炮車中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

炮車中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當時命題成立，那么可推得當時命題也成立.現(xiàn)已知當時該命題不成立，那么可推得（）A．當時該命題不成立 B．當時該命題成立C．當時該命題不成立 D．當時該命題成立2．已知關(guān)于的方程，，若對任意的，該方程總存在唯一的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若函數(shù)，函數(shù)有3個零點，則k的取值范圍是()A．（0，1） B． C． D．4．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．5．曲線與軸所圍成的封閉圖形的面積為（）A．2 B． C． D．46．若直線是曲線的切線，則（）A． B．1 C．2 D．7．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．8．已知二項式的展開式的第二項的系數(shù)為，則（）A． B． C．或 D．或9．一次數(shù)學(xué)考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若，則A． B． C． D．11．隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（）A． B． C． D．12．動點在圓上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量的分布列如下，那么方差_____.01214．在中，已知，則的值為________.15．的展開式的第3項為______.16．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù)（均為實數(shù)），滿足，對于任意實數(shù)都有，并且當時，有.（1）求的值；并證明：；（2）當且取得最小值時，函數(shù)（為實數(shù)）單調(diào)遞增，求證：.18．（12分）（1）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為，求復(fù)數(shù)；（2）求曲線、直線及兩坐標軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積.19．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求曲線在點處的切線方程．20．（12分）已知橢圓的右頂點為，定點，直線與橢圓交于另一點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）試問是否存在過點的直線與橢圓交于兩點，使得成立？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.21．（12分）如圖，等高的正三棱錐P-ABC與圓錐SO的底面都在平面M上，且圓O過點A，又圓O的直徑AD⊥BC，垂足為E，設(shè)圓錐SO的底面半徑為1，圓錐體積為．(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)求異面直線AB與SD所成角的大??；(3)若平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為，求三棱錐的側(cè)棱PA與底面ABC所成角的大?。?2．（10分）已知函數(shù)，．（1）若，求的取值范圍；（2）若的圖像與相切，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：利用互為逆否的兩個命題同真同假的原來，當對不成立時，則對也不成立，即可得到答案．詳解：由題意可知，原命題成立的逆否命題成立，命題對不成立時，則對也不成立，否則當時命題成立，由已知必推得也成立，與當時命題不成立矛盾，故選A．點睛：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法以及歸納法的性質(zhì)，互為逆否的兩個命題同真同假的性質(zhì)應(yīng)用，其中正確四種命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】由成立，得，設(shè)，，則則時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；且，使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實數(shù)得取值范圍是，故選B．點睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中解得中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識點的綜合應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵．3、A【解題分析】

畫出的圖像，有3個零點等價于有3個交點?！绢}目詳解】有3個零點等價于有3個交點記則過原點作的切線，有3個零點等價于有3個交點記則過原點作的切線，設(shè)切點為則切線方程為：，又切線過原點，即，將，，代入解得，所以切線斜率所以【題目點撥】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查了函數(shù)零點個數(shù)的問題，屬于中檔題。4、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算，化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得結(jié)果【題目詳解】，故的共軛復(fù)數(shù).故選B.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)除法運算以及共軛復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

曲線與軸所圍成圖形的面積，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，就是求正弦函數(shù)在上的定積分的兩倍．【題目詳解】解：曲線與軸所圍成圖形的面積為：．故選：．【題目點撥】本題考查了定積分，考查了微積分基本定理，求解定積分問題，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

設(shè)切點坐標，求導(dǎo)數(shù)，寫出切線斜率，由切線過點，求出切點坐標，得切線斜率．【題目詳解】直線過定點，設(shè)，切點為，，，∴切線方程為，又切點過點，∴，解得．∴．故選：C.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在未知切點時，一般先設(shè)切點坐標，由導(dǎo)數(shù)得出切線方程，再結(jié)合已知條件求出切點坐標，得切線方程．7、A【解題分析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.【題目點撥】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標準差.8、A【解題分析】分析：根據(jù)第二項系數(shù)，可求出；由定積分基本性質(zhì)，求其原函數(shù)為，進而通過微積分基本定理求得定積分值。詳解：展開式的第二項為所以系數(shù)，解得所以所以選A點睛：本題考查了二項式定理和微積分基本定理的綜合應(yīng)用，通過方程確定參數(shù)的取值，綜合性強，屬于中檔題。9、C【解題分析】

