2024屆江蘇省贛榆縣海頭高級中學數(shù)學高二下期末教學質量檢測試題含解析

2024屆江蘇省贛榆縣海頭高級中學數(shù)學高二下期末教學質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設實數(shù)，滿足不等式組則的最小值是（）A． B． C． D．2．若直線l：過點，當取最小值時直線l的斜率為（）A．2 B． C． D．23．已知有下列各式：，，成立，觀察上面各式，按此規(guī)律若，則正數(shù)（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，，，設為數(shù)列的前項之和，則（）A． B． C． D．5．某學習小組有名男生和名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機抽取兩名同學進行成果展示，則在抽到第個同學是男生的條件下，抽到第個同學也是男生的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，可導函數(shù)在點處的切線方程為，設，為的導函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A．，是的極大值點B．，是的極小值點C．，不是的極值點D．，是是的極值點7．我國古代數(shù)學名著九章算術記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．648．已知是空間中兩條不同的直線，是兩個不同的平面，有以下結論：①②③④.其中正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．39．證明等式時，某學生的證明過程如下（1）當n=1時，，等式成立；（2）假設時，等式成立，即，則當時，，所以當時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當n=1時驗證不正確C．歸納假設不正確 D．從到的推理不正確10．某運動隊有男運動員4名，女運動員3名，若選派2人外出參加比賽，且至少有1名女運動員入選，則不同的選法共有（）A．6種 B．12種 C．15種 D．21種11．已知i是虛數(shù)單位，m,n∈R，且m+i=1+ni，則＝()A．i B．1 C．－i D．－112．如果點位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為__________.14．橢圓的焦點坐標是__________.15．已知函數(shù)，若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．16．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)2，2，2，2，2的方差為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收益P、種黃瓜的年收益Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋＋120.設甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)．(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？18．（12分）已知，為拋物線上的相異兩點，且.（1）若直線過，求的值；（2）若直線的垂直平分線交軸與點，求面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若，證明：當時，；（2）若在有兩個零點，求的取值范圍.20．（12分）已知為圓上一動點，圓心關于軸的對稱點為，點分別是線段上的點，且.（1）求點的軌跡方程；（2）直線與點的軌跡只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于兩點，求面積的取值范圍.21．（12分）已知復數(shù)（a，），（c，）.（1）當，，，時，求，，；（2）根據(jù)（1）的計算結果猜想與的關系，并證明該關系的一般性22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線在軸上截距的變化，找到該直線在軸上的截距取得最小值時的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標函數(shù)可得出答案．【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當直線經(jīng)過可行域的頂點時，此時該直線在軸上的截距最小，取得最小值，即，故選B．【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值問題，一般利用平移直線的思想，利用其在坐標軸上截距最值的思想找出最優(yōu)來處理，考查數(shù)形結合思想，屬于中等題．2、A【解題分析】

將點帶入直線可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解．【題目詳解】因為直線過點，所以，即，所以當且僅當，即時取等號所以斜率，故選A【題目點撥】本題考查均值不等式的應用，考查計算化簡的能力，屬基礎題．3、C【解題分析】

觀察上面各式,,,,類比推理即可得到結果.【題目詳解】由題,觀察上面各式可得,,,則,所以,故選:C【題目點撥】本題考查類比推理,考查理解分析能力.4、A【解題分析】

由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，然后利用等差數(shù)列求和公式代入計算即可．【題目詳解】由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，所以故選．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的概念及求和公式，屬基礎題．5、C【解題分析】

設事件A表示“抽到個同學是男生”，事件B表示“抽到的第個同學也是男生”，則，，由此利用條件概率計算公式能求出在抽到第個同學是男生的條件下，抽到第個同學也是男生的概率.【題目詳解】設事件A表示“抽到個同學是男生”，事件B表示“抽到的第個同學也是男生”，則，，則在抽到第個同學是男生的條件下，抽到第個同學也是男生的概率.故選：C【題目點撥】本題考查了條件概率的求法、解題的關鍵是理解題干，并能分析出問題，屬于基礎題.6、B【解題分析】

由圖判斷函數(shù)的單調性，結合為在點P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【題目詳解】由題得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，又，則有是的極小值點，故選B.【題目點撥】本題通過圖象考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調性與極值，分析圖象不難求解.7、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.8、B【解題分析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關系的判定定理和性質定理，即可作出判定得到結論.詳解：由題意，對于①中，若，則兩平面可能是平行的，所以不正確；對于②中，若，只有當與相交時，才能得到，所以不正確；對于③中，若，根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正確的；對于④中，若，所以是不正確的，綜上可知，正確命題的個數(shù)只有一個，故選B.點睛：本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．9、A【解題分析】分析：由題意結合數(shù)學歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當時驗證是正確的，歸納假設是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查數(shù)學歸納法的概念及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10、C【解題分析】

先求出所有的方法數(shù)，再求出沒有女生入選的方法數(shù)，相減可得至少有1位女生入選的方法數(shù).【題目詳解】解：從3位女生，4位男生中選2人參加比賽，所有的方法有種，

其中沒有女生入選的方法有種，

故至少有1位女生入選的方法有21?6＝15種.

