2024屆山西省新絳縣數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2024屆山西省新絳縣數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若，且，則的值為（）A． B． C．1 D．02．若函數(shù)且在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則的圖象是()A． B．C． D．3．分配名工人去個不同的居民家里檢查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種4．分子為1且分母為正整數(shù)的分數(shù)稱為單位分數(shù)，1可以分拆為若干個不同的單位分數(shù)之和：1=12+13+16，A．228 B．240 C．260 D．2735．集合，則等于（）A． B． C． D．6．設(shè)集合，若，則（）A．1 B． C． D．-17．已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A． B． C． D．8．在中，，若，則A． B． C． D．9．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值點和一個最小值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．11．某射手每次射擊擊中目標的概率為，這名射手進行了10次射擊，設(shè)為擊中目標的次數(shù)，，，則=A． B． C． D．12．下列求導計算正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足不等式，則的取值范圍是________.14．有5條線段，其長度分別為3,4,5,7,9,現(xiàn)從中任取3條，則能構(gòu)成三角形的概率是_____.15．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的概率為_____.16．已知點為橢圓的左焦點，點為橢圓上任意一點，點的坐標為，則取最大值時，點的坐標為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長為，點分別為棱和的中點．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在實數(shù)，，使得，對任意正整數(shù)恒成立？若存在，求出實數(shù)、的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.20．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為且滿足.(1)求角的大??；(2)若，的面積為，求的值..21．（12分）已知正四棱柱的底面邊長為2，.（1）求該四棱柱的側(cè)面積與體積；（2）若為線段的中點，求與平面所成角的大小.22．（10分）設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-a|.（1）當a=1時，解不等式f(x)≥4；（2）若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由題意得，，則，又，即，解得，所以，令，即，，解得該函數(shù)的對稱軸為，則，即，所以，故選C.2、D【解題分析】

根據(jù)題意先得到，，判斷其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】因為函數(shù)且在上是奇函數(shù)，所以所以，，又因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，它的圖象可以看作是由函數(shù)向左平移一個單位得到，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及函數(shù)圖象變換，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家檢查；分兩步進行，①先從4名水暖工中抽取2人，②再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，由分步計數(shù)原理，計算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，分配4名水暖工去3個不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查；

則必有2名水暖工去同一居民家檢查，

即要先從4名水暖工中抽取2人，有種方法，

再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，有種情況，

由分步計數(shù)原理，可得共種不同分配方案，

故選：C.【題目點撥】本題考查排列、組合的綜合應用，注意一般順序是先分組（組合），再排列，屬于中檔題.4、C【解題分析】

使用裂項法及m，n的范圍求出m，n的值，從而求出答案．【題目詳解】∵1=1∴1=1∴1∵m?n，m，n∈N∴m=13，n=20，所以mn=260.故選：C【題目點撥】本題主要考查歸納推理和裂項相消法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】試題分析：集合，,，，故選B.考點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及集合的運算.6、A【解題分析】

由得且，把代入二次方程求得，最后對的值進行檢驗.【題目詳解】因為，所以且，所以，解得.當時，，顯然，所以成立，故選A.【題目點撥】本題考查集合的交運算，注意求出參數(shù)的值后要記得檢驗.7、A【解題分析】由題意可得：，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.本題選擇A選項.點睛：1．二項展開式的通項是展開式的第k＋1項，這是解決二項式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ)．在利用通項公式求指定項或指定項的系數(shù)要根據(jù)通項公式討論對k的限制．2．因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法．3．二項式定理的應用主要是對二項展開式正用、逆用，要充分利用二項展開式的特點和式子間的聯(lián)系．8、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的線性運算法則，用、表示出即可.【題目詳解】即：本題正確選項：【題目點撥】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結(jié)果．【題目詳解】由題意，函數(shù)，令，所以，在區(qū)間上恰有一個最大值點和最小值點，則函數(shù)恰有一個最大值點和一個最小值點在區(qū)間，則，解答，即，故選B．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．10、A【解題分析】分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．詳解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力.(2)異面直線所成的角的常見求法有兩種，方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.11、A【解題分析】

利用次獨立重復實驗中恰好發(fā)生次的概率計算公式以及方差的計算公式，即可得到結(jié)果?！绢}目詳解】由題可得隨機變量服從二項分布；由，可得：，解得：故答案選A【題目點撥】本題主要考查二項分布概率和方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題。12、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)求導法則得到相應的結(jié)果.【題目詳解】A選項應為，C選項應為，D選項應為.故選B．【題目點撥】這個題目考查了函數(shù)的求導運算，牢記公式，準確計算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【題目詳解】解：由，滿足不等式作出可行域如圖，

