江西省南昌市高安中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測試題含解析

江西省南昌市高安中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．當(dāng)函數(shù)y=x?2x取極小值時(shí)，A．1ln2 B．-1ln2．“已知函數(shù)，求證：與中至少有一個(gè)不少于.”用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)且B．假設(shè)且C．假設(shè)與中至多有一個(gè)不小于D．假設(shè)與中至少有一個(gè)不大于3．已知平面向量，的夾角為，，，則（）A．4 B．2 C． D．4．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與的關(guān)系為（）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含5．已知函數(shù)，若與的圖象上分別存在點(diǎn)、，使得、關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知分別為四面體的棱上的點(diǎn),且,,,,則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．平面 B．C．直線相交于同一點(diǎn) D．平面7．已知，取值如下表：從所得的散點(diǎn)圖分析可知：與線性相關(guān)，且，則等于（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若在和處切線平行，則（）A．B．C．D．9．已知數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且滿足，、、成等比數(shù)列，則()A．55 B．65 C．70 D．7510．祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，公元五世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，如果截面面積恒相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等．設(shè)A，B為兩個(gè)同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．根據(jù)祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知tan=4,cot=,則tan（+）=（）A． B． C． D．12．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．-2 C．2 D．-2或1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若某圓錐的軸截面是面積為的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是__________．14．已知，，則向量，的夾角為________.15．若，則的值為________16．在中，，，分別是角，，所對的邊，且，則的最大值為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（II）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值.18．（12分）已知數(shù)列，，，，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和．1計(jì)算，，，；2猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．19．（12分）近年來，共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾，某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對車輛狀況和優(yōu)惠活動的評價(jià).現(xiàn)從評價(jià)系統(tǒng)中選出條較為詳細(xì)的評價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，車輛狀況的優(yōu)惠活動評價(jià)的列聯(lián)表如下：對優(yōu)惠活動好評對優(yōu)惠活動不滿意合計(jì)對車輛狀況好評對車輛狀況不滿意合計(jì)（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評之間有關(guān)系？（2）為了回饋用戶，公司通過向用戶隨機(jī)派送每張面額為元，元，元的三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后，都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得元券，獲得元券的概率分別是，，且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨(dú)立.若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車，記該用戶當(dāng)天獲得的騎行券面額之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：參考公式：，其中.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的范圍.21．（12分）已知（1+m)n(m是正實(shí)數(shù))的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為84，(I)求m,n的值(II)求（1+m)n(1-x)的展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)和.22．（10分）已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M為橢圓C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)N(6,0)且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，求證:

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：對函數(shù)求導(dǎo)，由y'=2x詳解：y'=即1+xln2=0，x=-點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，屬于基礎(chǔ)題2、B【解題分析】分析：因?yàn)榕c中至少有一個(gè)不少于的否定是且，所以選B.詳解：因?yàn)榕c中至少有一個(gè)不少于的否定是且，故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于等于a的否定是兩個(gè)數(shù)都小于a.3、B【解題分析】

將兩邊平方，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求解得出數(shù)值，然后開方得到結(jié)果.【題目詳解】依題意.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量模的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計(jì)算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對值和兩半徑之和進(jìn)行大小比較，可得出兩曲線的位置關(guān)系.【題目詳解】在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，，，，因此，曲線與相交，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，考查曲線極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，對于這類問題，通常將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關(guān)系來得出兩圓的位置關(guān)系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、A【解題分析】

先求得關(guān)于對稱函數(shù)，由與圖像有公共點(diǎn)來求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】設(shè)函數(shù)上一點(diǎn)為，關(guān)于對稱點(diǎn)為，將其代入解析式得，即.在同一坐標(biāo)系下畫出和的圖像如下圖所示，由圖可知，其中是的切線.由得，而，只有A選項(xiàng)符合，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)關(guān)于直線對稱函數(shù)解析式的求法，考查兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)問題的求解策略，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6、D【解題分析】

根據(jù)線面平行以及空間直線和平面的位置關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】，，是的中位線，，且，平面，平面，平面，故正確，，，，且，則，故B正確，是梯形，則直線，相交，設(shè)交點(diǎn)為，則，平面，，平面，則是平面和平面的公共點(diǎn)，則，即直線，，相交于同一點(diǎn)，故正確，因?yàn)椋?，所以直線與必相交，所以錯(cuò)誤.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，根據(jù)空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7、B【解題分析】