故選：C.【題目點撥】本題主要考查排列組合的簡單應用，屬于中檔題.11、A【解題分析】

先根據(jù)復數(shù)相等得到的值，再利用復數(shù)的四則混合運算計算.【題目詳解】因為，所以，則.故選A.【題目點撥】本題考查復數(shù)相等以及復數(shù)的四則混合運算，難度較易.對于復數(shù)的四則混合運算，分式類型的復數(shù)式子，采用分母實數(shù)化計算更加方便.12、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關鍵要結合已知條件判斷出角的三角函數(shù)值的符號，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

在參數(shù)方程中利用加減消元法或代入消元法消去參數(shù)，可將參數(shù)方程化為普通方程.【題目詳解】由得，兩式相加得，即，因此，將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為，故答案為.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，將直線的參數(shù)方程化普通方程，常見的有代入消元法和加減消元法，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

從橢圓方程中得出、的值，可得出的值，可得出橢圓的焦點坐標.【題目詳解】由題意可得，，，因此，橢圓的焦點坐標是，故答案為.【題目點撥】本題考查橢圓焦點坐標的求解，解題時要從橢圓的標準方程中得出、、的值，同時也要確定焦點的位置，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】分析：若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，等價為方程存在三個不相等的實根，由于當時，，只有一個根，則當時，方程存在兩個不相等的實根，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的最值，即可得到結論.詳解：若存在三個互不相等的實數(shù)，使得成立，等價為方程存在三個不相等的實根，當時，，，解得，當時，，只有一個根.當時，方程存在兩個不相等的實根，即.設，，令，解得，當，解得，在上單調遞增；當，解得，在上單調遞減；又，，存在兩個不相等的實根，.故答案為.點睛：本題考查導數(shù)的綜合應用，根據(jù)條件轉化為方程存在三個不相等的實根，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大.16、2【解題分析】

根據(jù)方差的性質運算即可.【題目詳解】由題意知：本題正確結果：【題目點撥】本題考查方差的運算性質，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）甲大棚萬元，乙大棚萬元時，總收益最大,且最大收益為萬元.【解題分析】試題分析：（1）當甲大棚投入萬元，則乙大棚投入萬元，此時直接計算即可；（2）列出總收益的函數(shù)式得，令，換元將函數(shù)轉換為關于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識可求其最大值及相應的值.試題解析：（1）∵甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，∴（2），依題得，即，故.令，則，當時，即時，，∴甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大收益為282萬元.考點：1.函數(shù)建模；2.二次函數(shù).18、（1）（2）【解題分析】

（1）設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，計算可得所求值；（2）設線段的中點為，，運用中點坐標公式和直線的斜率公式，以及直線方程，可得的坐標，設出直線的方程代入拋物線方程，運用韋達定理，以及弦長公式和點到直線的距離公式，化簡整理，結合基本不等式可得所求最大值．【題目詳解】解：（1）當垂直于軸或斜率為零時，顯然不符合題意，所以可設直線的方程為，代入方程，得故，結合解得.因此，.（2）設線段的中點為，，則，，．線段的垂直平分線的方程是，①由題意知，是①的一個解，所以線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標為．直線的方程為，即，②②代入得，即，③依題意，，是方程③的兩個實根，且，所以△，即．，，，點到線段的距離，．當且僅當，即時，上式取得等號．所以面積的最大值為．【題目點撥】本題考查直線的垂直平分線經(jīng)過定點的證明，考查三角形面積的表達式的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用，屬于中檔題．19、(1)證明見解析.(2).【解題分析】

分析：（1）只要求得在時的最小值即可證；（2）在上有兩個不等實根，可轉化為在上有兩個不等實根，這樣只要研究函數(shù)的單調性與極值，由直線與的圖象有兩個交點可得的范圍．詳解：（1）證明：當時，函數(shù).則，令，則，令，得.當時，，當時，在單調遞增，（2）解：在有兩個零點方程在有兩個根，在有兩個根，即函數(shù)與的圖像在有兩個交點．，當時，，在遞增當時，，在遞增所以最小值為，當時，，當時，，在有兩個零點時，的取值范圍是．點睛：本題考查用導數(shù)證明不等式，考查函數(shù)零點問題．用導數(shù)證明不等式可轉化這求函數(shù)的最值問題，函數(shù)零點問題可轉化為直線與函數(shù)圖象交點問題，這可用分離參數(shù)法變形，然后再研究函數(shù)的單調性與極值，從而得圖象的大致趨勢．20、（1）（2）【解題分析】

（1）因為，所以為的中點，因為，所以，所以點在的垂直平分線上，所以，因為，所以點在以為焦點的橢圓上，因為，所以，所以點的軌跡方程為.（2）由得，，因為直線與橢圓相切于點，所以，即，解得，即點的坐標為，因為點在第二象限，所以，所以，所以點的坐標為，設直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設直線的方程為，則，，當且僅當，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取