貴州省六盤水市第二十三中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量檢測模擬試題含解析

貴州省六盤水市第二十三中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，是奇函數(shù)，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增2．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．103．二項式的展開式中項的系數(shù)為，則（）A．4 B．5 C．6 D．74．設M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點，且曲線C在點M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-5．在數(shù)列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．186．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項質量指標，其頻率分布表如下：質量指標分組頻率則可估計這批產(chǎn)品的質量指標的眾數(shù)、中位數(shù)為（）A．， B．， C．， D．，7．將函數(shù)y=sin2x+π6的圖象向右平移π6個單位長度后,得到函數(shù)f(x)的圖象,A．kπ-5π12C．kπ-π38．用反證法證明命題“已知，且，則中至少有一個大于”時，假設應為（）A．且 B．或C．中至多有一個大于 D．中有一個小于或等于9．如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A．56 B．72 C．64 D．8410．若集合，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．11．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．12．在一次數(shù)學測試中，高一某班50名學生成績的平均分為82，方差為8.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班數(shù)學成績的是（）A．60 B．70 C．80 D．100二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，則向量與向量的夾角為_______________.14．如圖，在三棱柱中，底面，，，是的中點，則直線與所成角的余弦值為__________．15．已知雙曲線和橢圓焦點相同，則該雙曲線的方程為__________．16．的展開式中的系數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在進行一項擲骰子放球游戲中，規(guī)定：若擲出1點，甲盒中放一球；若擲出2點或3點，乙盒中放一球；若擲出4點或5點或6點，丙盒中放一球，前后共擲3次，設分別表示甲，乙，丙3個盒中的球數(shù)．(Ⅰ)求的概率；(Ⅱ)記求隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望．18．（12分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（，）（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行最多，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關系：年流入量發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為4000萬元，若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？19．（12分）某校高二理科1班共有50名學生參加學業(yè)水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優(yōu)秀，其中語文成績近似服從正態(tài)分布，數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖.（1）這50名學生中本次考試語文、數(shù)學成績優(yōu)秀的大約各有多少人？（2）如果語文和數(shù)學兩科成績都優(yōu)秀的共有4人，從語文優(yōu)秀或數(shù)學優(yōu)秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優(yōu)秀的有X人，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)（1）（2）的數(shù)據(jù)，是否有99%以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀？語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀數(shù)學不優(yōu)秀合計附：①若，則，；②；③0.10.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）設為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）證明：；（2），利用（1）的結論計算．21．（12分）在平面直角坐標系中，直線：，以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.設直線與曲線交于，兩點.（1）當時，求，兩點的直角坐標；（2）當變化時，求線段中點的軌跡的極坐標方程.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2（1）求函數(shù)f(x)的解析式及單調區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,2的最大值與最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：因為是奇函數(shù)，所以，故，令，則的單調減區(qū)間為，從而可以知道在上單調遞減.詳解：，因是奇函數(shù)，故，也即是，化簡得，所以，故，從而，又，故，因此.令，，故的單調減區(qū)間為，故在上單調遞減.選B.點睛：一般地，如果為奇函數(shù)，則，如果為偶函數(shù)，則.2、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點坐標為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據(jù)題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應的圖形表示出來，之后應用定積分求得結果，正確求解積分區(qū)間是解題的關鍵.3、C【解題分析】二項式的展開式的通項是，令得的系數(shù)是，因為的系數(shù)為，所以，即，解得：或，因為，所以，故選C．【考點定位】二項式定理．4、D【解題分析】

求出導函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉化為斜率的范圍，斜率就是導數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點處的導數(shù)就是其圖象在該點處的切線的斜率．解題時要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關系，特別是正切函數(shù)的性質．5、B【解題分析】

通過，可以知道數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可以求出的值.【題目詳解】因為，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因此，故本題選B.【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的概念、以及求等比數(shù)列某項的問題，考查了數(shù)學運算能力.6、C【解題分析】

根據(jù)頻率分布表可知頻率最大的分組為，利用中點值來代表本組數(shù)據(jù)可知眾數(shù)為；根據(jù)中位數(shù)將總頻率分為的兩部分，可構造方程求得中位數(shù).【題目詳解】根據(jù)頻率分布表可知，頻率最大的分組為眾數(shù)為：設中位數(shù)為則，解得：，即中位數(shù)為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用樣本的數(shù)據(jù)特征估計眾數(shù)和中位數(shù)的問題，關鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握用樣本估計總體的方法.7、D【解題分析】

求出圖象變換的函數(shù)解析式，再結合正弦函數(shù)的單調性可得出結論．【題目詳解】由題意f(x)=sin2kπ-π∴kπ-π故選D．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換，考查三角函數(shù)的單調性．解題時可結合正弦函數(shù)的單調性求單調區(qū)間．8、A【解題分析】

根據(jù)已知命題的結論的否定可確定結果.【題目詳解】假設應為“中至少有一個大于”的否定，即“都不大于”，即“且”.故選：.【題目點撥】本題考查反證法的相關知識，屬于基礎題.9、D【解題分析】分析：每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色和A、C同色兩大類.詳解：分兩種情況：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色）：有4×3×2×2=48種；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色）：有4×3×1×3=36種．共有84種，故答案為：D.點睛：(1)本題主要考查排列組合的綜合問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.10、C【解題分析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項是否正確即可．【題目詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項A錯誤；，選項B錯誤；且集合A是集合B的子集，選項C正確，選項D錯誤．本題選擇C選項，故選C．【題目點撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關系的判斷等知識，熟記集合的基本運算方法是解答的關鍵，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力．11、D【解題分析】