通過假設(shè)法來進行判斷?！绢}目詳解】假設(shè)甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設(shè)乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設(shè)成立，第一名是丙。本題選C?！绢}目點撥】本題考查了推理能力。解決此類問題的基本方法就是假設(shè)法。10、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出和的值即可得到結(jié)論．【題目詳解】是定義在上的偶函數(shù)，，，即，則，故選D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)值的計算，以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后可利用基本不等式求出的最小值．【題目詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選D.【題目點撥】本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出定值，以及對所求代數(shù)式進行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于中等題．12、B【解題分析】

設(shè)連線的中點為,再表示出動點的坐標,代入圓化簡即可.【題目詳解】設(shè)連線的中點為,則因為動點與定點連線的中點為,故,又在圓上,故,即即故選：B【題目點撥】本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)求出，然后求出，即可求出.【題目詳解】解：由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)得：，解得：，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量方差的求法，是基礎(chǔ)題，注意離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)的合理運用.14、0【解題分析】

通過展開，然后利用已知可得，于是整理化簡即可得到答案.【題目詳解】由于，因此，所以，即，所以,則，故答案為0.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運用，意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，難度中等.15、【解題分析】

利用二項式定理展開式，令可得出答案．【題目詳解】的展開式的第項為，故答案為．【題目點撥】本題考查二項式指定項，解題時充分利用二項式定理展開式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解題分析】

根據(jù)直接求解即可.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)模的求解，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析；(2)證明見解析【解題分析】試題分析：(1)由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得.(2)由題意討論二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.試題解析：（1）由題意，即，又，∴，則恒成立∴，∴.（2）由（1）可得，當且僅當時取等號此時，要使其在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，必有對稱軸與其關(guān)系為，即為所證.18、（1）或；（2）．【解題分析】分析：（1）設(shè)，由已知條件得，，再結(jié)合的虛部為，即可求出；（2）本題要求的是一個旋轉(zhuǎn)體的體積，看清組成圖形的最主要的曲線，和組成圖形的兩個端點處的數(shù)據(jù)，用定積分寫出體積的表示形式，得到結(jié)果.詳解：（1）設(shè)，由已知條件得，，∵的虛部為，∴，∴或，即或.（2）.點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了用定積分求幾何體的體積.19、（1）極大值為，極小值為（2）【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程試題解析：（1），，．①當時，；②當時，．當變化時，，的變化情況如下表：當時，有極大值，并且極大值為當時，有極小值，并且極小值為（2），．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值20、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，或【解題分析】

（1）由已知可得，再將點代入橢圓方程，求出即可；（2）設(shè)，由已知可得，結(jié)合，可得，從而有，驗證斜率不存在時是否滿足條件，當斜率存在時，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得出關(guān)系式，結(jié)合，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由橢圓的右頂點為知，.把點坐標代入橢圓方程，得.解得.所以橢圓的標準方程為.（Ⅱ），所以.由，得，即，所以.設(shè)，，則，，所以.①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，這與矛盾.②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程得.，.由可得，，即.整理得.解得.綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為或.【題目點撥】本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法解決相交弦問題，考查計算求解能力，屬于中檔題.21、(1)；(2)；(3)【解題分析】

（1）利用圓錐體積可求得圓錐的高，進而得到母線長，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可求得結(jié)果；（2）作交圓錐底面圓于點，則即為異面直線與所成角，在中，求解出三邊長，利用余弦定理可求得，從而得到結(jié)果；（3）根據(jù)截面面積之比可得底面積之比，求得，進而求得等邊三角形的邊長，利用正棱錐的特點可知若為的中心，則即為側(cè)棱與底面所成角，在中利用正切值求得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)圓錐高為，母線長為由圓錐體積得：圓錐的側(cè)面積：（2）作交圓錐底面圓于點，連接，則即為異面直線與所成角由題意知：，，又即異面直線與所成角為：（3）平行于平面M的一個平面N截得三棱錐與圓錐的截面面積之比為又，即為邊長為的等邊三角形設(shè)為的中心，連接，則三棱錐為正三棱錐平面即為側(cè)棱與底面所成角即側(cè)棱與底面所成角為：【題目點撥】本題考查圓錐側(cè)面積的求解、異面直線所成角的求解、直線與平面所成角的求解.解決立體幾何中的角度問題的關(guān)鍵是能夠通過平移找到異面直線所成角、通過找到直線在平面內(nèi)的投影，得到線面角.22、（1）；（2）1【解題分析】

（1）由題意可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值，即