計(jì)算平均數(shù)，可得樣本中心點(diǎn)，代入線性回歸方程，即可求得a的值．【題目詳解】依題意,得(0+1+4+5+6+8)=4,(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25.又直線y=0.95x+a必過中心點(diǎn)(),即點(diǎn)(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a,解得a=1.45.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程，利用線性回歸方程恒過樣本中心點(diǎn)是關(guān)鍵．8、A【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，得到，則，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞1．【題目詳解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），∴，整理得：，則，∴，則，∴x1x2≥2，∵x1≠x2，∴x1x2＞2．∴2x1x2＝1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．9、A【解題分析】

設(shè)公差為d，，，解出公差，利用等差數(shù)列求和公式即可得解.【題目詳解】由題：數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且滿足，、、成等比數(shù)列，設(shè)公差為d，，，解得，所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系求解公差，利用求和公式求前十項(xiàng)之和.10、A【解題分析】分析：利用祖暅原理分析判斷即可.詳解：設(shè)A，B為兩個(gè)同高的幾何體，A，B的體積不相等，A，B在等高處的截面積不恒相等．如果截面面積恒相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等，根據(jù)祖暅原理可知，p是q的充分不必要條件.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查滿足祖暅原理的幾何體的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審查，注意空間思維能力的培養(yǎng).11、B【解題分析】

試題分析：由題意得，，故選B．考點(diǎn)：兩角和的正切函數(shù)．12、A【解題分析】分析：據(jù)積分的定義計(jì)算即可．詳解：解得或（舍）.故選A點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是定積分，根據(jù)已知確定原函數(shù)是解答的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由軸截面面積求得軸截面邊長，從而得圓錐的底面半徑和母線長．【題目詳解】設(shè)軸截面等邊三角形邊長為，則，，∴．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題基礎(chǔ)．14、【解題分析】

根據(jù)條件即可求出,利用,根據(jù)向量的夾角范圍即可得出夾角.【題目詳解】,.,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積公式,向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題,難度容易.15、【解題分析】令，得，令，得，則.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；在利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和時(shí)，往往采用賦值法或整體賦值法，要靈活注意展開式中未知數(shù)的系數(shù)的特點(diǎn)合理賦值，往往是1，0,或.16、【解題分析】

利用正弦定理邊化角化簡可求得,則有,則借助正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)即可求出.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以．所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理,三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于?？碱}.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I），；（II）.【解題分析】

（I）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C的普通方程；由直線l的極坐標(biāo)方程，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．（II）在曲線C上任取一點(diǎn)利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出曲線C上的點(diǎn)到直線l的最小距離．【題目詳解】（I）曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（II）設(shè)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，取得最大值，曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．18、1，，，；2，證明見解析.【解題分析】

（1）S1＝a1，由S2＝a1+a2求得S2，同理求得S3，S1．（2）由（1）猜想猜想，n∈N+，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n＝1時(shí)，猜想成立；假設(shè)，則當(dāng)n＝k+1時(shí)，由條件可得當(dāng)n＝k+1時(shí)，也成立，從而猜想仍然成立．【題目詳解】

；；；；猜想．證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上可知，對任意，．由，知，等式對任意正整數(shù)都成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，證明n＝k+1時(shí)，是解題的難點(diǎn)．19、(1)在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評有關(guān)系.(2)分布列見解析；（元）.【解題分析】試題分析：（1）由題意求得的值，然后即可確定結(jié)論；

（2）由題意首先求得分布列，然后求解數(shù)學(xué)期望即可．試題解析（1）由列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，有.因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，不能認(rèn)為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評有關(guān)系.（2）由題意，可知一次騎行用戶獲得元的概率為.的所有可能取值分別為，，，，.∵，，，，，∴的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為（元）.20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，將要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題意得當(dāng)時(shí)，恒成立，化簡可得，即，由此求得a的取值范圍.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，可化為：，①當(dāng)時(shí)，不等式為：，解得：，故，②當(dāng)時(shí)，不等式為：，解得：，故，③當(dāng)時(shí)，不等式為：，解得：，故.綜上，原不等式的解集為：.（2）∵的解集包含，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，∴，解得，即的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，函數(shù)的恒成立問題.21、(1),.(2)0.【解題分析】分析：（1）先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)得，解得n，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式得含x項(xiàng)的系數(shù)為，解得m,（2）先根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式得，再求的展開式有理項(xiàng)的系數(shù)和.詳解：(1)由題意可知，，解得含項(xiàng)的系數(shù)為，(2)的展開項(xiàng)通項(xiàng)公式為的展開式有理項(xiàng)的系數(shù)和為0點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中