首先解出集合，，由集合基本運算的定義依次對選項進行判定?！绢}目詳解】由題可得，；所以，則選項正確；故答案選D【題目點撥】本題考查一元二次方程、絕對值不等式的解法以及集合間基本運算，屬于基礎題。12、A【解題分析】

假設分數(shù)為時，可知，可知分數(shù)不可能為，得到結果.【題目詳解】當為該班某學生的成績時，則，則與方差為矛盾不可能是該班成績故選：【題目點撥】本題考查平均數(shù)、方差的相關運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由條件利用兩個向量垂直的性質,兩個向量的數(shù)量積的定義，求得向量與向量的夾角的余弦值,可得向量與向量的夾角的值.【題目詳解】由題意可得，即,為向量與向量的夾角），求得，故答案為.【題目點撥】本題主要考查向量的模、夾角及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.14、【解題分析】分析：記中點為E，則，則直線與所成角即為與所成角，設，從而即可計算.詳解：記中點為E，并連接，是的中點，則，直線與所成角即為與所成角，設，，.故答案為.點睛：(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，作出異面直線所成的角，轉化為解三角形問題，進而求解．15、【解題分析】分析：根據(jù)題意，求出橢圓的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得若雙曲線和橢圓焦點相同，則有，解得m的值，將m的值代入雙曲線的方程，即可得答案.詳解：根據(jù)題意，橢圓的焦點在x軸上，且焦點坐標為，若雙曲線和橢圓焦點相同，則有，解得，則雙曲線的方程為.故答案為.點睛：本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是掌握雙曲線的標準方程的形式.16、243【解題分析】分析：先得到二項式的展開式的通項，然后根據(jù)組合的方式可得到所求項的系數(shù)．詳解：二項式展開式的通項為，∴展開式中的系數(shù)為.點睛：對于非二項式的問題，解題時可轉化為二項式的問題處理，對于無法轉化為二項式的問題，可根據(jù)組合的方式“湊”出所求的項或其系數(shù)，此時要注意考慮問題的全面性，防止漏掉部分情況．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解題分析】

求得球放入甲,乙,丙盒的概率.（I）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，計算出所求的概率.（II）先求得可能的取值是0，1，2，1，然后根據(jù)相互獨立事件概率計算公式，計算出分布列，并求得數(shù)學期望.【題目詳解】解：由題意知，每次拋擲骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分別為．(Ⅰ)由題意知，滿足條件的情況為兩次擲出1點，一次擲出2點或1點，．(Ⅱ)由題意知，可能的取值是0，1，2，1．．故的分布列為：0121期望．【題目點撥】本小題主要考查相互獨立事件概率計算，考查分布列的計算和求數(shù)學期望，屬于中檔題.18、（1）；（2）2臺.【解題分析】

（1）求出，，，由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．（2）記水電站的總利潤為（單位，萬元），求出安裝1臺發(fā)電機、安裝2臺發(fā)電機、安裝3臺發(fā)電機時的分布列和數(shù)學期望，由此能求出欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機的臺數(shù)．【題目詳解】解：（1）依題意，，，，由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為：．（2）記水電站的總利潤為Y（單位，萬元）安裝1臺發(fā)電機的情形：由于水庫年入流總量大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤，，安裝2臺發(fā)電機的情形：依題意，當時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此，當時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此，，由此得Y的分布列如下Y34008000P0.20.8所以．安裝3臺發(fā)電機的情形：依題意，當時，一臺發(fā)電機運行，此時，因此，當時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此，，當時，三臺發(fā)電機運行，此時，因此，，由此得Y的分布列如下Y2800740012000P0.20.70.1所以．綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用，考查運算求解能力，是中檔題．19、（1）語文成績優(yōu)秀的同學有人，數(shù)學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）分布列見解析，；（3）沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀.【解題分析】

（1）語文成績服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的原則可得語文成績優(yōu)秀的概型及人數(shù)，根據(jù)數(shù)學成績的頻率分布直方圖可以計算數(shù)學成績優(yōu)秀的概率及人數(shù)；（2）語文和數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有4人，則可算出單科優(yōu)秀的學生人數(shù)，從中隨機抽取3人，則3人中兩科都優(yōu)秀的可能為0、1、2、3四種情況，服從超幾何分布，利用概率公式分別求出概率，即可寫出分布列及數(shù)學期望；（3）先完成列聯(lián)表，利用公式求出卡方的值比較參考數(shù)據(jù)即可得出結論；【題目詳解】解：（1）因為語文成績服從正態(tài)分布所以語文成績優(yōu)秀的概率數(shù)學成績優(yōu)秀的概率所以語文成績優(yōu)秀的同學有人，數(shù)學成績優(yōu)秀的同學有人.（2）語文數(shù)學兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有10人，的所有可能取值為0、1、2、3，，，，所以的分布列為：（3）列聯(lián)表：語文優(yōu)秀語文不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀數(shù)學不優(yōu)秀合計所以沒有以上的把握認為語文成績優(yōu)秀的同學，數(shù)學成績也優(yōu)秀.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布的概率計算，頻率分布直方圖的應用，離散型隨機變量的分布列及期望的計算，獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.20、(1)證明見解析.(2).【解題分析】分析：（1）利用數(shù)學歸納法先證明，先證明當時成立，假設當時，命題成立，只需證明當時，命題也成立，證明過程注意三角函數(shù)和差公式的應用；（2）由（1）結論得，結合誘導公式