令，目標函數(shù)經(jīng)過A點時取的最小值，

聯(lián)立，解得時得最小值，．

目標函數(shù)經(jīng)過B點時取的最大值，

聯(lián)立，解得，此時取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范圍是．

故答案為：【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

從5條線段中任取3條共有10種情況,將能構(gòu)成三角形的情況數(shù)列出,即可得概率.【題目詳解】從5條線段中任取3條,共有種情況,其中,能構(gòu)成三角形的有：3,4,5;3,5,7;3,7,9;4,5,7;4,7,9;5,7,9.共6種情況；即能構(gòu)成三角形的概率是,故答案為：【題目點撥】本題考查了古典概型的概率公式,注意統(tǒng)計出滿足條件的情況數(shù),再除以總情況數(shù)即可,屬于基礎(chǔ)題.15、.【解題分析】

根據(jù)題意，拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，則且的情況有2種：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，分別計算相應的概率求和即可.【題目詳解】拋擲一枚均勻骰子，出現(xiàn)奇數(shù)或偶數(shù)概率為，構(gòu)造數(shù)列，使，記，則且的情況為：①當前2次同時出現(xiàn)偶數(shù)時，則后6次出現(xiàn)3次偶數(shù)3次奇數(shù)，相應的概率，②當前2次出現(xiàn)奇數(shù)時，則后6次出現(xiàn)5次偶數(shù)1次奇數(shù)，相應的概率為，所以概率為.故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布概率計算，結(jié)合排列組合與數(shù)列的知識，屬于綜合題，解題的關(guān)鍵在于對所求情況進行分析，再利用二項分布進行概率計算即可，屬于中等題.16、【解題分析】試題分析：橢圓的左焦點為，右焦點為，根據(jù)橢圓的定義，，∴，由三角形的性質(zhì)，知，當是延長線與橢圓的交點時，等號成立，故所求最大值為．考點：橢圓的定義，三角形的性質(zhì)．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）．【解題分析】

取BC中點F，連接FE，F(xiàn)D，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；

以F為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出平面BED與平面BCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點，連結(jié)，如圖，由題意知，四邊形為矩形，且．因為為棱的中點，所以，因為，所以，因為，所以平面，所以．又,所以平面．（2）以F為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則0，，0，，，

，，

設(shè)平面BED的一個法向量為，

由，取，得．

取平面BCD的一個法向量為，

．

且二面角為銳角，

二面角的余弦值為．【題目點撥】本題考查線面垂直的判定，利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．18、(1)或(2)【解題分析】

運用分類討論去絕對值，然后求出不等式結(jié)果由題意得，結(jié)合解集得出不等式組求出結(jié)果【題目詳解】（1）即①當時，原不等式化為，即，解得，∴；②當時，原不等式化為，即，解得，∴.③當時，原不等式化為，即，解得，∴∴不等式的解集為或.（2）不等式可化為問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，又，得∴，∴.【題目點撥】本題考查了含有絕對值問題的不等式，首先需要進行分類討論去掉絕對值，然后求出不等式結(jié)果，在第問中需要進行轉(zhuǎn)化，繼而只有一個絕對值問題求解。19、（Ⅰ），；（Ⅱ）存在實數(shù)，符合題意.【解題分析】

（Ⅰ）由題意可整理為，從而代入，即可求，的值；（Ⅱ）當時和時，可得到一組、的值，于是假設(shè)該式成立，用數(shù)學歸納法證明即可.【題目詳解】（Ⅰ）因為，整理得，由，代入得，.（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)、，使得對任意正整數(shù)恒成立.當時，，①當時，，②由①②解得：，.下面用數(shù)學歸納法證明：存在實數(shù)，，使對任意正整數(shù)恒成立.（1）當時，結(jié)論顯然成立.（2）當時，假設(shè)存在，，使得成立，那么，當時，.即當時，存在，，使得成立.由（1）（2）得：存在實數(shù)，，使對任意正整數(shù)恒成立.【題目點撥】本題主要考查數(shù)學歸納法在數(shù)列中的應用，意在考查學生的計算能力，分析能力，邏輯推理能力，比較綜合，難度較大.20、(1);(2).【解題分析】分析：（1）根據(jù)正弦定理邊化角，化簡整理即可求得角B的值.（2）由三角形面積公式，得，再根據(jù)余弦定理，即可求得的值.詳解：解：（1）解法一：由及正弦定理得：，，，．即（1）解法二：因為所以由可得……1分由正弦定理得即，，即（2）解法一：，，由余弦定理得：，即，，.（2）解法二：，，由余弦定理得：，即，由，得或.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化第三步：求結(jié)果21、（