示，建立x，y與λ的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由x=3λ，y=4﹣4λ發(fā)現4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值10、C【解題分析】

求得區(qū)域的面積，x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，由圓的面積公式可得其在正方形OABC的內部的面積，由幾何概型的計算公式，可得答案．【題目詳解】根據題意，設O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），表示的區(qū)域為以正方形OABC的內部及邊界，其面積為1；x2+y2＜1表示圓心在原點，半徑為1的圓，在正方形OABC的內部的面積為，由幾何概型的計算公式，可得點P（x，y）滿足x2+y2＜1的概率是；故選C．【題目點撥】本題考查幾何概型的計算，解題的關鍵是將不等式（組）轉化為平面直角坐標系下的圖形的面積，進而由其公式計算．11、D【解題分析】

將三個教師全排列安排到三地，再利用分組、分配方法安排學生，可求出答案.【題目詳解】先將3名教師安排到甲、乙、丙三地有種分法，然后安排5名學生，將5名學生可分為1，1，3三組，也可分為2，2，1三組，則安排到三地有種方法；根據分步乘法原理，可知不同的安排方法總數為種.故選D.【題目點撥】本題考查了分步乘法原理的應用，考查了分配問題，考查了計算能力，屬于中檔題.12、B【解題分析】

根據表格進行邏輯推理即可得到結果.【題目詳解】張毅不同的選課方法如下：（1）生物B層1班，政治1班，物理A層2班；（2）生物B層1班，政治1班，物理A層4班；（3）生物B層1班，政治2班，物理A層1班；（4）生物B層1班，政治2班，物理A層4班；（5）生物B層1班，政治3班，物理A層1班；（6）生物B層1班，政治3班，物理A層2班；（7）生物B層2班，政治1班，物理A層3班；（8）生物B層2班，政治1班，物理A層4班；（9）生物B層2班，政治3班，物理A層1班；（10）生物B層2班，政治3班，物理A層3班；共10種，故選B.【題目點撥】本題以實際生活為背景，考查了邏輯推理能力與分類討論思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據題意可得出，從而得出m1﹣4＝0，解出m即可．【題目詳解】∵；∴m1﹣4＝0；∴m＝±1．故答案為±1．【題目點撥】考查直線的方向向量的概念，以及平行向量的坐標關系．14、3【解題分析】

利用向量的運算法則將已知等式化簡得到,得到BC為直徑,故為直角三角形,求出三邊長可得的值,利用兩個向量的數量積的定義求出的值.【題目詳解】,.,B,C共線,BC為圓的直徑,.,故.則,【題目點撥】本題主要考查兩個向量的數量積的定義,兩個向量垂直的充要條件、圓的直徑對的圓周角為直角,求出為直角三角形及三邊長,是解題的關鍵.15、【解題分析】

根據平均數的公式,求出平均數,再根據標準差公式求出標準差即可.【題目詳解】由題意可知：所有高鐵列車平均正點率為：.所以經停該站的所有高鐵列車正點率的標準差的點估計值為：故答案為：【題目點撥】本題考查了平均數和標準差的運算公式,考查了應用數學知識解決實際問題的能力.16、【解題分析】

將不等式轉化為，分別在、、、的情況下討論得到的最大值，從而可得；分別在、、的情況去絕對值得到不等式，解不等式求得結果.【題目詳解】對任意實數恒成立等價于：①當時，②當時，③當時，④當時，綜上可知：，即當時，，解得：當時，，無解當時，，解得：的取值集合為：本題正確結果；【題目點撥】本題考查絕對值不等式中的恒成立問題，關鍵是能夠通過分類討論的思想求得最值，從而將問題轉化為絕對值不等式的求解，再利用分類討論的思想解絕對值不等式即可得到結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）推導出，由，得，再推導出，，從而平面，，，，進而平面，連結，，則就是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的余弦值．【題目詳解】解：（1）證明：取的中點，連結、，是的中點，，且，，，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面．（2）解：，是等腰三角形，，又，，平面，平面，，又，平面，平面，，，又，平面，連結，，則就是直線與平面所成角，設，在中，解得，，，在中，解得，在中，，直線與平面所成角的余弦值為．【題目點撥】本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18、(1);(2)【解題分析】

（1）通過，可計算出C角正弦及余弦值，于是通過誘導公式可得答案；（2）通過，可得，再利用可得答案.【題目詳解】(1)在中,由于，故，解得，所以；（2）由（1）可知，而，所以，所以.【題目點撥】本題主要考查同角三角函數的關系，誘導公式的運用，意在考查學生的轉化能力，計算能力及分析能力，難度不大.19、證明過程見解析.【解題分析】

按照單調性的定義進行證明，先設是上任意兩個實數，則，然后用差比的方法，結合，比較出，這樣就證明出函數在是減函數.【題目詳解】設是上任意兩個實數，則，，，所以有，因此函數在是減函數.【題目點撥】本題考查了用定義證明函數單調性，用差比的方法比較出的大小關系是解題的關鍵，一般在差比比較過程中，往往會用到因式分解、配方法、通分法等方法.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）顯然各類別中，一共有種組合，而選修物理、化學和生物只有一種可